Транспортная задача

Содержание 
 

 

Введение 

     Транспортная  задача линейного программирования получила в настоящее время широкое  распространение в теоретических  обработках и практическом применении на транспорте и в промышленности. Особенно важное значение она имеет в деле рационализации постановок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

Кроме того, к задачам транспортного типа сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

      Цель  заданной работы - освоить математическую постановку транспортной задачи линейного  программирования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Постановка задачи и ее математическая модель

     Транспортная  задача является частным типом задачи линейного программирования и формулируется  следующим образом. Имеется m пунктов отправления (или пунктов производства) А_i …, А_m, в которых сосредоточены запасы однородных продуктов в количестве a₁, ..., а_m единиц. Имеется n пунктов назначения (или пунктов потребления) В₁, ..., В_m, потребность которых в указанных продуктах составляет b₁, ..., b_n единиц. Известны также транспортные расходы С_ij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта A_i в пункт В_j, i 1, …, m; j 1, ..., n. Предположим, что

  

т. е. общий  объем производства равен общему объему потребления. Требуется составить  такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц продукта везти), чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок. Приведенная формулировка транспортной задачи называется замкнутой транспортной моделью. Формализуем эту задачу.

     Пусть х_ij - количество единиц продукта, поставляемого из пункта А_i в пункт В_j. Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой:

  (1)

Суммарное количество продукта, направляемого из каждого  пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу продукта в данном пункте. Формально это означает, что

, i 1, …, m  (2)

Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт  назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно потребности. Это  условие полного удовлетворения спроса:

, j 1, …, n  (3)

Объемы перевозок - неотрицательные числа, так как  перевозки из пунктов потребления в пункты производства исключены:

x_ij 0, i 1, ..., m; j 1, ..., n (4)

     Транспортная  задача сводится, таким образом, к  минимизации суммарных затрат при  выполнении условий полного удовлетворения спроса и равенства вывозимого количества продукта запасам его в пунктах отправления.

Определение 1.

Всякое неотрицательное  решение системы линейных уравнений

, j 1, …, n и  , i 1, …, m,

определяемое  матрицей X=(x_ij)(i 1, …, m; j 1, ..., n), называется планом транспортной задачи. 

Определение 2.

План X*=(x*_ij)(i 1, …, m; j 1, ..., n), при котором функция

 

принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Обычно исходные данные записываются в виде таблицы 1. 

Таблица 1.

 

Очевидно, общее  наличие груза у поставщиков  равно  , а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна единице. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т.е.

,  (5)

то модель такой транспортной задачи называется закрытой.

В ряде случаев  не требуется, чтобы весь произведенный  продукт в каждом пункте производства был реализован. В таких случаях  баланс производства и потребления может быть нарушен:

, i 1, ..., m.

Введение  этого условия приводит к открытой транспортной модели.

Теорема 1.

Любая транспортная задача, у которой суммарный объем  запасов совпадает с суммарным  объемом потребностей, имеет решение. 

 

2. Модели  транспортной задачи

2.1.  Закрытая модель транспортной задачи 

     Для доказательства теоремы необходимо показать, что при заданных условиях существует хотя бы один план задачи и  линейная функция на множестве планов ограничена.

Доказательство. Пусть   = M > 0 . 

     Тогда   величины  x_ij = a_ib_j /M (i = 1,2,3, ... m; j = 1,2,3, ..., n)                                являются планом, так как они удовлетворяют системе ограничений

( 2 ) и ( 3 ) .

 Действительно,  подставляя значения  в  (2) и  (3) , находим 

     = a_i ,

    = b_j .

Выберем из значений  C_ij  наибольшее  C¢ = max C_ij и заменим в линейной функции ( 1 ) все коэффициенты  на C¢  тогда, учитывая ( 2 ) , получим

   ,

Выберем из значений C_ij  наименьшее C¢¢=min C_ij и заменим в линейной функции все коэффициенты на C¢¢ ; тогда, учитывая ( 2 ) имеем

 

Объединяя два  последних неравенства в одно двойное , окончательно получаем

C¢¢M ? Z ? C¢ M,

т. е.  линейная функция ограничена на множестве планов транспортной задачи.  

 

2.2. Открытая модель транспортной задачи 

         Транспортная задача, в которой суммарные запасы и  потребности не совпадают, т. е. не выполняется условие , называется открытой. Для открытой модели может быть два случая:

1. суммарные запасы превышают суммарные потребности ;
2. суммарные потребности превышают суммарные запасы .

Линейная  функция одинакова в обоих  случаях, изменяется только вид системы  ограничений.

 Найти минимальное значение линейной функции

 при ограничениях

,    i = 1, 2, ..., m,                           (случай  а)

,    j = 1, 2, ..., n;

,    i = 1, 2, ..., m,                           (случай б)

,   j = 1, 2, ..., n,

x_ij ³ 0   (i = 1, 2, ..., m;    j = 1, 2, ..., n).

Открытая  модель решается приведением к закрытой модели.

 В случае (а), когда суммарные запасы превышают  суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель B_n+1, потребности которого  b_n+1 = . В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик A_m+1, запасы которого a_m+1 = .

Стоимость перевозки  единицы груза как фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.

После преобразований задача принимает вид закрытой модели и решается обычном способом. При равных стоимостях перевозки единицы груза от поставщиков к фиктивному потребителю затраты на перевозку груза реальным потребителям минимальны, а фиктивному потребителю будет направлен груз от наименее выгодных поставщиков. То же самое получаем и в отношении фиктивного поставщика.

     Прежде  чем решать какую-нибудь транспортную задачу, необходимо сначала проверить, к какой модели она принадлежит, и только после этого составить  таблицу для ее решения.

 

      3. Определение оптимального и опорного плана транспортной задачи 

      Как и при решении задачи линейного  программирования, симплексным методом, определение оптимального плана  транспортной задачи начинают с нахождения какого-нибудь ее опорного плана.

      Число переменных X_ij в транспортной задаче с m пунктами отправления и n пунктами назначения равно nm, а число уравнений в системах (2) и (3) равно n+m. Так как мы предполагаем, что выполняется условие (5), то число линейно независимых уравнений равно n+m-1 отличных от нуля неизвестных.

      Если  в опорном плане число отличных от нуля компонентов равно в точности n+m-1, то план является не выраженным, а если меньше - то выраженным.

      Для определения опорного плана существует несколько методов. Три из них - метод северно-западного угла, метод минимального элемента и метод аппроксимации Фогеля - рассмотрены ниже.

    При  составлении первоначального опорного  плана методом северо-западного  угла стоимость перевозки единицы  не учитывается, поэтому построенный  план далек от оптимального, получение которого связано с большим объемом вычислительных работ. Обычно рассмотренный метод используется при вычислениях с помощью ЭВМ.

     Как и для всякой задачи линейного  программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным  планом.

      Для определения оптимального плана транспортной задачи можно использовать изложенные выше методы. Однако ввиду исключительной практической важности этой задачи и специфики ее ограничений [каждое неизвестное входит лишь в два уравнения системы (2) и (3) и коэффициенты при неизвестных равны единице] для определения оптимального плана транспортной задачи разработаны специальные методы. Два из них - метод потенциалов и Венгерский метод - рассматриваются ниже.

 

4. Методы определения первоначального опорного плана

4.1. Метод минимального элемента 

     Суть  метода заключается в том, что  из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку, которая  ей соответствует, помещают меньшее  из чисел  и . Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.