Методы нахождения корней полиномов

 

     

Для данного примера корни легко могут быть найдены аналитически. Они равны на заданном интервале -p/2, p/2 и 3p/2. Полученный численный результат с заданной точностью совпадает с точным решением.

Определение новой функции целесообразно и в том случае, когда мы хотим исследовать зависимость решения от параметра. Пусть функция зависит от параметра a

 

 

Первый аргумент функции z задает значение параметра, второй – начальное приближение. Найдем корни уравнения при значениях параметра 1 и 2.

 

 

 

Если мы хотим получить комплексный корень, то начальное приближение следует задавать комплексным:

 

 

4 Нахождение корней полиномов

 

Для нахождения корней полиномов имеется встроенная функция polyroots(a). Аргументом функции является вектор коэффициентов полинома , то есть для уравнения  вектор а имеет вид

   

 

Если в полиноме отсутствуют некоторые степени, то на соответствующих местах следует писать 0. Пусть требуется найти корни полинома 

 

   

 

Коэффициенты полинома могут быть и комплексными.

 

Список используемых информационных источников

 

Coppersmith D., Odlyzko A. M., Schroeppel R. Descrete logarithms in GF(p) // Algorithmica. V. 1,1986. P. 1-15.

Lenstra A. K, Lenstra H. W. (jr.) The Development of the Number Field Siev. Lect. Notes in Math. V. 1554. Springer, 1993.

McCarthy D. P. “The optimal algorithm to evaluate xn using elementary multiplication methods”, Math. Comp., vol. 31, no 137, 1977, pp. 251 – 256.

1 Получите эти формулы самостоятельно  по аналогии с методом Ньютона, оставив в разложении Тейлора  первые три слагаемых.

2 К сожалению, это не всегда  так. Если начальное приближение  выбрано неудачно и значение  производной в этой точке близко  к нулю, то, вообще говоря, найденный  корень может быть не ближайшим  к начальному приближению. В качестве  примера решите самостоятельно  задачу поиска корня уравнения  , выбрав в качестве начального приближения число близкое к  . Чем ближе к  будет выбранное значение, тем более далекий от 0 корень мы будем получать.