Древняя и средневековая Индия

Древняя и средневековая  Индия

     Еще в середине III тысячелетия до н. э. в долине Инда существовала развитая цивилизация, одним из центров которой был город, раскопанный вблизи холмов Мохенджо-Даро. Эта цивилизация, основанная первоначальным населением Индии, во II тысячелетии до н. э. была разрушена арийскими племенами, пришедшими с Гималаев. Потомками первоначального населения Индии являются дравиды Южной Индии. Завоеватели создали рабовладельческие государства в I тысячелетии до н. э. В этих государствах велась борьба за власть, главным образом между воинами — кшатриями и священниками — брахманами, нередко вспыхивали восстания угнетенных сословий и каст. В I тысячелетии до н. э. появляются священные книги брахманов «Веды» («Знания»). К VII—V вв. до н. э. относятся первые индийские письменные математические памятники.

     В V в. до н. э. в Индии возникает новая  религия — буддизм, отражавшая недовольство угнетенных слоев. Не позже IX в. до н. э. была установлена связь Индии с Вавилоном.

     В VI в. до н. э. часть Северной Индии была захвачена персидским царем Дарием. В 327—325 гг. до н.э. еще большая часть Северной Индии была завоевана Александром Македонским, а впоследствии вошла в состав царства Селевкидов. Вождь восстания против греков Чандрагупта основал новую династию Маурья в Магадхе (ныне Бенгалия) со столицей в Паталипутре (ныне Патна). Внук Чандрагупты Ашока (273—232 гг. до н. э.) объединил почти всю Северную Индию и значительную часть Южной Индии, при нем буддизм становится государственной религией индийцев. Часть Индии, входившая в царство Селевкидов, вместе с югом Средней Азии и Афганистаном в III в. до н. э. вошла в состав Греко-Бактрийского царства, оставившего заметный след в развитии культуры Индии. В I в. до н. э. эти земли вошли в царство Великих Кушан, во главе которого стояли скифские завоеватели. Государство Кушан установило торговые отношения с Китаем и Римом.

     В IV в. н. э. Северную и Центральную  Индию объединила династия Гунта. В  это время появляются астрономо-математические труды «сиддханты» («учения»). В царстве Гупт в V—VI вв. работают уроженец Паталипутры Ариабхата и уроженец Удджайна Варахамихира, в VII в. в Удджайне работает Брахмагупта. В VII—VIII вв. «сиддханты» и труды Ариабхаты и Брахмагупты становятся известны в странах ислама и переводятся на арабский язык. В это же время переводятся на персидский и арабский языки многие произведения индийской литературы, например «Калила и Димна».

     В VIII в. многовековая борьба между буддизмом  и древней индийской религией заканчивается победой последней. Буддисты изгоняются из Индии и уходят в другие страны (ныне буддизм — основная религия в Бирме, Тибете и Монголии и широко распространенная религия в Японии и Китае).

     В это же время Северная Индия подвергается нападениям мусульманских завоевателей. В XI в. Северную Индию захватывает Махмуд Газневи. Основанная им династия правит в Северной Индии и после его изгнания из Ирана.

     После опустошительных войн в Северной Индии центр науки и культуры переносится в Южную Индию. Здесь работают математики и астрономы Магавира (IX в.), Шридхара (IX—X вв.), Бхаскара (XII в.), Нарайана (XIV в.), Нилаканта (XV—XVI вв.).

     В начале XIII в. почти вся Индия объединяется Делийским султаном. В XVI в. значительная часть Индии была покорена Бабуром, потомком Тимура; основанная им империя по имени монгольских предков Тимура называется империей Великих Моголов.

     Последним ярким событием научной жизни  Индии перед ее завоеванием европейцами  была деятельность правителя Раджпутаны (ныне Раджастан) Савай Джай Сингха (1686—1743), основавшего несколько астрономических обсерваторий в Северной и Центральной Индии и составившего астрономические таблицы.

