Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО  «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Чебоксарский институт экономики и менеджмента (филиал)

Кафедра высшей математики и информационных технологий

Курсовой проект

по курсу «Экономико-математические методы и модели»

на тему «Имитационное моделирование. Метод Монте-Карло»

Вариант №8

Чебоксары

2012

Содержание

Введение              3

1.  Имитационное моделирование              6

1.1. Основные понятия имитационного моделирования              6

1.2. Имитационные модели систем              7

1.3. Применение имитационного моделирования              10

1.4. Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования              11

1.5. Преимущества и недостатки имитационного моделирования              13

2. Практическая часть              18

Заключение              22

Список литературы              24

Введение

Моделирование - это метод исследования сложных систем, основанный на том, что рассматриваемая система заменяется на модель и проводится исследование модели с целью получения информации об изучаемой системе. Под моделью исследуемой системы понимается некоторая другая система, которая ведет себя с точки зрения целей исследования аналогично поведению системы. Обычно модель проще и доступнее для исследования, чем система, что позволяет упростить ее изучение. Среди различных видов моделирования, применяемых для изучения сложных систем, большая роль отводится имитационному моделированию. Имитационной называется модель, которая воспроизводит все элементарные явления, составляющие функционирования исследуемой системы во времени с сохранением их логической структуры и последовательности. В последнее время большое прикладное значение получила разновидность имитационного моделирования, в котором в качестве модели используется программа, выполняемая на ЭВМ. Эта разновидность имитационного моделирования называется программным моделированием систем.

Имитационное моделирование является мощным инструментом исследования сложных бизнес-процессов и систем и позволяет решать трудноформализуемые задачи в условиях неопределенности. Поэтому данный метод позволяет совершенствовать системы поддержки принятия решений, улучшая тем самым экономические показатели организаций, уменьшая риск от реализации решений и экономя средства для достижения той или иной цели. Многие крупные компании (Xerox, Motorola, IBM, Intel, Ford) используют программы, предоставляющие возможность имитации принимаемых решений и исследования возможных изменений в экономической системе, возникающих в результате действия различных факторов, т.е. позволяющие выполнять проверку гипотез «что будет, если…». Кроме того, различными университетами создаются учебные программы-имитаторы для подготовки специалистов и выработки у них навыков принятия решений в сложившейся ситуации.  

Считается, что Т. Нейлор был одним из первых, кто применил методы имитационного моделирования для исследования экономических процессов. Его монография «Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем» легла в основу многих последующих работ по имитационному моделированию экономических процессов.

Имитационное моделирование становится эффективным методом исследования сложных систем со случайным взаимодействием элементов, таких как транспортные потоки, многоступенчатое промышленное производство, распределенные объекты управления. Принцип имитационного моделирования заключается в том, что поведение системы отображают компьютерной моделью взаимодействия ее элементов во времени и пространстве.

Главная ценность имитационного моделирования состоит в том, что в его основу положена методология системного анализа. Она дает возможность исследовать проектируемую или анализируемую систему по технологии операционного исследования, включая такие взаимосвязанные этапы, как содержательная постановка задачи; разработка концептуальной модели; разработка и программная реализация имитационной модели; оценка адекватности модели и точности результатов моделирования; планирование экспериментов; принятие решений. Благодаря этому имитационное моделирование можно применять как универсальный подход для принятия решений в условиях неопределенности и для учета в моделях трудно формализуемых факторов.

Изучение системы с помощью модели позволяет проверить новые решения без вмешательства в работу реальной системы, растянуть или сжать время функционирования системы, понять сложное взаимодействие элементов внутри системы, оценить степень влияния факторов и выявить “узкие места”.

Целью написания данной работы является рассмотрение имитационного моделирования в экономике и закрепление теоретических и практических знаний, а так же обзор метода Монте-Карло, как разновидности имитационного моделирования.

Задачи работы

1.      Рассмотрение теоретических основ имитационного моделирования, а так же обзор области применения имитационного моделирования.

2.      Изучение метода Монте-Карло

3.      Выявление основных достоинств и недостатков имитационного моделирования

4.      Решение задачи при помощи методов имитационного моделирования в практической части

1.  Имитационное моделирование

1.1. Основные понятия имитационного моделирования

Имитационное моделирование — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Моделирование — метод решения задач, при использовании которого исследуемая система заменяется более простым объектом, описывающим реальную систему и называемым моделью.

