Контрольная работа по «Эконометрике»

 

 

 

КФ ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

Кафедра экономико-математических 
методов и моделей

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу «Эконометрика»

вариант № 4

 

 

 

 

                                                                    Выполнил: студентка 3 курса(день)    

                                                                  Специальность: Финансы и кредит

                                                                   Студенческий билет: 10ФФД40934

                                                              Сипилина Светлана Николаевна

                                 Преподаватель:

                                                               Семененко Марина Геннадьевна

 

 

 

Калуга, 2012г.

 

Задача 

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация (табл.1), характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.).

                     Таблица 1

X	36	28	43	52	51	54	25	37	51	29
Y	104	77	117	137	143	144	82	101	132	77

 

Требуется:

 

1. Найти параметры уравнения  линейной регрессии, дать экономическую  интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (a = 0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (a = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости a =0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y точки прогноза.
8. Составить уравнение нелинейной регрессии:

• гиперболической;
• степенной;
• показательной.

   Привести графики построенных  уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Значения  параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 2.

Таблица 2

№ п/п	x	y	y*x	x*x	yi - yср	(yi - yср)2	xi - xср	(xi - xср)2	ŷ=а+b*xi
1	36	104	3744	1296	-7,40	54,76	-4,6	21,16	100,36
2	28	77	2156	784	-34,40	1183,36	-12,6	158,76	81,16
3	43	117	5031	1849	5,60	31,36	2,4	5,76	117,16
4	52	137	7124	2704	25,60	655,36	11,4	129,96	138,76
5	51	143	7293	2601	31,60	998,56	10,4	108,16	136,36
6	54	144	7776	2916	32,60	1062,76	13,4	179,56	143,56
7	25	82	2050	625	-29,40	864,36	-15,6	243,36	73,96
8	37	101	3737	1369	-10,40	108,16	-3,6	12,96	102,76
9	51	132	6732	2601	20,60	424,36	10,4	108,16	136,36
10	29	77	2233	841	-34,40	1183,36	-11,6	134,56	83,56
Сумма	406	1114	47876	17586	0,00	6566,40	0,00	1102,40
Среднее	40,6	111,4	4787,6	1758,6

 

 

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = 13,96 + 2,4´ х

 

Экономическая интерпретация: коэффициент регрессии (b=2.4) показывает, на сколько единиц в среднем увеличивается результирующий признак (Y), при увеличении факторного на 1 ед.

Таким образом, мы видим, что с увеличением  капиталовложений на 1млн.руб.,объем  выпуска продукции в среднем  увеличивается на 2.4 млн.руб.

 

2.  Вычислить  остатки;  найти  остаточную  сумму  квадратов;  оценить  дисперсию  остатков  ; построить график остатков.

 

Значения  остатков е_i рассчитаны в таблице 3.Остаток е_i – расхождение между фактическим и спрогнозированным значениями величины у. Квадратный корень из этой величины называется стандартной ошибкой оценки.

                Таблица 3

 

ei = yi - ŷ	|ei/yi|*100%	ei2	ei-ei-1	(ei-ei-1)2	ei*ei-1
3,64	3,50	13,25	-	-	-
-4,16	5,40	17,31	-7,8	60,84	-15,1424
-0,16	0,14	0,03	4	16	0,6656
-1,76	1,28	3,10	-1,6	2,56	0,2816
6,64	4,64	44,09	8,4	70,56	-11,6864
0,44	0,31	0,19	-6,2	38,44	2,9216
8,04	9,80	64,64	7,6	57,76	3,5376
-1,76	1,74	3,10	-9,8	96,04	-14,1504
-4,36	3,30	19,01	-2,6	6,76	7,6736
-6,56	8,52	43,03	-2,2	4,84	28,6016
0,00	38,64	207,74		353,80	2,70
	3,86

 

Остаточная  сумма квадратов отклонений  

Стандартная ошибка оценки  S_e = 5,1

 

 

                  

 

 

Рис.1. График остатков

 

 

3.  Проверить выполнение предпосылок  МНК.

Независимость остатков проверяется с помощью  критерия Дарбина – Уотсона.

 

Автокорреляция случайной  составляющей нарушает одну из предпосылок  нормальной линейной модели регрессии.

Значение  статистики dw  найдено по промежуточным данным в таблице 3.

Оценки, полученные по критерию, являются не точными, а интервальными. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значения для уровня значимости a=0,05, k = 1, n=10 берем из таблицы d₁=1,08 и d₂=1,36.

Вывод: Вычисленное значение dw = 1.71 > d₂ = 1,36 , следовательно, гипотеза о независимости уровней ряда остатков друг от друга принимается и модель адекватна по этому критерию.

 

 

 

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t - критерия Стьюдента (a=0,05).

Значимость коэффициентов уравнения  регрессии оценим с использованием t-критерия Стьюдента.

Значения t-критерия вычислим по формулам:

           

 

Коэффициент Стьюдента t для m = n- 2 = 8 степеней свободы и уровня значимости a=0,05 равен 2,3060.

Вывод:

Поскольку t_а-расч меньше чем t_табл то параметр a  незначимый.

Поскольку t_b-расч больше чем t_табл то параметр b  значимый.

 

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (a=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

.

Он показывает долю вариации результативного  признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Чем ближе R² к 1, тем лучше качество модели.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 96,84% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений). Качество модели очень хорошее, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные, и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

Для проверки значимости модели регрессии  используется F-критерий Фишера:

 

F>F_табл= 5,32 для a=0,05, k₁ =m =1, k₂ = n-m-1 = n-2 =8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в  целом статистически значимое, т.к. F>F_табл..

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

 

Вывод: В среднем значение ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,864%. Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Так как ошибка аппроксимации данной модели меньше 7%, то это свидетельствует о хорошем качестве модели.

 

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости a=0.1, если прогнозное значение фактора X состовляет 80% от его максимального значения.

Пусть х_прогн= 0,8*х_max = 0,8*54= 43,2, сделаем прогноз для среднего значения показателя Y при уровни значимости a=0,1.

Стандартную ошибку предсказываемого по линии регрессии  значения найдем по формуле:

;

 

.

Даная формула характеризует ошибку положения  линии регрессии. Величина стандартной  ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении х_прогн достигает минимума при х_прогн = х, и возрастает по мере того, как «удаляется» от х в любом направлении.

 

 

Для прогнозируемого значения ŷ_х  95%-ные доверительные интервалы при заданном х_прогн определяются выражением , т.е. или ±43,11, при значении коэффициента Стьюдента t_a=25,968 для m=8 степеней свободы и уровня значимости 0,1.

Прогнозное значение составит у_прогн = 13,96 +2,4 ∙ 43,2 = 117,64, которое представляет собой точечный прогноз.

Прогноз линии регрессии в интервале  составит:

117,64 - 43,11 £

£ 117,64+43,11 т.е.

 

74,53 £

£ 160,75.

 

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

Построим  график фактических, модельных значений Y, точек прогноза.

Для линейной модели регрессии доверительный  интервал рассчитывается следующим  образом. Оценивается величина отклонения от линии регрессии (обозначим ее U):

 

 

 

Коэффициент Стьюдента t_a для m=8 степеней свободы (m=n-1) и уровня значимости 0,1 равен 1,8595. Тогда: