Математические основы информатики

 

АО «Медицинский университет Астана»

Кафедра информатики, математики с курсом биостатистики

 

 

 

 

 

 

 

СРС

 

Тема: «Математические основы информатики»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Жанұзақ Ә.,

студентка факультета ОМ, 137 группа

Проверила: Оспанова Г.К.

 

 

 

Астана 2015

План

 

1. Кодирование данных двоичным кодом
2. Кодирование целых и действительных чисел
3. Кодирование текстовых данных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кодирование данных двоичным кодом

 

Для автоматизации работы с данными разных типов важно уметь представлять их в унифицированной форме. Для этого используется кодирование.

Кодирование – это представление данных одного типа через данные другого типа. Естественные языки – это не что иное, как системы кодирования понятий для выражения мыслей с помощью речи. В качестве другого примера можно привести азбуку Морзе для передачи телеграфных сигналов, морскую флажковую азбуку, телеграфную азбуку, систему Брайля для слепых и многое другое.

Теория кодирования – это раздел теории информации, связанный с задачами кодирования и декодирования сообщений, поступающих к потребителям и посылаемых из источников информации.

Теория кодирования близка к древнейшему искусству тайнописи – криптографии. Над разработкой различных шифров трудились многие известные ученые: философ Ф. Бэкон, математики Д. Кардано, Д. Валлис. Одновременно с развитием методов шифровки развивались приемы расшифровки (криптоанализа). В середине ХIХ века ситуация изменилась. Изобретение телефона и искрового телеграфа поставило перед учеными и инженерами проблему создания новой теории кодирования. Первой ориентированной на технику системой кодирования оказалась азбука Морзе, в которой принято троичное кодирование (точка, тире, пауза).

Своя система существует и в современной вычислительной технике — она называется двоичным кодированием и основана на представлении данных последовательностью всего двух знаков: 0 и 1. В основном это объясняется тем, что построить техническое устройство, безошибочно различающее 2 разных состояния сигнала, технически оказалось проще, чем то, которое бы безошибочно различало 5 или 10 различных состояний. К недостаткам двоичного кодирования относят очень длинные записи двоичных кодов, что затрудняет работу с ними.

Знаки двоичной системы называются двоичными цифрами, по-английски — binaiy digit или сокращенно bit (бит).

Одним битом могут быть выражены два понятия: 0 или 1 (да или нет, черное или белое, истина или ложь и т. п.). Если количество битов увеличить до двух, то уже молено выразить четыре различных понятия: 00 01 10 11. 
Тремя битами можно закодировать восемь различных значений:

000 001 010 011 100 101 110 111.

Увеличивая на единицу количество разрядов, мы увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе, то есть

N = 2m

где N –количество кодируемых значений; 
m – количество двоичных разрядов.

 

Основные типы данных, обрабатываемые компьютером:

· Целые и действительные числа.

· Текстовые данные.

· Графические данные.

· Звуковые данные.

 

 

Кодирование целых и действительных чисел

 

Любое целое число можно представить в виде разложения в полином с основанием два. Коэффициентами полинома являются числа 0 и 1. Например, число 11 может быть представлено в такой форме:

1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 11

Коэффициенты этого полинома образуют двоичную запись числа 11: 1011.

Целые числа кодируются двоичным кодом достаточно просто — достаточно взять целое число и делить его пополам до тех пор, пока частное не будет равно единице. Совокупность остатков от каждого деления, записанная справа налево вместе с последним частным, и образует двоичный аналог десятичного числа:

19:2=9 + 1

9:2=4+1

4:2=2+0

2:2=1+0

Таким образом, 1910 = 100112.

 

Для кодирования целых чисел от 0 до 255 достаточно иметь 8 разрядов двоичного кода (8 бит). Шестнадцать бит позволяют закодировать целые числа от 0 до 65 535, а 24 бита — уже более 16,5 миллионов разных значений.

 

В компьютерной технике действительными или вещественными называются числа, имеющие дробную часть.

Дробные числа могут содержать большой набор цифр. Например: 0.0000345 или 10900000 (т.е. очень большие или очень маленькие числа).

Для кодирования действительных чисел используют 80-разрядное кодирование. Для удобства кодирования вещественные числа приводят к виду так называемого нормализованного представления числа. Заключается такое представление в том, что число записывается в виде произведения на основание системы счисления, возведенное в ту или иную степень. Например: 0.345 * 10-4 и 0.109 * 108. Здесь числа 0.345 и 0.109 – мантиссы вещественных чисел, 10 – основание системы счисления, а -4 и 8 – порядки. При этом запятая (точка), разделяющая дробную и целую части ставится перед первой значащей цифрой (отличной от 0).

Нормализованная форма числа является наиболее удобной для представления дробных чисел в компьютере.

Существуют два способа представления вещественных чисел в памяти компьютера: с фиксированной точкой и с плавающей точкой.

При представлении вещественных чисел в форме с фиксированной точкой положение десятичной точки в машинном слове фиксировано.

Рис. 1. Вещественное число с фиксированной точкой.

 

Чаще всего точка фиксируется перед первым разрядом числа (рис.4).

Рис. 2. Вещественное число с точкой перед первым разрядом.

 

Целое число является частным случаем числа с фиксированной точкой, когда точка фиксирована после последнего разряда.

В форме с плавающей точкой вещественное число х  представляется в виде

x = M  2p

где |M|<1 и называется мантиссой, p – целое число, называемое порядком

 

Рис. 3. Вещественное число с плавающей точкой.