Моделирование применяется в случаях, когда проведение экспериментов над реальной системой невозможно или нецелесообразно: например, по причине хрупкости или дороговизны создания прототипа либо из-за длительности проведения эксперимента в реальном масштабе времени.

Различают физическое и математическое моделирование. Примером физической модели является уменьшенная копия самолета, продуваемая в потоке воздуха. При использовании математического моделирования поведение системы описывается с помощью формул. Особым видом математических моделей являются имитационные модели.

Имитационная модель — это компьютерная программа, которая описывает структуру и воспроизводит поведение реальной системы во времени. Имитационная модель позволяет получать подробную статистику о различных аспектах функционирования системы в зависимости от входных данных.

Разновидностью имитационного моделирования является стати-

стическое моделирование – обработка данных о системе (модели) с це-

лью получения статистических характеристик системы.

Следует отметить, что в современной литературе не существует

единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитаци-

онным моделированием. Тем не менее, в настоящий момент общепризна-

но, что системы имитационного моделирования являются наиболее эффек-

тивным средством исследования сложных систем.

1.2. Имитационные модели систем

Под системой понимается выделенное в соответствии с некоторым правилом объединение элементов любого рода, образующих связанное целое. Система не изолирована от окружающего мира. Все, что оказывает воздействие на систему, и на что система оказывает воздействие, называется внешней средой. В общем случае состав элементов системы переменный. Одни элементы находятся в системе постоянно, другие -появляются и покидают систему (временные элементы). Все атрибуты элементов и системы в целом можно разделить на два типа: переменные и постоянные. Переменными являются атрибуты, значение которых остается неизменным в рассматриваемом периоде времени. Совокупность конкретных значений всех переменных атрибутов элементов системы в целом в некоторый момент времени существования системы определяет состояние системы z(t).

Системы в соответствии с различными признаками могут быть классифицированы следующим образом:

- динамические-статические;

- дискретные-непрерывные-комбинированные;

- стохастические (вероятностные)-детерминированные.

Система является динамической, если ее состояние меняется с изменением времени, в противном случае система является статической. Если состояние системы, т.е. значение ее атрибутов, изменяется непрерывно, то она называется непрерывной системой, а если значения изменяются в дискретные моменты времени, то система называется дискретной. Существуют такие системы, у которых часть атрибутов, описывающих состояние системы, меняется непрерывно, а часть дискретно. Эти системы называются непрерывно-дискретными или комбинированными.

Система называется стохастической, если при одних и тех же начальных условиях результаты функционирования системы будут различаться, иначе система называется детерминированной.

Функционирование динамической дискретной системы в период времени [t0, T] заключается в последовательной смене состояний системы

Функционирование системы может рассматриваться и описываться как

взаимодействие событий, действий или процессов, происходящих в системе.

Под событием понимается всякое изменение состояния системы под воздействием внешней среды и сложившихся в системе условий. Событие рассматривается как мгновенное изменение состояния системы. Под действием понимается пребывание элемента системы в некотором состоянии. Переход элемента в данное состояние (начало действия) и выход из этого состояния (окончание действия) определяется условиями, сложившимися в системе. Упорядоченная во времени логически взаимосвязанная последовательность событий, выделенная в соответствии с некоторым признаком, называется процессом. Таким образом, процесс- это более агрегативное понятие, чем событие и действие. Существует множество систем, процессы функционирования в которых могут быть представлены моделями информационных потоков, получившими название систем массового обслуживания (СМО). Это прежде всего процессы в технических системах – телефонные сети, радиосвязь и телекоммуникации, вычислительные машины, системы и вычислительные сети. При их анализе наиболее важно определить скорость передачи или обработки информации, оценить пропускную способность, загрузку оборудования и т. д. При анализе транспортных систем важнейшими задачами являются определение скорости и объема перевозок, сокращение простоев и др. Процессы жизнедеятельности в биологических системах требуют прежде всего определения благоприятных условий жизни, размножения и развития отдельных особей или популяции (колонии, сообщества) в целом. Многие процессы деятельности человека (социальные, экономические, экологические) могут быть представлены моделями типа СМО. И даже обучение, представляемое как усваивание знаний и забывание, также может быть описано такими моделями. Любая подобная система неизбежно испытывает различного pода возмущения, источниками котоpых могут быть либо внешние воздействия, обусловленные случайными или систематическими изменениями окружающих условий, либо внутренние флюктуации, возникающие в самой системе в результате взаимодействия элементов. Пpи исследовании эти системы пpедставляются в виде стохастических моделей дискpетных пpоцессов (CМДП). Несмотря на успешное pазвитие и пpименение методов аналитического моделиpования СМДП, основным методом исследования таких систем остается имитационное моделиpование на ЭВМ с пpименением специализиpованных языков пpогpаммиpования. За всю историю pазвития вычислительной техники было создано более 300 языков моделирования дискретных процессов. Одним из первых языков описания СМДП, появившихся в начале 60-х годов, был язык блок-диаграмм, предложенный Гордоном, идеи которого оказались настолько плодотворны, что использовались во многих последующих pазpаботках в нашей стране и за рубежом. На основе языка блок-диаграмм в 70-х годах был создан и в последующем адаптиpован к ПК широко используемый в настоящее вpемя для моделиpования большого класса систем язык и система моделирования GPSS (General Purpose Simulation System - Система моделирования общего назначения).

