Экономико-математические методы маркетингового исследования

Методы сетевого планирования предназначены для регулирования последовательности и взаимозависимости маркетинговых операций, разработки планов инноваций, проведения пробного маркетинга и т.п. В анализе маркетинговых ситуаций, формировании моделей конкурентного поведения, разработке стратегий выхода на новые рынки большую пользу может принести метод деловых игр.

Знания социометрии и бихевиоризма полезны при изучении потребительского поведения, а также в процессе анкетирования. Комплексные оценки качества и конкурентоспособности ориентируют на использование методов квалиметрического анализа, количественной оценки качественных явлений.

К этой группе методов, используемых в маркетинговом анализе, примыкают методы коммерческого анализа финансово-экономического потенциала предприятия (коммерческие расчеты, скоринговый анализ и т.п.).

Задачи выбора

Задачи выбора непрерывно возникают во всех сферах жизни и деятельности людей, каждая из которых, как правило, имеет множество альтернатив. Выбор одних может быть значащим только для отдельного индивида; другие же, например, принимаемые в экономической сфере, могут существенно затрагивать интересы многих людей. Видимо поэтому в зарубежной литературе экономика трактуется как общественная наука, изучающая выбор, совершаемый людьми в условиях ограниченных ресурсов. Каждая экономическая система сталкивается с необходимостью совершать те или иные виды выбора, связываемые с получением ответов на такие основные вопросы: что и сколько производить; кто, какую работу, как и в какие сроки должен выполнять; для кого предназначены результаты работы.

Приведем несколько примеров-задач, характерных для маркетингового менеджмента.

1. Для реализации определенной  массы сезонных товаров создается  сеть временных торговых точек. Необходимо определить оптимальные  параметры этой сети: число точек, их размещение, количество товарных  запасов и продавцов.

2. Руководство автотранспортного  предприятия приняло решение  повысить цены на автобусные  пассажирские билеты в два  раза, намереваясь тем самым улучшить  свое финансовое состояние. Достигнут ли они желаемого результата, если спрос на билеты зависит от цены и меняется по некоторому закону?

3. Необходимо составить  рациональный маршрут коммивояжера, который, выехав из одного пункта, должен побывать в остальных (N – 1) пунктах и возвратиться в исходный. Стоимость и время проезда, расстояния и другие условия перемещения из пункта в пункт предполагаются известными.

4. Рассматривается предложение  инвестировать в настоящее время 10 тыс. у.д.е. на срок 5 лет при условии получения ежегодного дохода в сумме 2 тыс. у.д.е. Кроме того, по истечении пяти лет дополнительно будет выплачено инвестору еще 3 тыс. уд. е. Целесообразна ли такая инвестиция, если имеется возможность «безопасно» депонировать эти деньги в банке при 12% годовых.

Решение задачи о коммивояжере я и рассматриваю в практической части моей курсовой работе.

Практическая часть. Решение задачи о коммивояжере методом ветвей и границ

Постановка задачи

Имеется n городов коммивояжере нужно проехать все n городов, начиная с первого, побывать в каждом городе ровно один раз и вернуться в первый город. Известны издержки переезда cij из города iв j.

Требуется найти такой маршрут переезда, который бы минимизировал бы суммарные издержки от переезда

/>-

называется гамельктоновым циклом – замкнутый цикл с прибыванием в каждом городе 1 раз.

T – все возможные гамельктоновые циклы.

Математическая задача будет ставится следующим образом:

Найти />, который минимизировал бы

/>

т.к. T – конечное множество, следовательно это задача дискретного программирования, поэтому можно методом ветвей и границ.

Дискретное программирование. Метод ветвей и границ

Постановка задачи дискретного программирования

/>на /> – конечное несчетное  множество.

Общая схема метода ветвей и границ решения ЗДП

/>. В начале процесса /> разбивается на /> подмножеств:

/>

/>

/>

В начале должна быть вычислена величина /> – нижняя оценка оптимального значения /> на />, т.е. если /> — решение ЗДП, то

/>(1)

/>.

Для всех подмножеств в />, полученных в результате разбиения, должна быть вычислена верхняя оценка /> функции /> на />.

/>

Величины /> и /> используются для сужения области поиска решения ЗДП. А именно если выполняется условие />(2).

(2) означает, что /> на множестве /> функция не достигает своего максимума, следовательно в дальнейшем подмножество /> можно не рассматривать при решении задачи.

 

    продолжение 
--PAGE_BREAK--

Предположим (2) выполнено для />, т.е. их нужно выбросить из рассмотрения. Потом корректируем />, на графе они просто вычеркиваются. Рассматриваем только оставшиеся висячие вершины подмножества. Для продолжения решения выбираем для разбиения следующее подмножество.

Выбираем следующее для разбиения подмножество из условия:

/>(4)

Пусть /> разбивается на />, переобозначим

/>

Для каждого из этих подмножеств вычисляем:

/>

/>(5)

Проверяем условие (5).

Пусть условие (5) выполняется для />(6).

Нужно скорректировать два подмножества /> и />

/>

В дальнейшем будем рассматривать только те подмножества, которые на графе являются висячими вершинами, т.е. нерассмотренные.

Дальнейший процесс решения задачи можно построить двумя способами.

Граф:

Первый способ:

Для дальнейшего разбиения выбирается подмножество из подмножеств, полученных в результате последнего разбиения />, например:

Пусть это будет /> и производим разбиение.

Дальнейший процесс будет проходить также.

При этом способе можно достаточно быстро получить подмножество />, содержащее всего один план задачи />

/>, то /> — претендент  на оптимальный план. Запоминаем />на графе на ветке, приводящей к /> ставим конец и корректируется величина />, т.е. />.

/>увеличена, следовательно нужно рассмотреть все нерассмотренные подмножества.

Далее продолжаем процесс решения задачи также.

Второй способ:

Выбирается множество для разбиения из всех висячих вершин, ещё нерассмотренных.

Выбирать способ решения задачи нужно в зависимости от конкретной задачи. При любом способе решения процесс продолжаем до тех пор пока не будет выполнено следующее условие: /> для любого /> (висячие вершины).

Решением задачи будет тот план, который дал последнее значение величине />.

Для решения конкретной ЗДП необходимо строить алгоритм метода ветвей и границ, согласно приведенной схеме. При этом нужно решить следующие проблемы:

как найти />;

по какому принципу проводить разбиение множества;

как вычислить />.

Решение задачи о комивояжере.

/> – верхняя оценка  оптимального значения />

/> – нижняя оценка  функции цели /> на множестве />

/>— оптимальная

/>

Как найти />?

Для нахождения /> необходимо провести операцию приведения матрицы />.

Определение:

Процесс вычитания из каждого элемента i-ой строки матрицы /> минимального элемента этой строки называется приведением матрицы /> по строке I, а минимальный элемент этой строки называется константой приведения. Аналогично процесс вычитания из каждого элемента j-ого столбца матрицы /> называется приведением матрицы /> по столбцам.

Приведенная матрица – это матрица, которая приведена и по всем строкам и столбцам.

/> – суммарная константа  приведения матрицы />.

Критерий приведения – в каждой строке и столбце должны быть хотя бы один нуль.

Приведенная матрица – />

t – произвольный гамельктоновый цикл.

/>/>

/>

На каждой итерации разбиваем множество на два подмножества.

Принцип разбиения:

X– произвольное множество, которое разбивается.

/> – подмножества, на  которые разбивается множество X.

На каждой итерации свои подмножества – />. Разбиение проходит по дуге/>. Во множество /> входят те гамельктоновы циклы из x, каждые из которых содержат дугу />. Во множество /> входят те гамельктоновы циклы из x, в которых запрещена дуга />, т.е. запрещен переезд в город l.

 

    продолжение 
--PAGE_BREAK--

/>

Из таких соображений выбираем дугу />:

1. /> должно быть как  можно меньше;

2. желательно выбрать />, чтобы максимально возросла />, следовательно, для дальнейшего  разбиения выберем y.

Это приведет к возможному нахождению гамельктонова цикла, а, следовательно, к коррекции величины />.

Чтобы выбрать дугу /> необходимо иметь матрицу />, следовательно, прежде всего рассмотрим как можно получить, зная />, матрицы соответствующие /> и />.

Схема получения />:

т. к. /> входит в любой гамельктоновый цикл из множества y, Поэтому вычеркиваем k – строку и l-столбец в матрице />, т. к. больше не можем въезжать в город l и выезжать из города k.

Из всех дуг уже зафиксированных для множества y составляем связный путь, который обязательно включает в себя последнюю зафиксированную дугу />. Этот связный путь может состоять из одной дуги />. Полагаем, что в матрице />/>, где m– конец, а p – начало, т.е. запрещаем подциклы.

Приводим />, в результате получим /> с /> – константа приведения.

Схема получения />

в матрице /> полагаем, что />, т.е. запрещаем.

В результате получаем />, приводим />, получаем /> и />

Схема выбора дуги />

просматривая все нулевые элементы />, и для каждого такого элемента рассчитываем величину /> – сумма минимального элемента i-ой строки и минимального элемента j-го столбца матрицы />, исключая сам нулевой элемент. />.

/>выбираем из условия /> для всех />

/>можно не получать, а сразу получать />.

Если же в процессе решения задачи придется разбивать />, а соответствующей матрицы нет, то её нужно восстановить из исходной матрицы.

Схема восстановления />для любого X из исходной матрицы />:

Пусть вершина X такова, что для неё уже зафиксированы />.

Шаг 1: для каждой фиксированной дуги />/> для каждой />.

Шаг 2: для каждой фиксированной дуги /> составляет связный путь, который содержит обязательную дугу />; и запрещает переезд из /> в />, т.е. />, где m– коней и p – начало.

Шаг 3: для каждой запрещенной дуги /> полагаем, что />

В результате получаем матрицу />, приводим её и получаем />.

Связной путь должен содержать последнюю зафиксированную дугу.

Пример

Фирма «Турал Арбуз Корпорейшен» проводит исследование для более удачного расположения нового склада для товара, который они должны поставлять в 4 магазина. Одним из критериев выбора стала своевременная поставка товара в кротчайшие сроки (обговорено в контрактах). Т.е. получается задача о коммивояжере. Водитель должен побывать на каждой точке с утра и вернуться на склад. Продается три склада, нужно выбрать один из них (цены одинаковы). Важнейшим критерием является минимальный срок проезда через все магазины и возвращение опять на склад. Известно время, за которое водитель может доехать с одной торговой точки до другой и время проезда до склада. Сначала находим минимальное время пути, затрачиваемое водителем с первого склада.

Дана матрица затрачиваемого времени при переезде из точки i в j.

/>

Приведение матрицы /> по строкам:

/>

Приведение матрицы по столбцам:

/>/>/>

/>

/>

Выбираем />:

/>

Получаем матрицу />

Связной путь (2,3), следовательно />

/>/>/>

Начинаем 2-ую итерацию

 

    продолжение 
--PAGE_BREAK--

/>

Связной путь: />

/>

3-я итерация.

/>

Нам нужно восстановить /> из />

/>/>/>/>/>

/> – связной путь />, />

/>

Приводим по строкам:

/>/>/>/>

4-я итерация:

/>

Связной путь: />

/>

Корректируем />:

/>

Ответ: оптимальный путь это – />

/>означает, что водитель  будет затрачивать минимум как 62 единицы времени для проезда  из первого склада во все  нужные магазины один раз и  для возвращения обратно на  склад. Нужно уточнить, что время  отгрузки здесь не считается.

/>/>

Граф задачи

После нахождения времени таких переездов со второго и третьего складов, нам останется только выбрать минимальное из них. Допустим, что /> для второго склада и /> для третьего. Тогда выгоднее взять второй склад.

Заключение

Для проведения маркетинговых исследований используется широкий спектр экономико-математических методов. Основные из них – это:

Статистические методы обработки информации;

Многомерные методы;

Регрессионные и корреляционные методы;

Имитационные методы;

Методы статической теории принятия решений;

Детерминированные методы исследования операций;

Гибридные методы

Самыми распространенными из них являются методы математической статистики.

Трудность применения экономико-математических методов маркетинговых исследований заключается в том, что они требуют у персонала высокой квалификации и огромный блок соответствующих знаний, но в XXI веке эта трудность сводится лишь к соответствию рабочего места специалиста-маркетолога с современными технологиями. Т.е. оно должно обеспечивать оперативное удовлетворение информационных и вычислительных потребностей специалиста, дающего реально ощутимые результаты и не требующего при этом от пользователя специальных знаний по прикладному и системному программированию.

Также сложность заключается в том, что маркетинг исследует людское поведение, которое не может быть до конца изучено, соответственно математически просчитать что-либо связанное с этим очень сложно.

Но, несмотря на некоторые недостатки, все-таки с помощью математических методов намного проще найти оптимальное решение некоторых экономических задач.

Одна из таких задач разбиралась в моей курсовой работе. Как видно это занимает не очень много времени, но единственный недостаток этого то, что требуется достаточно много времени для того, чтобы разобраться в методе и алгоритме решения. Это конечно является существенным недостатком, но согласитесь, что просто рассуждениями или, следуя интуиции, решение находилось бы намного дольше и, скорее всего, не оптимальное.