Алтайский институт труда и права (филиал)

Академии  труда и социальных отношений

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

  

по дисциплине                                        Эконометрика_____________________                                                                                   

на  тему                     Классический метод наименьших квадратов___________                      

Студента    3   курса     681    группы  финансово-экономического факультета 

                                        Бахтеевой Татьяны Михайловны__________________                                   

(фамилия,  имя, отчество – писать полностью) 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2010

     Метод наименьших квадратов (МНК) – один из наиболее широко используемых методов при решении многих задач восстановления регрессионных зависимостей¹. Впервые МНК был использован Лежандром в 1806 г. для решения задач небесной механики на основе экспериментальных данных астрономических наблюдений. В 1809 г. Гаусс изложил статистическую интерпретацию МНК и тем самым дал начало широкого применения статистических методов при решении задач восстановления регрессионных зависимостей.  Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.

     Приведу  краткое описание данного метода. Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки. Применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. В настоящее время широко применяется при обработке количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, астрономических и геодезических наблюдений и измерений.

Можно выделить следующие достоинства  метода:

а) расчеты  сводятся к механической процедуре  нахождения коэффициентов;

б) доступность  полученных математических выводов.

Основным  недостатком МНК является чувствительность оценок к резким выбросам, которые  встречаются в исходных данных.

     Рассмотрю применение классического метода наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии на примере модели линейной парной регрессии. Пусть подобрана эмпирическая линия, по виду которой можно судить о том, что связь между независимой переменной и зависимой переменной линейна и описывается равенством:

 

                                                 

                                                    (1)

Необходимо  найти такие значения параметров и , которые бы доставляли минимум функции (1), т. е. минимизировали бы сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений результативного признака от теоретических значений (значений, рассчитанных на основании уравнения регрессии):

                        

                          (2)

При минимизации  функции (1) неизвестными являются значения коэффициентов регрессии  и Значения зависимой и независимой переменных известны из наблюдений.

     Для того чтобы найти минимум функции  двух переменных, нужно вычислить частные производные этой функции по каждой из оцениваемых параметров и приравнять их к нулю. В результате получаем стационарную систему уравнений для функции (2):

     

     Если  разделить обе части каждого  уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему:

     

     Эта система нормальных уравнений относительно коэффициентов  и для зависимости

     Решением  системы нормальных уравнений являются оценки неизвестных параметров уравнения  регрессии  и :

     

     

Где - среднее значение зависимого признака;

  - среднее значение независимого признака;

- среднее арифметическое значение  произведения зависимого и независимого  признаков;

  - дисперсия независимого признака;

- ковариация между зависимым  и независимым признаками.

Рассмотрим  применение МНК на конкретном примере.

Имеются данные о цене на нефть  (долларов за баррель) и индексе акций нефтяной компании (в процентных пунктах). Требуется найти эмпирическую формулу, отражающую связь между ценой на нефть и индексом акций нефтяной компании исходя из предположения, что связь между указанными переменными линейна и описывается функцией вида . Зависимой переменной в данной регрессионной модели будет являться индекс акций нефтяной компании, а независимой - цена на нефть.

Для нахождения коэффициентов  и построим вспомогательную таблицу (1).  

Таблица 1.

Таблица для нахождения коэффициентов 

и

Запишем систему нормальных уравнений исходя из данных таблицы:

Решением  данной системы будут следующие  числа:

Таким образом, уровень регрессии, описывающее  зависимость между ценой на нефть  и индексом акций нефтяной компании, можно записать как:

На основании  полученного уравнения регрессии  можно сделать вывод о том, что с изменением цены на нефть  на 1 денежную единицу за баррель индекс акций нефтяной компании изменяется примерно на 15, 317 процентных пункта.

     Метод наименьших квадратов является наиболее распространенным  методом оценивания параметров уровня регрессии, и применим только для линейных относительно параметров моделей или приводимых к линейным с помощью преобразования и замены переменных². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  использованной литературы:

1. Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей на ЭВМ. Учебное пособие. М.: 1988. С. 4.
2. Мамаева З.М. Математические методы и модели в экономике. ч 2. Учебное пособие. Н.Новгород.: 2010. С 17
3. Эконометрика. Конспект лекций.  Яковлева А.В. М.: Эксмо, 2008.С. 126.