1.3. Применение имитационного моделирования

Применение имитационного моделирования целесообразно, если:

–провидение экспериментов с реальной системой невозможно или дорого;

–требуется изучить поведение системы при ускоренном или замедленном времени;

–    аналитическое описание поведения сложной системы невозможно;

– поведение системы зависит от случайных воздействий внешней среды;

– требуется выявить реакцию системы на непредвиденные ситуации;

– нужно проверить идеи по созданию или модернизации системы;

–требуется подготовить специалистов по управлению реальной системой.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами или другими словами — разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны. С наступлением эпохи персональных компьютеров производство сложных и уникальных изделий, как правило, сопровождается компьютерным трёхмерным имитационным моделированием. Эта точная и относительно быстрая технология позволяет накопить все необходимые знания, оборудование и полуфабрикаты для будущего изделия до начала производства. Компьютерное 3D моделирование теперь не редкость даже для небольших компаний.

Области применения имитационного моделирования:

- бизнес процессы;

- боевые действия;

- динамика населения;

- дорожное движение;

- ИТ-инфраструктура;

- математическое моделирование исторических процессов;

- логистика;

- пешеходная динамика;

- производство;

- рынок и конкуренция;

- сервисные центры;

- цепочки поставок;

- уличное движение;

- управление проектами;

- экономика здравоохранения;

- экосистемы

1.4. Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования

Датой рож­дения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method». Создателями этого метода считают амери­канских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опублико­ваны в 1955—1956гг.

Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи стати­стики рассчитывались иногда с помощью случайных вы­борок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины' вручную—очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универ­сального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом.

Идея метода чрезвычайно проста и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан  обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас».

Нередко такой прием оказывается проще, чем по­пытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элемен­тов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены,  где процесс — явно немарковскпй, метод статистиче­ского моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно воз­можным).

В сущности, методом Монте-Карло может быть ре­шена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но край­не неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каж­дый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного  попадания равной 1 — (1/2)3 = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем»,  статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем  бросать «три монеты», считая, скажем, герб—за попадание, решку — за «промах». Опыт считается  «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N  произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен.

Метод Монте-Карло- это численный метод решения математических задач при  помощи моделирования случайных величин.

1.5. Преимущества и недостатки имитационного моделирования

Следовательно, имитационное моделирование – не теория, а методология решения проблем. Более того, имитационное моделирование является только одним из нескольких имеющихся в распоряжении системного аналитика важнейших методов решения проблем. Поскольку необходимо приспосабливать средство или метод к решению задачи, а не наоборот, то возникает естественный вопрос: в каких случаях имитационное моделирование полезно?

