Матричные игры

ТЕМА: «МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ» 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….……………………...…3

1. ТЕОРИЯ ИГР...………………………………………………………………………………3
2. ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР……………………………………………………………....4
3. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ………………………………………………………….6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………….9

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ  

      Математическая  теория игр является составной частью исследования операций. Она применяется  в различных областях человеческой деятельности, таких как экономика и менеджмент, промышленность и сельское хозяйство, военное дело и строительство, торговля и транспорт, связь и т.д.

      Зачастую  человек осуществляя какую-либо деятельность, сталкивается с проблемой  принятия решения в условиях множества факторов, влияющих на само решение. Эффективней всего в подобных случаях пользоваться матричными играми, которые помогают упростить сложившуюся ситуацию и полностью оценить важность каждого фактора.

     Принятие  решения в условиях неопределенности – это одна из задач теории оптимальных решений. Для решения подобных вопросов разработаны специальные математические методы, которые рассматриваются в теории игр.  

     1. ТЕОРИЯ ИГР 

      Теория  игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1994 г., хотя отдельные исследования в этой области публиковались ещё в 1920 годах. Нейман и Моргенштерн написали книгу, которая содержала в основном экономические примеры, т.к. описать конфликт легче в числовой форме. После второй мировой войны всерьез теорией игр заинтересовались военные, т.к. увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Затем внимание снова переключилось на экономические проблемы. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.

     Теория игр – это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями. Столкновение противоположных интересов участников приводит к возникновению конфликтных ситуаций. Необходимость анализировать такие ситуации была причиной возникновения теории игр, задачей которой является выработка рекомендаций к рациональным действиям участников конфликта.

      Чтобы исключить трудности, возникающие  при анализе  конфликтных ситуаций и в результате наличия многих факторов, строится упрощенная модель ситуации. Такая модель называется игрой. Конфликтная ситуация в игровой модели развивается по определенным правилам. Примерами таких  игр являются хорошо известные нам шахматы, шашки и карточные игры. 

      Различают три виды причин неопределенности результата игры:

1. Комбинаторные (наиболее распространенным примером являются шахматы). Особенностью этого вида выступает разнообразие развития игры, что влечет за собой  не возможность предсказания её результатов.
2. Влияние различных факторов (чаще встречается в азартных играх, такой как рулетка). Здесь исход игры зависит от случайных причин.
3. Стратегические: неопределенность результата игры  состоит в отсутствии информации о действиях противника и его стратегии.

 
 
 
 
 
 
 
 

2. ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР 

      Теория матричных игр позволяет нам рассматривать и с легкостью решать задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого зависит также и от решений, принимаемых остальными участниками. Поэтому важная роль в матричных играх отводится конфликтам и совместным действиям.

     Характерная черта всякого общественного, социально-экономического явлений состоит множественности  и многосторонности интересов и  в наличии сторон, выражающих эти  интересы. Классическим примером подобной ситуации является столкновение интересов покупателя и продавца, т.е когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара. Более сложные ситуации возникают при наличии объединений и коалиции лиц на рынке, участвующих в столкновении интересов, например, когда ставки заработной платы определяются союзами или объединениями предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте.

     Конфликт  может возникнуть из-за различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической политики обычно преследует множество целей, согласуя противоречивые требования, такие как рост объемов производства, повышение доходов. Так же конфликт может проявиться не только в результате сознательных действий участников, но и как результат действий тех или иных стихийных сил (ярким примером данного вида являются «игры с природой»). Данные случаи конфликтом могут встретиться как в социологии, так и в психологии, биологии, политологии, военном деле. Самыми простыми примерами матричных игр являются карточные и спортивные игры.

     Каждая  модель социально-экономического явления должна отражать черты конфликта, т.е. описывать:

1. множество заинтересованных сторон (в теории матричных игр их называют игроками, т.е. сторонами, участвующими в конфликте. Так же их называют субъектами, сторонами, участниками).
2. возможные действия каждой из сторон, именуемые стратегиями или ходами. («Ход» - выбор одного из предложенных правилами игры действий; «стратегия» - план, по которому игрок совершает выбор в любой ситуации и т.д.)
3. интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого  из игроков («выигрыш» - исход конфликта).

