Вычисление матрицы в MS Excel

 
 
 
 
 
 

то С = А + В:

 
 
 

В частном случае А + 0 = А.

Аналогично определяют разность двух матриц С = А – В.

В MS Excel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Пример 1.4. Пусть матрица А из рассмотренного примера, введена в диапазон А1:С2, а матрица В – в диапазон А4:С5. Необходимо найти матрицу С, являющуюся их суммой.

Решение.

1. Табличный курсор  установите в левый верхний угол результирующей матрицы, например в А7.

2. Введите формулу  для вычисления первого элемента  результирующей матрицы = А1 + А4

3. Скопируйте введённую  формулу в остальные ячейки  результирующей матрицы: установите  табличный курсор в ячейку  А7; наведите указатель мыши на  точку в правом нижнем углу  ячейки так, чтобы указатель  принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши  протяните указатель до ячейки  С7; затем так же протяните указатель  мыши до ячейки С8.

В результате в ячейках А7:С8 появится матрица, равная сумме исходных матриц. Подобным образом вычисляется разность матриц, только в формуле для вычисления первого элемента вместо знака «+»  ставят знак «-». 
 
 
 
 
 
 
 

Умножение матрицы на число 

Произведением матрицы  А на число k называется матрица В = kA, элементы которой b_ij = ka_ij для I = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n. Иначе говоря, при умножении матрицы на постоянную каждый элемент этой матрицы умножается на эту постоянную: k*A_ij = (k*a_ij).

Например, для матриц А и В из предыдущего примера: 
 
 
 
 
 
 

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая  матрица, то есть 0 × А = 0.

В MS Excel для выполнения операции умножения матрицы на число могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Пример 1.5. Пусть, как и в предыдущем примере матрица А введена в диапазон А1:С2. Необходимо получить матрицу С = 3 × А.

Решение

1. Табличный курсор  поставить в левый верхний  угол результирующей матрицы,  например в Е1.

2. Введите формулу  для вычисления первого элемента  результирующей матрицы = 3*А1.

3. Скопируйте введённую  формулу в остальные ячейки  результирующей матрицы: установите  табличный курсор в ячейку  Е1; наведите указатель мыши на  точку в правом нижнем углу  ячейки так, чтобы указатель  принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши  протяните указатель до ячейки  G1; затем так же протяните указатель мыши до ячейки G2.

В результате в ячейках  E1:G2 появится матрица, равная исходной матрице, умноженной на постоянную – 3.

 
 
 

Умножение матриц 

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк  второй.

Пусть А = (a_ij) m×n, B = (b_ij) n×p, тогда размерность произведения А×В равна m×p. При этом матрица С называется произведением матриц А и В, если каждый её элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: 

Таким образом, перемножение матриц осуществляется по следующему правилу:

 
 
 
 
 
 

Пусть, например,

Многие свойства, присущие операциям  над числами, справедливы и для  операций умножения матриц.

Для матриц верны  общие свойства операции умножения.

1. А(ВС) = (АВ)С – ассоциативность.
2. А(В+С) = АВ + АС – дистрибутивность.
3. (А + В)С + АС + ВС.
4. (αА)В = А(αВ) = α(АВ), α – константа.

Однако имеются  и специфические свойства операций умножения матриц.

5. Умножение матриц некоммутативно – АВ ≠ ВА.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы  А n-го порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А.

6. Если Е – единичная матрица, то ЕА = А; ЕВ = В.

Таким образом, единичная  матрица играет при умножении ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

7. Из того, что А × В = 0, не следует, что А = 0 или В = 0.

В алгебре матриц нет действия деления. Выражение  А/В не имеет смысла. Его заменяют два различных выражения В^-1 × А и А × В^-1, если существует В^-1.

Для квадратных матриц возможна операция возведения в степень. По определении. полагают, что А⁰ = Е и А¹ = А. Целой положительной степенью A^m(m>1) квадратной матрицей А называется произведение m матриц, равных А, то есть: 
 
 

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ, которая вычисляет произведение матриц.

Функция имеет вид  МУМНОЖ(массив1;массив2).

Здесь массив1 и массив2 – это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Массив С, который  является произведением двух массивов А и В, определяется следующим  образом:

 

где I – номер строки, а j – номер столбца.

Рассмотрим пример умножения матриц.

Пример 1.6. Пусть матрица А из примера 1.2 введена в диапазон А1:D3, а матрица В – в диапазон А4:В7. Необходимо найти произведение этих матриц С.

Решение

1. Выделите блок  ячеек под результирующую матрицу.  Для этого требуется найти  размер матрицы-произведения. Её  размером будет mp, в данном примере 32. Например, выделите блок ячеек F1:G3.

2. Нажмите на панели  инструментов Стандартная кнопку  Вставка функции. 

3. В появившемся  диалоговом окне Мастер функций  в рабочем поле Категория выберите  Математические, а в рабочем поле  Функция – имя функции МУМНОЖ. После этого щелкните на кнопке  ОК.

4. Появившееся диалоговое окно  МУМНОЖ мышью отодвиньте от  исходной матрицы и введите  диапазон исходной матрицы А  - А1:D3 в рабочее поле Массив1 (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В – А4:В7 введите в рабочее поле Массив2 (рис. 1.5). Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. 
 
 
 
 
 

Рис. 1.5. Пример заполнения рабочих полей диалогового окна МУМНОЖ 

5. Если произведение  матриц А×В не появилось в  диапазоне F1:G3, то следует щёлкнуть указателем мыши в строке формул и ещё раз нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне  F1:G3 появится произведение матриц:

 
 
 
 
 

Список  литературы: 

1. www.office.microsoft.com

2. В. Я. Гельман «Решение математических задач средствами Excel», стр. 49-60