Необходимость решения задач путем экспериментирования становится очевидной, когда возникает потребность получить о системе специфическую информацию, которую нельзя найти в известных источниках. Непосредственное экспериментирование на реальной системе устраняет много затруднений, если необходимо обеспечить соответствие между моделью и реальными условиями; однако недостатки такого экспериментирования иногда весьма значительны:

-может нарушить установленный порядок работы фирмы;

-если составной частью системы являются люди, то на результаты экспериментов может повлиять так называемый хауторнский эффект, проявляющийся в том, что люди, чувствуя, что за ними наблюдают, могут изменить свое поведение;

-может оказаться сложным поддержание одних и тех же рабочих условий при каждом повторении эксперимента или в течение всего времени проведения серии экспериментов;

-для получения одной и той же величины выборки (и, следовательно, статистической значимости результатов экспериментирования) могут потребоваться чрезмерные затраты времени и средств;

-при экспериментировании с реальными системами может оказаться невозможным исследование множества альтернативных вариантов.

По этим причинам исследователь должен рассмотреть целесообразность применения имитационного моделирования при наличии любого из следующих условий:

1.Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. К этой категории относятся многие модели массового обслуживания, связанные с рассмотрением очередей.

2.Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

3.Аналитические решения существуют, но их реализация невозможна вследствие недостаточной математической подготовки имеющегося персонала. В этом случае следует сопоставить затраты на проектирование, испытания и работу на имитационной модели с затратами, связанными с приглашением специалистов со стороны.

4.Кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного периода.

5.Имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью вследствие трудностей постановки экспериментов и наблюдений явлений в реальных условиях (напримером, изучение поведения космических кораблей в условиях межпланетных полетов).

6.Для долговременного действия систем или процессов может понадобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку явление может быть замедлено или ускорено по желанию (например, исследования проблем упадка городов).

Дополнительным преимуществом имитационного моделирования можно считать широчайшие возможности его применения в сфере образования и профессиональной подготовки. Разработка и использование имитационной модели позволяет экспериментатору видеть и испытывать на модели реальные процессы и ситуации. Это в свою очередь должно в значительной мере помочь понять и прочувствовать проблему, что стимулирует процесс поиска нововведений.

Применение имитационных моделей дает множество преимуществ по сравнению с выполнением экспериментов над реальной системой и использованием других методов.

Стоимость. Допустим, компания уволила часть сотрудников, что в дальнейшем привело к снижению качества обслуживания и потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.

Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения продукции или измененной структуры склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.

Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.

Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой степени абстракции и не учитывают важные детали. Имитационное моделирование позволяет описать структуру системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.

Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями визуализации процесса работы системы во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов в графическом виде. Это позволяет наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.

Универсальность. Имитационное моделирование позволяет решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.

Однако имитационное моделирование наряду с достоинствами имеет и недостатки:

-разработка хорошей имитационной модели часто обходится дороже создания аналитической модели и требует больших временных затрат;

-может оказаться, что имитационная модель неточна (что бывает часто), и мы не в состоянии измерить степень этой неточности;

-зачастую исследователи обращаются к имитационному моделированию, не представляя тех трудностей , с которыми они встретятся и совершают при этом ряд ошибок методологического характера.

И, тем не менее, имитационное моделирование является одним из наиболее широко используемых методов при решении задач синтеза и анализа сложных процессов и систем.

2. Практическая часть

Задача. Фирма провела исследования, что за последние 100 месяцев объем продаж колебался от 4 до 10 новых телевизоров. Частота различных объемов продаж показаны в таблице.

Продажа будет идти в тех же объемах еще 12 месяцев. Время пополнения заказа на поставки распределяется следующим образом.

Каждый раз заказывается 20 телевизоров и делается новый заказ, когда запас снижается до 9 телевизоров. Новый заказ можно делать только после выполнения предыдущего.

Проимитируйте эту стратегию в течение 12 месяцев.

Считается, что:

1.                  Начальный запас составляет 25 телевизоров;

2.                  Затраты на хранение одного телевизора составляют в месяц 500 руб.;

3.                  Одна упущенная продажа приносит убыток 50 тыс. руб.;

4.                  Один заказ обходится в 30 тыс. руб.;

Сколько заказов придется сделать за 12 месяцев?

С какими издержками связана данная стратегия?

Решение:

Построим таблицы интегрального распределения вероятности и установим интервалы случайных чисел для объема продаж (Таблица 1) и времени поставок (Таблица 2).

Таблица 1

Относительная и накопленная частоты и интервал случайных чисел для объема продаж

Таблица 2

Интегральное распределение вероятности и интервал случайных чисел для времени поставок

Сымитируем продажу телевизоров за 12 месяцев (Таблица 3):

Таблица 3

Имитация продаж телевизоров

Данные о случайных числах взяты из Таблицы случайных чисел в приложении 1.