     Большинство научных трактатов индийцев написаны на санскрите — языке религиозных  книг брахманов. Этот язык объединял  многочисленные народы Индии, говорившие на различных языках. Только в XVII в. индийцы стали писать научные трактаты на разговорных языках: анонимный южно-индийский трактат «Йукти бхаша» («Разъяснение математики») написан на языке малайялам, а астрономические таблицы Савай Джай Сингха — на распространенном в Северной Индии персидском языке.

     Следует отметить, что наши сведения о математике древней и средневековой Индии весьма неполны и о некоторых этапах развития индийской математики мы можем судить только предположительно. Некоторые сведения о математике древней Индии мы черпаем из комментариев к священным книгам брахманов «Веды». В одной из таких книг, относящейся к VII—V вв. до н. э., «Шулва сутра» («Правила веревки») излагаются способы построения алтарей и связанные с ними вычисления.

     Первые «сиддханты», появившиеся в V в. н. э., имеют явно эллинистическое происхождение. «Пулиса-сиддханта» приписывается некоему Паулисе из Саинтры. По-видимому, ее автором был александрийский астроном Паулос, бежавший в Индию после разгрома научного центра в Александрии. О греческом происхождении свидетельствует и название «Ромака-сид-дханты»: жителей Восточной Римской империи часто называли ромеями (впоследствии арабы называли их румами). В сиддхантах применяются некоторые греческие термины: расстояние от центра называется «кендра» (от греческого — центр), минута — «липта». Важнейшая из сиддхант была написана Брахмагуптой около 628 г. Она называлась «Брахма-спхута-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы») и состояла из 20 книг, большая часть которых была отведена астрономии, но XII книга была специально посвящена арифметике и геометрии, а XVIII книга — алгебре.

     Многие  трактаты были написаны в стихах, чтобы правила, сформулированные в коротких строках, можно было заучить наизусть. Например, «Тришатика» Шридхары (IX — X вв.) получила свое название от слова «тришата» — «триста», так как содержала триста стихов. Весьма краткое стихотворное изложение, почти непонятное непосвященным, разъяснялось в комментариях.

     Крупнейшему индийскому математику XII в. Бхаскаре принадлежит трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения»), переписанный в XIII в. на полосках пальмовых листьев (рис. 1). Этот трактат состоит из четырех частей, из которых «Лилавати» («Прекрасная») посвящена арифметике, а «Биджаганита» — алгебре, остальные две части астрономические. Название «Лилавати» относится то ли к дочери ученого, к которой автор обращается с задачами, то ли к самой арифметике.

Рис. 1

Индийская нумерация

     Счет  целых чисел в Индии с древних  времен носил десятичный характер. Санскрит — индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1 — эка, 2 — дви, 3 — три). В названиях чисел применялся и аддитивный и субстрактивный принципы; например, 19 можно было назвать и «навадаша», (девять-десять) и «экауна — вимсати» (без одного двадцать). В отличие от других индоевропейских языков, в санскрите существуют названия для 10ⁿ до n> 50.

     Одной из первых нумераций, применявшихся  в Индии, были цифры «карошти» (рис. 2), которыми пользовались в Северной Индии со времени персидского завоевания до III в. н. э. вместе с сирийским письмом. Цифры карошти были во многом похожи на финикийские: числа записывались справа налево, знаки для 1 и 10 были весьма близки к финикийским, имелся знак для 20, представляющий собой соединение двух знаков для 10, и знак для 100, который, как и в финикийской нумерации, не повторялся, а справа от него записывалось число сотен. Однако, в отличие от финикийских цифр, здесь употреблялся специальный знак для 4.

     Рис. 2    Цифры карошти

     Начиная с VI в. до н. э. в Индии были широко распространены цифры «брахми» (рис. 3). В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. Однако в обеих нумерациях было немало общего. Не говоря уже о том, что первые цифры в обоих случаях изображали три палочки, а четвертая — четыре палочки (в случае карошти — в виде креста), общим было то, что до сотни в обоих случаях применялся чисто аддитивный принцип, а начиная с сотен этот принцип соединялся с мультипликативными: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000.

