На  этом любопытном приеме основано доказательство следующей теоремы, которую следует считать обобщением теоремы 7. 

    Теорема 8. Если данный граф является связным и имеет 2k вершин нечетной степени, то в нем можно провести k различных цепей, содержащих все его ребра в совокупности ровно по одному разу. 

    Теорема 9. Различных деревьев с n перенумерованными вершинами можно построить   n^n-2.

     По  поводу доказательства этой теоремы  сделаем одно замечание. Эта теорема  известна, в основном, как вывод  английского математика А. Кэли (1821—1895). Графы-деревья издавна привлекали внимание ученых. Сегодня двоичные деревья используются не только математиками, а и биологами, химиками, физиками и инженерами (подробнее об этом – в параграфе 6). 

    Теорема 10. Полный граф с пятью вершинами не является плоским.

     Доказательство. Воспользуемся формулой Эйлера: В-Р+Г=2, где В — число вершин плоского графа, Р — число его ребер, Г — число граней. Формула Эйлера справедлива для плоских связных графов, в которых ни один из многоугольников не лежит внутри другого.

     Эту формулу можно доказать методом  математической индукции. Это доказательство мы опускаем. Заметим только, что формула справедлива и для пространственных многогранников. Пусть все пять вершин графа соединены друг с другом. Замечаем, что на графе нет ни одной грани, ограниченной только двумя ребрами. Если через φ₁ обозначить число таких граней, то φ₂=0. Далее рассуждаем от противного, а именно: предположим, что исследуемый граф плоский. Это значит, что для него верна формула Эйлера. Число вершин в данном графе В=5, число ребер Р=10, тогда число граней Г=2-В+Р=2-5+10=7.

     Это число можно представить в  виде суммы: Г=φ₁+φ₂+φ₃+…,  где φ₃ –  число граней, ограниченных тремя ребрами, φ₄ — число граней, ограниченных четырьмя ребрами и т. д.

     С другой стороны, каждое ребро является границей двух граней, а поэтому  число граней равно 2Р, в то же время 2Р=20=3φ₃+4φ₄+... . Умножив равенство Г=7=φ₃+ φ₄ + φ₅ + … на три, получим ЗГ=21=3( φ₃ + φ₄ + φ₅ + …).

     Ясно, что (3φ₃+3φ₄+3φ₅+…) < (3φ₃+4φ₄+ 5φ₅+…) или 3Г<2Р, но по условию, 2Р=20, а ЗГ=21; поэтому вывод, полученный при введенном нами предположении (граф плоский), противоречит условию. Отсюда заключаем, что полный граф с пятью вершинами не является плоским. 

    Теорема 11. (Теорема Понтрягина-Куратовского) Граф является плоским тогда и только тогда, когда он не имеет в качестве подграфа полного графа с пятью вершинами.

          В заключение этого параграфа, на наш взгляд, следует упомянуть то, что в нем объяснялись только основные теоремы теории графов. Их практическое применение будет рассмотрено в следующих параграфах реферата.

    1.4 Способы представления  графов в компьютере

       Конструирование структур данных для представления в программе объектов математической модели – это основа искусства практического программирования. Далее приводится четыре различных базовых представления графов. Выбор наилучшего представления определяется требованиями конкретной задачи. Более того, при решении конкретных задач используются, как правило, некоторые комбинации или модификации указанных представлений, общее число которых необозримо. Но все они так или иначе основаны на тех базовых идеях, которые описаны в этом разделе.

1.4.1 Требования к представлению  графов

       Известны  различные способы представления  графов в памяти компьютера, которые  различаются объемом занимаемой памяти и скоростью выполнения операций над графами. Представление выбирается, исходя из потребностей конкретной задачи. Далее приведены четыре наиболее часто используемых представления с указанием характеристики n(p,q) – объема памяти для каждого представления. Здесь p – число вершин, а q – число ребер.

1.4.2 Матрица смежности

       Представление графа с помощью квадратной булевой матрицы M, отражающей смежность вершин, называется матрицей смежности, где

       

    Для матрицы смежности n(p,q) = O(p²).

    Замечание

       Матрица смежности неориентированного графа  симметрична относительно главной диагонали, поэтому достаточно хранить только верхнюю (или нижнюю) треугольную матрицу.

1.4.3 Матрица инциденций

       Представление графа с помощью матрицы H, отражающей инцидентность вершин и ребер, называется матрицей инциденций, где для неориентированного графа

    

    а для орграфа

    

    Для матрицы инциденций n(p,q) = O(pq).

1.4.4 Списки  смежности

       Представление графа с помощью списочной  структуры, отражающей смежность вершин и состоящей из массива указателей на списки смежных вершин, где элемент списка представлен структурой

       N : record v : 1..p; n :↑ N end record,

    называется списком смежности. В случае представления неориентированных графов списками смежности n(p,q) = O(p+2q), а в случае ориентированных графов n(p,q) = O(p+q).

1.4.5 Массив дуг

    Представление графа с помощью массива структур

       E : array [1..q] of record b,e : 1..p end record,

    отражающего список пар смежных вершин, называется массивом ребер (или, для орграфов, массивом дуг). Для массива ребер (или дуг) n(p,q) = O(2q).

    1.5 Обзор задач теории  графов

    Развитие  теории графов в основном обязано  большому числу всевозможных приложений. По-видимому, из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем.[4, стр. 12-15]

          Графы нашли применение практически во всех отраслях научных  знаний: физике, биологии, химии, математике, истории, лингвистике, социальных науках, технике и т.п. Наибольшей популярностью  теоретико-графовые модели используются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры.

    Далее перечислим некоторые типовые задачи теории графов и их приложения:

    - Задача о кратчайшей  цепи

    · замена оборудования

    · составление расписания движения транспортных средств

    · размещение пунктов скорой помощи

    · размещение телефонных станций

    - Задача о максимальном потоке

    · анализ пропускной способности коммуникационной сети

    · организация движения в динамической сети

    · оптимальный подбор интенсивностей выполнения работ

    · синтез двухполюсной сети с заданной структурной надежностью

    · задача о распределении работ

          - Задача об упаковках  и покрытиях

    · оптимизация структуры ПЗУ

    · размещение диспетчерских пунктов городской транспортной сети

          - Раскраска в графах

    · распределение памяти в ЭВМ

    · проектирование сетей телевизионного вещания

          - Связность графов  и сетей

    · проектирование кратчайшей коммуникационной сети

    · синтез структурно-надежной сети циркуляционной связи

    · анализ надежности стохастических сетей связи

          - Изоморфизм графов  и сетей

    · структурный синтез линейных избирательных цепей

    · автоматизация контроля при проектировании БИС

          - Изоморфное вхождение  и пересечение  графов

    · локализация неисправности с помощью алгоритмов поиска МИПГ

    · покрытие схемы заданным набором типовых подсхем

          - Автоморфизм графов

    · конструктивное перечисление структурных изомеров для производных органических соединений

    · синтез тестов цифровых устройств

    Заключение

    В работе были рассмотрены задачи из теории графов, которые уже стали  классическими. Особенно часто в  практическом программировании возникают вопросы о построении кратчайшего остова графа и нахождении максимального паросочетания. Известно также, что задача о нахождении гамильтонова цикла принадлежит к числу NP-полных, т.е. эффективный алгоритм для ее решения не найден. Таким образом, задачи теории графов актуальны, так как могут принести экономию времени и средств на производстве и в быту.

 

     2. Практическая  часть

    2.1. Общая характеристика  задачи

Расмотрим следующую задачу:

1. Построить таблицы по приведенным данным о доходах членов семьи (табл. 1, 2) и о расходах семьи (табл. 3) за квартал.

    Таблица 1 Доходы Чижовой М. А. за квартал