Из Таблицы 3 видно, что сумма затрат за 12 месяцев составит:

3*30 000 руб. =90 000 руб. – стоимость трех заказов,

70*500 руб. = 35 000 руб. – стоимость хранения 70 телевизоров

32*50 000 руб. =1 600 000 руб.- убыток от упущенных продаж.

Итого: 90 000+35 000+1 600 000=1 725 000 руб.

Ответ:

1. Три заказа придется сделать за 12 месяцев.

2. Сумма издержек данной стратегии составит 1 725 000 руб.

Вывод: Задача была решена методом Монте-Карло. Мы получили приемлемые результаты в этой задаче, что говорит о том, что данный метод можно использовать при имитационном моделировании.

Из Таблицы 3 видно, что фирма понесла убытки в основном из-за того, что во время спроса на товар, на складе нахватало телевизоров, т.е. из-за дефицита товара.

Так же из таблицы частоты объема продаж (Таблица 2),видно, что частота продаж 7-ми телевизоров относительно высокая, что и наблюдалось при имитации данной стратегии, т.е. в среднем в течение 12 месяцев продавалось по 7 телевизоров в месяц.

Вдобавок к этому, глядя на таблицу вероятностей времени поставок (Таблица 3), можно предположить, что сделанный заказ не очень быстро окажется на складе, т.к. вероятность поставки после 2 месяцев, и после 4 месяцев, относительно высокая.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод - для того что бы сократить убытки, фирме было необходимо делать заказы чаще, либо заказывать более 20 телевизоров зараз. Т.е. организовать поставки так, что бы на складе как минимум на 2 будущих месяца (наиболее вероятное время поставок) оставался запас телевизоров близкий к 14 шт.(средние продажи в месяц * 2 месяца).

Даже если спрос на телевизоры по каким-то непредвиденным причинам резко упадет, фирма все равно понесет меньше убытков, т.к. затраты на хранение одного непроданного телевизора в сумме с затратами, которые приходятся на заказ одного телевизора - меньше затрат на одну упущенную выгоду.

Заключение

В современной мировой обстановке применение имитационного моделирования во многих сферах деятельности человека является весьма перспективным направлением.

Несмотря на сложность его освоения и трудоемкость использования, этот метод со временем все больше и больше доказывает свою оправданность и значимость. Применяя его можно достичь все больших результатов. Хотя само имитационное моделирование со времени основания (более 40 лет назад) изменилось не существенно, но грамотность людей, в том числе в компьютерных науках, в среднем сильно возросла. Это в свою очередь и придало распространенность, и в будущем развитие имитационного моделирования. Находят все больше способов его применения и наук, в которых оно может быть задействовано.

С течением времени так же происходит и переосмысление человеческой жизни. Она начинает все больше и больше цениться. Следовательно, появляются новые способы ее сохранения и улучшения. В этом направлении работает множестве ученых в различных областях, начиная от медицины и заканчивая градостроительством и экологией. Так же и часть экономистов, программистов должна уделять особое внимание этому вопросу, так как чем быстрее понять важность этого направления, тем больше можно будет сделать в дальнейшем.

Идея имитационного моделирования одинакова привлекательна и для руководителей и для исследователей систем благодаря своей простоте. Поэтому метод имитационного моделирования в настоящее время стремятся применить для решения большинства практических задач. По результатам обследования 1000 крупнейших фирм США (их перечень постоянно приводится в журнале Fortune) установлено, что методами, которые в наибольшей степени используются при анализе их деятельности, являются методы имитационного моделирования.

Суть имитационного моделирования заключается в следующем:

1.Воспроизведение с необходимой достоверностью поведения отдельных элементов системы в процессе реализации ею функции системы;

2.Накопление статистических данных о поведении элементов;

3.Статистическая обработка этих данных для получения статистических оценок количественных характеристик законов распределения оцениваемых показателей эффективности.

Как правило, моделируемый объект - сложная система со стохастическим поведением. Возможны различные аспекты анализа поведения объекта:

-при анализе производительности объекта случайным является поток запросов на обслуживание, случайна также трудоемкость реализации запроса, определяемая числом операций, которые необходимы для его выполнения;

-при анализе надежности объекта случайны процессы отказов элементов (процесс деградации), случайны также интервалы времени, необходимого для ремонта отказавших элементов (процессы восстановления).

