Системы счисления

      Перевод десятичного числа в двоичный код можно осуществлять путем последовательного деления числа на 2. Остатки ( 0 или 1 ), получающиеся на каждом шаге деления, формируют двоичный код преобразуемого числа, начиная с его младшего разряда. В качестве старшего разряда двоичного кода записывается 1, полученная в результате последнего шага деления. Например, преобразование числа =109 в двоичный код выполняется следующим образом:

      

       :  остатки                   109   2

         =1                                          54   2

          =0                                                  27   2

          =1                                                        13   2

          =1                                                                6   2

          =0                                                                     3   2

          =1                                                                          1

          =

       =109= = =1101101 

      Обратное  преобразование выполняется следующим  образом:

       =

                                                              1      0     1      1      0     1      1 

      Цифровые  системы оперируют действительными, целыми и дробными числами, которые  могут иметь две формы представления: с плавающей запятой, с фиксированной запятой.

      При использовании плавающей запятой  число состоит из двух частей: мантиссы m, содержащей значащие цифры числа, и порядка p, показывающего степень, в которую надо возвести основание числа q, чтобы полученное при этом число, умноженное на мантиссу , давало истинное значение представляемого числа:

      

      Мантисса  и порядок представляются в двоичном коде. Обычно число дается в нормализованном  виде, когда его мантисса является правильной дробью, причем первая значащая цифра ( единица ) следует непосредственно после запятой: например, где m=0,1010; p=10; q=2

      При использовании фиксированной запятой  число представляется в виде единого  целого, причем положение запятой  в используемой разрядной сетке  жестко фиксировано. Обычно числа с фиксированной запятой даются в виде правильной дроби. Для этого все числа умножают на масштабный коэффициент, чтобы перевести их в правильную дробь. Цифровые системы, использующие числа с плавающей запятой, сложнее систем, использующих числа с фиксированной запятой, так как при этом требуется выполнение операций как над мантиссами, так и над порядками. Однако диапазон представляемых чисел при одинаковом числе разрядов в системах с плавающей запятой значительно больше.

      Для представления знака числа используется знаковый разряд z, который обычно располагается перед числовыми разрядами. Для положительных чисел значение знакового разряда z=0, для отрицательных чисел z=1. Для чисел с плавающей запятой вводятся отдельные знаковые разряды для мантиссы и для порядка чисел.

      Для представления числе со знаком в  цифровых системах используется обратный¹ или дополнительный² код (таб. 1.). При этом положительные числа представляются в обычном двоичном коде. Обратный код отрицательного числа образуется путем замены 0 во всех разрядах исходного двоичного числа на 1, и наоборот. Дополнительный код отрицательного числа получается из обратного прибавлением 1 к младшему разряду.

      Особенность кода Грея  в том , что при переходе к каждому последующему числу в коде изменяется значение только одного двоичного разряда. При этом двухразрядные числа образуют циклическую последовательность 00-01-11-10 (0-1-2-3), трехразрядные – последовательность 000-001-011-010-110-111-101-100-000 (0-1-2-3-4-5-6-7-0) и т.д. Такая цикличность кода является весьма удобной, например, для кодирования угловых перемещений в преобразователях угла поворота в цифровой код.  

      Таблица 1. Наиболее распространенные двоичные коды от 0 до 15

 

      Перевод десятичных чисел в двоичный код  требует использования достаточно сложных схем преобразователей и  занимает относительно долгое время. Более  просто и быстро осуществляется перевод  десятичных чисел в двоично-десятичный код. При этом цифра в каждом разряде десятичного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) согласно таб. 2 

      Таблица 2.

      Наиболее  распространенные двоично-десятичные коды чисел от 0 до 9 

 

      Например, число  в двоично-десятичном коде записывается в виде 0111 0010 1001. Для выполнения сложения и вычитания двоично-десятичных чисел наиболее удобно использовать самодополняющиеся коды, к числу которых относятся код Айкена, код “с избытком 3 ”.Код Айкена отличается от обычного двоично-десятичного, имеющего весовые коэффициенты разрядов в тетрадах 8-4-2-1, другими значениями весовых коэффициентов разрядов: 2-4-2-1. Код “с избытком 3”получается из обычного двоично-десятичного арифметическим прибавлением числа 3 (двоичное число 0011).

      Как видно из таблицы 2 обратный код  числа, представленного в каком-либо самодополняющем двоично-десятичном коде ,является его двоичным дополнением до 9. Например, число 5 в коде «с избытком 3» =1000 имеет обратный код =0111, соответствующий числу 4 в коде «с избытком 3», которое «дополняет» число 5 до 9, так как 5+4=9.

 

      Двоичная арифметика. 

      Мы  будем рассматривать двоичную систему  счисления с цифрами 0,1. Именно эта  система счисления получила широкое  применение в вычислительных машинах. Начало исследования этой системы относится  к XVI веку. Удобство и простоту выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления отмечали еще Б. Паскаль, Г. Лейбниц и др. Рассмотрим правила выполнения арифметических операций с двоичными числами.

      СЛОЖЕНИЕ. Для того чтобы выполнить сложение двух чисел, записанных в двоичной системе  счисления, достаточно знать простейшую таблицу сложения:

      0+0=0

      0+1=1

      1+0=1

      1+1=10

      Последняя сумма представляет собой двузначное число. Это следует понимать как  перенос одной двоичной единицы  в соседний старший разряд. Это  можно записать так:

      1+1=0+перенос  единицы в соседний старший разряд.

      Пример: Сложить двоичные числа

        и .

      Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны. Для выполнения сложения запишем числа столбиком  так, чтобы соответствующие разряды  чисел оказались друг под другом. Имеем

      +   110,1011

       10111,10101

      10001,00011 – поразрядная сумма без учета  переносов 

         11  1,  1        - переносы 

      11100,01011  - поразрядная сумма без учета  повторных переносов 

             1

      11110,01011  - окончательная сумма.

      Сложение нескольких чисел вызывает некоторые трудности, так как в результате поразрядного сложения могут получится переносы, превышающие единицу. В таких случаях приходится учитывать переносы не только в соседней, но и другие старшие разряды.

      ВЫЧИТАНИЕ. Таблица вычитания имеет вид

        0-0=0

        1-0=1

        1-1=0

      10-1=1

      Вычитание в двоичной системе выполняется  аналогично вычитанию в десятичной системе счисления. При необходимости, когда в некотором разряде  приходится вычитать единицу из нуля, занимается единица из следующего старшего разряда. Если в следующем разряде нуль, то заем делается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. При этом следует понимать, что занимаемая единица равна двум единицам данного разряда, т. е. вычитание выполняется по следующему правилу.

      Пример. Вычесть их =11010,1011 число =1101,01111 

       11010,1011

       -  1101,01111

          1101,00111 

      УМНОЖЕНИЕ. Умножение двух двоичных чисел выполняется  так же, как и умножение десятичных. Сначала получаются частичные произведения и затем их суммируют с учетом веса соответствующего разряда множителя.

      Отличительной особенностью умножения в двоичной системе счисления является его  простота, обусловленная простотой  таблицы умножения. В соответствии с ней, каждое частичное произведение или равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов, если в соответствующем разряде множителя стоит единица. Таким образом, операция умножения в двоичной системе сводится к операциям сдвига и сложения.

      Умножение производится, начиная с младшего или старшего разряда множителя, что и определяет направление  сдвига. Если сомножители имеют дробные  части, то положение запятой в  произведении определяется по тем же правилам, что и для десятичных чисел.

      Пример. Перемножить двоичные числа  =101,1101 и =1001,101