Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней

4. Метод половинного деления (Дихотомии)

      Пусть дано уравнение (1), где функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)f(b)<0. Для нахождения корня этого уравнения, принадлежащего данному отрезку [a,b], делим его пополам. Если значение , то - корень уравнения. Если , то выбираем тот, из полученных отрезков или на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый отрезок полученный указанным способом снова делим пополам и процесс снова повторяем.

      Продолжая этот процесс, получим либо точное значение корня уравнения или бесконечную  последовательность  вложенных друг в друга отрезков , , …, , … таких, что , причем .

Замечание. Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, т.к. при увеличении точности существенно возрастает объем вычислительной работы.

Пример. Уточнить корень уравнения , лежащий на отрезке [0,1].

Решение. .

1 этап:  а=0, ,

     b=1, ,

     f(0)f(1)=-1<0

            ,

            f(0)f(0.5)>0, значит корня на отрезке [0;0.5] нет.

     f(0.5)f(1)<0, значит корень находится на [0.5;1].

2 этап:  a=0.5, f(0.5)=-1.19

            b=1, f(1)=1

             ,

            f(0.5)f(0.75)>0, значит корня на отрезке [0.5;0.75] нет.

     f(0.75)f(1)<0, значит корень находится на [0.5;1].

Дальше  процесс продолжается аналогичным  образом. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы

1. Пирумов У. Г. . Численные методы : учебное пособие для вузов по направлению "Прикладная математика" / У. Г. Пирумов .— 3-е изд., испр. — Москва : Дрофа, 2004 .— 221 с. : ил., табл. — (Высшее образование) .— Библиогр.: с. 216 .— Имен. указ.: с. 217 .— ISBN 5-7107-8777-9.
2. Киреев В. И. . Численные методы в примерах и задачах : учебное пособие для технических вузов / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев .— Изд. 2-е, стер .— Москва : Высшая школа, 2006 .— 480 c. : ил., табл .— (Прикладная математика для втузов) .— Библиогр.: с. 477-480 .— ISBN 5-06-004763-6.
3. Катаева Л.Ю. Методическая разработка по курсу "Вычислительная математика" /РГОТУПС МПС РФ; Н. Новгород, 2003 г.