Главной функцией имитационной модели является воспроизведение с заданной степенью точности прогнозируемых параметров её функционирования, представляющих исследовательский интерес.  

Список литературы

1.      Афанасьев М. Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения : учебное пособие для вузов / М. Ю. Афанасьев, Б. П. Суворов . - М. : ИНФРА-М , 2003. - 443 с.

2.      Высшая математика для экономистов : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, [и др.], ред. Н. Ш. Кремер . - 2-е изд., перераб. и доп . - М. : ЮНИТИ , 2002. - 471 с.

3.      Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман . - 7-е изд., доп . - М. : Высш. шк. , 2003. - 404 с.

4.      Гусак А. А. Теория вероятностей : справочное пособие к решению задач / А. А. Гусак, Е. А. Бричикова . - Изд. 4-е, стер . - Минск : ТетраСистемс , 2003. - 286 с.

5.      Емельянов А. А. Имитационное моделирование экономических процессов : учебное пособие / А. А. Емельянов, Е. А. Власова, Р. В. Дума, ред. А. А. Емельянов . - 2-е изд., перераб. и доп . - М. : Финансы и статистика , 2009. - 416 с.

6.      Казаков О. Л. Имитационное моделирование экономических процессов : учебное пособие / О. Л. Казаков, Г. Б. Смирнов . - М. : Моск. гос. индустриал. ун-т , 2006. - 60 с

7.      Колмогоров А. Н. Введение в теорию вероятностей / А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров . - М. : Наука , 1982. - 159 с

8.      Косоруков О. А. Исследование операций : учебник для вузов / О. А. Косоруков, А. В. Мищенко . - М. : Экзамен , 2003. - 442 с.

9.      Костевич Л. С. Математическое программирование : информационные технологии оптимальных решений : учебное пособие для экономических специальностей вузов / Л. С. Костевич . - Минск : Новое Знание , 2003. – 424 с.

10. Красс М. С. Математика для экономистов : учебное пособие для вузов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов . - СПб. [и др.] : Питер , 2008. - 464 с

11. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер . - М. : ЮНИТИ-ДАНА , 2003. - 543 с.

12. Лихтенштейн В. Е. Экономико-математическое моделирование : учебное пособие / В. Е. Лихтенштейн, В. И. Павлов . - М. : ПРИОР , 2001. - 448 с.

13. Лоу А. М. Имитационное моделирование / А. М. Лоу, В. Д. Кельтон . - 3-е изд . - СПб. [и др.] : Питер , 2004. - 846 с.

14. Лычкина Н. Н. Имитационное моделирование экономических процессов : учебное пособие для вузов / Н. Н. Лычкина . - М. : ИНФРА-М , 2012. - 253 с.

15. Математика. Математический анализ для экономистов : учебник для вузов / О. И. Ведина, [и др.], ред. А. А. Гриб, А. Ф. Тарасюк . - М. : Филинъ , 2000. - 354 с.

16. Невежин В.П., Сборник задач по курсу «Экономико-математическое моделирование»./ В.П. Невежин, С.И. Кружилов  / – М.: ОАО «Издательский Дом «Городец»», 2007. – 320с.

17. Николаев В.Н., Принятие решений в микроэкономике и бизнесе: Учебное пособие / В.Н.Николаев, В.В.Матвеев / ЧКИ МУПК. – Чебоксары, 2008. – 292с.

18. Павловский Ю. Н. Имитационное моделирование : учебное пособие для вузов / Ю. Н. Павловский, Н. В. Белотелов, Ю. И. Бродский . - М. : Академия , 2008. - 235 с.

19. Попов А. М. Экономико-математические методы и модели. Высшая математика для экономистов : учебник для бакалавров / А. М. Попов, В. Н. Сотников . - М. : ЮРАЙТ , 2011. - 479 с.

20. Таха Х. Введение в исследование операций: в 2 кн.: пер. с англ. /Х. Таха/ – М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. – 407с.

21. Шикин Е. В. Исследование операций : учебник / Е. В. Шикин, Г. Е. Шикина . - М. : Проспект , 2006. - 276 с.

Приложение 1

Таблица случайных чисел

1