Хищник-Жертва

Рассмотрим теперь эволюцию предельного цикла при  изменении параметров задачи по отношению  к γ . Прежде всего следует отметить, что нелинейной взаимодействие полностью подавляет квазилинейный факторизованный член. Это проиллюстрировано на рис.5. Параметр β полагался равным 0.06, 0.09 и 0.11 (в предыдущих рассуждениях он был равен 0.03). Мы видим, что вид фазовых траекторий качественно не меняется и, поэтому, за β можно далее не следить. Ниже я буду считать его равным 0.03. 

Далее, будем цикл оказывается инвариантным по отношению к изменению параметра θ (выше он был 0.2). Этот факт иллюстрируется на рис.6 для θ = 0.87 и является очевидным, поскольку система уравнений (2) является в известной степени симметричной при замене хищников на жертв и наоборот. Поэтому, ниже примем равным 0.2. 

Наконец, рассмотрим изменения параметра δ, который выше принимался равным 0.03. Будем держать все остальные параметры постоянными, принимая для них значения, определённые выше, в частности, γ= 0.07. Совершенно очевидно, что при малых δ вид предельного цикла меняться не должен. Так на самом деле и происходит. На рис.7 рассмотрен случай δ = 0.01 и приведены различные нач. условия. Как и следовало, уменьшение собственной нелинейности хищников не ведёт к существенной перестройке цикла.

При увеличении δ предельный цикл размыва         и сисма стохастизуется. δ

На рис.8 приведены  фазовые траектории для δ 0.2, 0.30.4. Видно, что всё пространство внутри цикла заполнено, как и должно быть для сильно нелинейной диссипатмвной модели, находящейся в режиме хаоса. 

При меньших  значениях δ с циклом ничего особенно интересного не происходит Здесь выделяются, однако значения, близкие к 0.05. При этих значениях предельный цикл при некоторых нач. условиях переходит в фокус и процесс этот-периодический по нач. условиям. Очевидно, поскольку это происходит при конкретном значении δ такое явление есть исключительно свойство рассматриваемой модели. Результаты рассчётов на эту тему приведены на рис9. 
 

Заключение

В заключение, было рассмотрено обобщение модели Вольтерры с помощью введения дополнительного нелинейного взаимодействия между хищником и жертвой. Полученая модель имеет на своей фазовой плоскости предельный цикл, что означает колебания численности обеих популяций около некоторого равновесного значения. Данный предельный цикл является очень устойчивым. Это говорит об устойчивости полученной экосистемы по отношению к внешним воздействиям.