     Рис. 3   Цифры брахми

     Следует отметить, что первые три знака  в обеих нумерациях совпадают  с китайскими; встречалась в Китае  и четверка в виде креста. Важным отличием цифр брахми от карошти было (как и в китайских цифрах) наличие специальных знаков для чисел от 1 до 9; возможно, что цифры карошти представляли собой промежуточную стадию между обозначениями чисел от 1 до 9 с помощью повторения знака для 1, применявшимися в Финикии, Вавилоне и Египте, и обозначениями этих чисел с помощью специальных знаков.

     Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации.

     Первая  известная нам запись с помощью цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI в. н. э.: это дарственная запись от 595 г. н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместе него на счетной доске оставлялся пустой столбец.

     Наряду  с цифровой записью в Индии  широко применялась словесная система  обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами «пустое», «небо», «дыра»; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы»; четверка — словами «океаны», «стороны света» и т. д.

     Применение  позиционного принципа в словесной нумерации, в котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами «Луна — дыра — крылья — Луна». Одно из названий нуля — «шунья» (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. индийские сиддханты переводили на арабский язык, слово «шупья» перевели арабским словом «сыфр», имеющим то же значение. Слово «сыфр» при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово «цифра», также первоначально означавшее нуль.

     Но  в это же время на судьбу нумерации  значительное влияние оказали математики. В области вычислений требовались более удобные системы счисления и Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами.

     Первое  достоверное свидетельство о  записи нуля относится к 876 г., в настенной  надписи из Гвалиора (Индия) имеется  число 270. Одни исследователи (Г. Фрейденталь) предполагают, что нуль был заимствован у греков, которые ввели в качестве нуля букву о в шестидесятиричную систему счисления, употребляемую ими в астрономии. В V в. в Индии появилась переводная греческая астрономическая литература. Освоение ее индийцами, возможно, повлияло и на перемену порядка следования цифр (от старших к младшим, как это было у вавилонян и греков) и на запись дробей, аналогичную их записи в эллинистическом Египте.

     Другие (Дж. Нидэм), наоборот, считают, что нуль пришел в Индию с востока, он был изобретен на границе индийской и китайской культур. Обнаружены более ранние надписи от 683 и 686 гг. в нынешних Камбодже и Индонезии, где нуль изображен в виде точки и малого кружка. Те же доводы, что и у Фрейденталя (порядок следования разрядов, запись дробей, переводная литература), могут быть приведены в пользу не греческого, а китайского происхождения нуля.

     На  основе цифр брахми выработались современные  индийские цифры «деванагари» (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев.

     Первым  свидетельством об индийской десятичной позиционной системе являются слова  сирийского христианского епископа Севера Себохта, жившего в одном из монастырей в верховьях Евфрата в VII в. В рукописи 662 г. Себохт писал: «Я не стану касаться науки индийцев... их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков ».

     Мы  называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе —«индийским счетом» (хисаб ал-Хинд).

     Арифметические  действия

     Если  наши геометрические курсы в значительной степени восходят к греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское происхождение. Именно от индийской позиционной нумерации происходит наша нумерация, индийцы же первые разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации.

     К основным арифметическим действиям  индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней.

     Вычисления  индийцы производили на счетной  доске, покрытой песком или пылью, а то и прямо на земле. Поэтому арифметические вычисления иногда назывались «дхули-карма» — работа с пылью. Числа записывались заостренной палочкой. Чтобы хорошо различать цифры, их писали довольно крупно, поэтому промежуточные выкладки стирались. Это наложило отпечаток на индийские способы вычисления.

     Сложение  и вычитание производились как  справа налево, т. е. от низших разрядов к высшим, так и слева направо, от высших разрядов к низшим.