Математические  методы и модели в  принятии решений

Введение!

Цель моделирования — процесс исследования объекта на разных уровнях — от качественного до точного количественного, по мере осуществления сбора информации и развития модели.

В математической области методы и модели понимаются как комплексные категории, которые в себя включают:

1. методы в принятии решений;
2. методы исследования операций;
3. экономико-математический методы;
4. методы экономической кибернетики;
5. методы оптимального управления;
6. прикладную математику в экономике;
7. прикладную математику в организации производства.

Этот список не является полным, что свидетельствует  о широком диапазоне математических методов и моделей. В различных  источниках, содержание которых касается представленной тематики, математические модели и методы рассматриваются в тех или иных сочетаниях.

Практическое  доказательство обозначенной мысли  возможно на примере известного метода «теории вероятностей», который  представлен в рамках математических моделей широким классом и  включает в себя такие понятия, как «вероятность», «случайное событие», «случайная величина», «математическое ожидание (среднее значение) случайной величины», «дисперсия (рассеяние)» и т.п. В конце XIX — начале XX вв. выделяется новый объект, который представляет собой коммутированную систему телефоной связи, подразумевающую такие понятия, как «заявка на соединение», «отказ», «время ожидания соединения», «коммутация» и тому подобные элеметы.

Математическая  теоретико-вероятностная модель процессов  в коммутированных телефонных сетях была образована в 20-х гг. в результате соединения представленного метода и объекта. Автором подобной операции стал А.К. Эрланг. В качестве примера существующих понятий данной модели можно отметить:

1. «поток заявок»;
2. «среднее время ожидания»;
3. «средняя длина очереди на обслуживание»;
4. «дисперсию времени ожидания»;
5. «вероятность отказа».

Последующее развитие этого научного направления продемонстрировало результативность понятийных категорий  симбиозной модели, выявило ее масштабную конструктивную функцию.

Данная модель в процессе своего развития трансформировалась в метод исследования сложных  систем. В качестве примера можно  выделить «теорию массового обслуживания», категориальный аппарат которой  перестал восприниматься как неотъемлемая составляющая телефонных сетей. Терминология и понятийная база приобрели общетеоретический характер. Так, организация новых моделей может осуществляться посредством применения теории массового обслуживания к таким объектам, как производственные процессы, операционные системы, ЭВМ, транспортные потоки и т.п.

В результате очевидным  представляется вывод, что метод  является в полной мере сформированным в случае развития однородной совокупности моделей. Степень исследования объекта  же напрямую зависит от количества разработанных моделей объекта. Двойственная сущность модели формирует, в свою очередь, дуализм категориального аппарата моделирования, который интегрирует в себя понятия общие или специфичные, образованные от «метода» и «объекта», соответственно.

Иными словами, методы, модели, объекты организуют непрерывную последовательность, которая подразумевает наличие различных групп моделей, образующихся в соответствии со спецификой своего происхождения и применяемости. Среди таких групп можно выделить:

1. модели, которые предполагают взаимодействие раннее разработанных методов и новых объектов;
2. модели, впервые созданные с целью осуществления описания конкретного объекта, при этом новые модели могут быть применимы и по отношению к другим объектам.

Линейное  программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. 

Целочисленное программирование — разновидность линейного программирования, подразумевающая, что искомые значения должны быть целыми числами.

Раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций в пространстве параметров, где все или некоторые переменные являются целыми числами.

Простейший метод  решения задачи целочисленного программирования — сведение ее к задаче линейного программирования с проверкой результата на целочисленность.

Потоки  в сетях

Деятельность  современного общества тесно связана с разного рода сетями — возьмите, к примеру, транспорт, коммуникации, распределение товаров и тому подобное. Поэтому математический анализ таких сетей стал предметом фундаментальной важности.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ  ПРОГРАММИРОВАНИЕ— раздел математического программирования, изучает определенный класс оптимизационных задач, встречающихся главным образом в инженерно-экономических расчетах. Основное требование метода состоит в том, чтобы все технические характеристики проектируемых объектов были выражены количественно в виде зависимостей от регулируемых параметров. Геометрическим такой вид программирования назван потому, что в нем эффективно используется геометрическое среднее и ряд таких геометрических понятий, как векторные пространства, векторы, ортогональность и др. 

НