Оглавление: 

1.Задача №19( Практикум по эконометрике, Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордиенко Н.М., стр.38.)

2. Методы исключения  тенденции в анализе временных  рядов.

3. Список использованной  литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

                                  1. Задача № 19

 

1. По территориям  Центрального района известны данные за 1995 г.

 
 

1. Постройте  поле корреляции и сформулируйте  гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте  параметры уравнений линейной, степенной,  экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту  связи с помощью показателей  корреляции и детерминации.

4. Дайте с  помощью среднего (общего) коэффициента  эластичности сравнительную оценку  силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с  помощью средней ошибки аппроксимации  качество уравнений.

6. С помощью  F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте  прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора  увеличится на 10% от его среднего  уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости

а = 0,05.

8. Оцените полученные  результаты, выводы оформите в  аналитической записке. 
 
 

                                    Решение:

        Для удобства вычислений в ходе решения будем достраивать  исходную таблицу данных до вспомогательной  таблицы (см. расчетную таблицу ниже), округляя и занося в неё промежуточные результаты.

1) Основные характеристики выборки

Средние значения:  и .

Стандартные отклонения:  и .

      Итак, по данным регионам  средний размер назначенных ежемесячных пенсий составляет 228,38руб. со стандартным  отклонением 9,29 руб., а прожиточный  минимум в среднем на одного пенсионера – 203,54 руб. со стандартным отклонением 34,75 руб.  

      Поле  корреляции и линия  регрессии:

      Сначала построим поле корреляции – точки  с координатами (х_i, у_i), и принимая во внимание экономические соображения, по их расположению сформулируем предположение о связи Y и X.

      Визуальный  анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются  вдоль некоторой воображаемой прямой линии, но не очень плотно, рассеиваясь  около неё. Можно предположить, что  связь прожиточного минимума и среднего размера назначенных ежемесячных  пенсий положительная, не очень тесная.

     Это предположение проверим с помощью  линейного коэффициента корреляции: 

Линейная  связь положительна, теснота связи  средняя, умеренная.

2) Линейная парная  регрессионная модель

      Предположим, что связь между величиной  прожиточного минимума и средним  размером назначенных ежемесячных  пенсий – линейная, а значит, и  для данной выборки модель также  линейная: ; то есть решение сводится к нахождению линейного уравнения регрессии по выборке: . Таким образом, нужно найти коэффициенты регрессии a, b. Используя для этого классический подход, который основан на методе наименьших квадратов, приходим к системе нормальных уравнений:

.

Все необходимые  числовые значения рассчитаны ранее (см. расчетную таблицу), подставим их в систему нормальных уравнений:

и решим  её относительно a, b. Получим коэффициенты регрессии: a=197,85 и b= 0,15

      Итак, уравнение регрессии имеет вид: .

      Экономический смысл данного уравнения заключается  в том, что  с увеличением прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц на 1 тыс.руб., средний размер назначенных ежемесячных пенсий возрастает на 0,15 тыс.руб.

      В декартовой системе координат Х,У на поле корреляции строим и график линии регрессии по найденному уравнению (см. выше). 

3) Коэффициент детерминации

      По  свойству: , он показывает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора х включенного в уравнение регрессии равна 31%, а остальные 69% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии.

      Итак, полученный линейный коэффициент корреляции , коэффициент регрессии b= 0,15 и коэффициент детерминации свидетельствуют, что линейная зависимость суммы прожиточного минимума и среднего размера назначенных пенсий в регионах положительная, умеренная.

4) Средний коэффициент  эластичности:

     Для линейной регрессии: . Средний коэффициент эластичности показывает, что в среднем при повышении размера прожиточного минимума в месяц на 1% от своего среднего значения сумма среднего размера назначенных ежемесячных пенсий увеличивается на 0,134% от своего среднего значения. Эластичность прожиточного минимума по размеру назначенных ежемесячных пенсий невелика, что вполне согласуется с экономической теорией, а потому небольшое увеличение или уменьшение прожиточного минимума не влечет за собой резкого повышения или понижения размера назначенных ежемесячных пенсий. 

5) Оценка качества  уравнений с помощью  средней ошибки  аппроксимации.

Найдем  величину средней ошибки аппроксимации  , которая показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.

 
 

=2,93 говорит о хорошем качестве  уровня регрессии т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным. 

6) Оценка статистической  надежности результатов  регрессионного моделирования  с помощью F-критерия Фишера.

     Рассчитаем  F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Если табличное значение меньше фактического, то признается статистическая значимость и надежность характеристик, если наоборот, то признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.:

 
 
 
 
 

Так как  , то признается статистическая значимость уравнение в целом.

7)  Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.  

Следовательно, значения факторного признака для точечного  прогноза:

а точечный прогноз :  

     Ошибка  прогноза составит:

 
 

 
 

 

                  

     Предельная  ошибка прогноза: 

 

Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости

α = 0,05.

 

 

     Из полученных результатов видно,  что интервал от 212,06 до 250,70 тыс.  руб. ожидаемой величины среднего  размера назначенных ежемесячных  пенсий довольно широкий. Значительная  неопределенность прогноза линии  регрессии, связана прежде всего с малым объемом выборки (n=13), а также тем, что по мере удаления xp от ширины доверительного интервала увеличивается.  

     Выводы: Линейный коэффициент парной корреляции равен 0,56, следовательно, связь изучаемых явлений является заметной, прямой.

     Коэффициент детерминации равен 0,31, т.е. вариация результата на 31% объясняется вариацией фактора  х.

     При изменении в среднем прожиточного минимума на одного пенсионера на 1%, то средний размер назначенных ежемесячных  пенсий изменится приблизительно на 13%.

     Средняя ошибка аппроксимации равна 2,93%, что  попадает в допустимый предел значений 8-10% и говорит о том, что расчетные  значения отклоняются от фактических примерно на 3%.

     Полученное  значение F-критерия превышает табличное, следовательно, параметры уравнения и показателя тесноты статистически незначимы.

И гипотеза Hо о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

     Интервал  от 212,06 до 250,70 тыс. руб. ожидаемой величины среднего размера назначенных ежемесячных  пенсий довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, связана прежде всего с малым объемом выборки (n=13), а также тем, что по мере удаления x_p от ширина доверительного интервала увеличивается. 

  Рекомендации по  улучшению модели: проверить и устранить нарушения предпосылок МНК, в частности гетероскедастичности и/или автокорреляции остатков; добавить в модель другие существенные факторы; увеличить объем выборки.

  Расчетная таблица