      В теории матричных игр предполагается, что функция выигрыша и множества  стратегий, доступна и известна каждому  из игроков, т.е. каждый игрок знает свою функцию  выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функций выигрыша и стратегий все остальных игроков, и в соответствии с этой информацией организует свое поведение. 

     Классификация игр 

     Различные виды игр можно классифицировать по числу игроков, числу стратегий, свойствам функции выигрыша, возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

     В зависимости  от числа игроков  различают игры с двумя, тремя  и более участниками. В теории оптимизации представлены игры как  с одним игроком, так и с  бесконечным числом игроков.

     Согласно  другому принципу классификации – по количеству стратегий – различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий. Сами стратегии в конечных играх нередко называются чистыми стратегиями. Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий. Так в примере с продавцом и покупателем каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.

     Третий  способ классификации – по свойствам  функций выигрыша (платежных функций). Особым случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого (т.е. прямой конфликт между игроками). Подобные игры называют играми с нулевой суммой или антагонистическими играми. Примерами данных игр являются игры в орлянку. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно. Между этими крайними имеются множество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.

     В зависимости от возможности предварительных  переговоров между игроками различают  кооперативные и некооперативные  игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. А игры, в которых игроки не могут координировать свои стратегии, называются некооперативными. Необходимо отметить, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ 

     Антагонистические игры являются разновидностью матричных  игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Их ещё называют играми с нулевой  суммой.

     Наиболее  часто приводимым примером игр с  ненулевой суммой является игра «Дилемма заключенного». Суть игры состоит в том, что два преступника ожидают приговора суда за содеянное. Адвокат конфиденциально предлагает каждому  из преступников облегчить его участь, если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (например, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба то преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаться или сознаться, выдав при этом сообщника.

     Обобщим выше сказанное: 1 игрок – сознаться  или не сознаться и 2 игрок –  сознаться или не сознаться. В  итоге можно получить следующую  матрицу «выигрышей» для обоих  игроков:

      . 

     Решение антагонистических игр 

       Основным допущением при решении данных игр является то, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях партнера.

     В игре могут участвовать как два  игрока (её называют парной), так и  множество. Но наибольшее практическое значение имеют парные игры, в которых участников обозначают за A и B. Простейшим видом стратегической игры – игра двух лиц с нулевой суммой (т.е. сумма выигрышей сторон равна нулю).

     Игра  состоит из двух ходов: игрок A выбирает одну из своих возможных стратегий ( i = 1, 2, …, m), а игрок B выбирает стратегию ( j = 1, 2, .., n), причем каждый участник делает выбор в полной ситуации незнании выбора другого игрока. В результате выигрыши и каждого из игроков удовлетворяют соотношению

, откуда если  , имеем .

      Цель  игрока – максимизировать функцию , а игрока В – минимизировать эту же функцию. Каждый из игроков может выбирать одну из переменных, от которых зависит значение функции. Если игрок А выбирает некоторую из стратегий , то это может влиять на значение функции . Влияние на величину значения является неопределенным, а определенность имеет место только после выбора, например, игроком B переменной (при этом определяется другим игроком).

      Пусть , тогда составим матрицу:

.

Строки  матрицы соответствуют стратегиям , столбцы – стратегиям . Матрица А называется матрицей игры, а элемент матрицы – выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию , а игрок B выбрал стратегию .

      Пусть игрок А выбрал некоторую стратегию , тогда в худшем случае он получит выигрыш, равный . Поэтому предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать ту стратегию, которая позволит максимизировать его минимальный выигрыш : . Величина - гарантированный выигрыш игрока А – называется нижней ценой игры, а стратегия , обеспечивающая получение - максиминной.

      Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии его проигрышнее превысит максимального из значений элементов -го столбца матрицы, т.е. меньше или равен . Рассматривая множество для различных значений , игрок В выбирает такое значение , при котором его максимальный проигрыш минимизируется: . Величина называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу стратегия - минимаксной.