 

Количество позиций, отводимых для мантиссы, определяет точность представления чисел, а количество позиций, отводимых для порядка – диапазон представления чисел.

Обычно мантисса записывается в нормализованном виде, то есть так, чтобы отсутствовали незначащие нули в старших разрядах:

0.0011101   ненормализованное представление,

0.1110100   нормализованное представление.

 

Вот примеры нормализованных записей дробных чисел в двоичной системе счисления:

101.11 = 0.10111 * 211 
0.001 = 0.1 * 2-10

Здесь степени 11 и 10 – это двоичная форма десятичных чисел 3 и 2.

 

 

 

Кодирование текстовых данных

 

Если первоначально компьютеры были предназначены для проведения всевозможных расчетов ("вычислительные машины"), т.е. выполнения операций над числами, то в настоящее время значительная доля компьютерных ресурсов тратится именно на ввод, хранение, передачу и обработку текстов. Под текстом понимается последовательность знаков, входящих в некоторое множество (алфавит) и обладающих в этом множестве определенным смыслом, то есть каждый знак рассматривается как символ.

            Основная операция, производимая над отдельными символами текста сравнение символов. При сравнении символов наиболее важными аспектами являются уникальность кода для каждого символа и длина этого кода, а сам выбор принципа кодирования практически не имеет значения.

Для кодирования текстов используются различные таблицы перекодировки. Важно, чтобы при кодировании и декодировании одного и того же текста использовалась одна и та же таблица.

Таблица перекодировки - таблица, содержащая упорядоченный некоторым образом перечень кодируемых символов, в соответствии с которой происходит преобразование символа в его двоичный код и обратно. Их еще называют кодовыми страницами или применяют английский термин character set (который иногда сокращают до charset).

Суть кодирования заключается в том, что каждому символу ставят в соответствие двоичный код от 00000000 до 11111111 или соответствующий ему десятичный код от 0 до 255. Таким образом, человек различает символы по их начертанию, а компьютер - по их коду.

 

Исторически сложилось, что в качестве длины кода для кодирования символов было выбрано 8 бит или 1 байт. Поэтому чаще всего одному  символу текста, хранимому в компьютере, соответствует один байт памяти.

Различных комбинаций из 0 и 1 при длине кода 8 бит может быть 28 = 256, поэтому с помощью одной таблицы перекодировки можно закодировать не более 256 символов. Этого хватает, чтобы закодировать все строчные и прописные буквы английского или русского алфавита, а также знаки препинания, цифры, символы основных арифметических операций и некоторые специальные символы, например «%».

Технически это просто, но существуют организационные сложности. Для того чтобы весь мир одинаково кодировал текстовые данные, нужны единые таблицы кодирования, а это трудно осуществить из-за использования различных символов в национальных алфавитах.

Наиболее популярные таблицы перекодировки: ДКОИ-8, ASCII, CP1251, Unicode.

Сейчас по ряду причин наибольшее распространение получил стандарт США ANСII (American National Code for Information Interchange) – Американский национальный код для обмена информацией. В системе кодирования ANСII закреплены две таблицы кодирования: базовая со значениями кодов от 0 до 127 и расширенная с кодами от 128 до 255.

Коды от 0 до 31 базовой таблицы содержат так называемые управляющие коды, которым не соответствуют символы языка. Они служат для управления устройствами ввода-вывода. Коды с 32 по 127 служат для кодирования символов английского алфавита, знаков препинания, цифр и некоторых других символов. Расширенная таблица с кодами от 128 до 255 содержит набор специальных символов и может иметь свои варианты. Эта часть в первую очередь используется для размещения алфавитов, отличных от латинского. В русских национальных кодировках в этой части таблицы размещаются символы русского алфавита.

В настоящее время существуют пять различных кодировок кириллицы (КОИ8-Р, Windows. MS-DOS, Macintosh и ISO). Из-за этого часто возникают проблемы с переносом русского текста с одного компьютера на другой, из одной программной системы в другую. Хронологически одним из первых стандартов кодирования русских букв на компьютерах был КОИ8 ("Код обмена информацией, 8-битный"). Эта кодировка применялась еще в 70-ые годы на компьютерах серии ЕС ЭВМ, а с середины 80-х стала использоваться в первых русифицированных версиях операционной системы UNIX. От начала 90-х годов, времени господства операционной системы MS DOS, остается кодировка CP866 ("CP" означает "Code Page", "кодовая страница"). Компьютеры фирмы Apple, работающие под управлением операционной системы Mac OS, используют свою собственную кодировку Mac. Кроме того, Международная организация по стандартизации (International Standards Organization, ISO) утвердила в качестве стандарта для русского языка еще одну кодировку под названием ISO 8859-5. Наиболее распространенной в настоящее время является кодировка Microsoft Windows, обозначаемая сокращением CP1251. С конца 90-х годов проблема стандартизации символьного кодирования решается введением нового международного стандарта, который называется Unicode. Это 16-разрядная кодировка, т.е. в ней на каждый символ отводится 2 байта памяти. Благодаря этому такая кодовая таблица допускает включение до 65536 символов. Переход к этой системе долго сдерживался из-за недостатка памяти компьютеров, так как в системе Unicode все текстовые документы становятся вдвое длиннее. В настоящее время технические сложности преодолены и происходит постепенный переход на универсальную систему кодирования. Полная спецификация стандарта Unicode включает в себя все существующие, вымершие и искусственно созданные алфавиты мира, а также множество математических, музыкальных, химических и прочих символов.