Дискретное преобразование Фурье

Санкт-Петербургский  государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический  университет) 

Гуманитарный  факультет 
 
 
 
 
 

Индивидуальная  работа по дисциплине Эконометрика

на тему

                                          Выполнил: студент

Санкт –  Петербург

2010

    Дискретное  преобразование Фурье 

    Существует  две формы преобразования Фурье - интегральное преобразование (1)

    и

(2),

которое определено на бесконечном интервале непрерывных значений времени и отображает непрерывную временную функцию в частотную область, и непрерывно-дискретное преобразование

(3),

которое определено на бесконечном интервале  дискретных значений времени и тем  самым дает возможность определять частотный состав сигнала, заданного бесконечным временным рядом. Для вычислений на ЭВМ применяется третья форма записи - дискретное преобразование Фурье, в которой как X(f), так и x(t) дискретны и пределы суммирования конечны:

               (4)

    Дискретные  значения частот в преобразовании (4) обусловлены конечной длиной записи, т.е. конечностью временного ряда. Здесь для краткости, как и в случае непрерывно-дискретного преобразования, вместо x(iT) используется обозначение x(i). Точно также вместо X(bk) записано X(k). Величина b зависит  от  интервала  дискретизации: b=(NT)^Г1.  

    К форме записи (4) можно перейти от непрерывно-дискретного преобразования Фурье (3), полагая x(i)=0 для i<0 и i>(N-1), а также определяя дискретные значения частот следующим образом: f_k=bk . Покажем это.  

    Укажем  некоторые особенности дискретного  преобразования Фурье, знание которых  необходимо для правильного составления  алгоритма вычисления на ЭВМ.

    1. Согласно теореме Котельникова, максимально возможной частотой  в спектре является частота Найквиста F_n=(2T)^Г1, поэтому соответствующее значение k в формуле (4) определяется из условия f_k= F_n:

    Отсюда  следует, что частота Найквиста  соответствует середине последовательности X(k). Это означает, что значениям индексов k в промежутке 0,…,N/2 соответствуют частоты, непревосходящие частоту Найквиста. Какой же смысл имеют величины X(k) при k>N/2? Оказывается, что этим величинам соответствуют отрицательные частоты. Покажем это. В формуле (4) заменим индекс k на -p :  

    Далее умножим экспоненту на единицу, записанную в виде: :  

т.е. X(-p)=X(N-p) . Таким образом, при вычислении дискретного преобразования Фурье, подобно случаю непрерывного преобразования, в спектре с необходимостью появятся отрицательные частоты, которые однако отсутствуют в реальном спектре и появление которых и в дискретном, и в непрерывном случаях обусловлено математической операцией преобразования Фурье. Поэтому для N значений данных получается примерно вдвое меньше значений спектральных составляющих.  

    2. Дискретное преобразование Фурье  является периодическим. Покажем  это. Предположим, например, что i=pN+q; p, q, - целые числа, причем 0 ≤ q ≤ N-1. Подставим новое значение i в выражение обратного преобразования Фурье:  

    Последнее в этом выражении равенство обусловлено  тем, что множитель  равен единице. Аналогичное доказательство можно провести для функции X(k). Таким образом, если попытаться продолжить вычисления для индексов k>N, то полученные значения X(k) полностью повторят уже имеющиеся: X(k+N) = X(k) . Поэтому для вычисления функций x(i) и X(k) вне множества 0,…,(N-1) следует брать значения их индексов по модулю N.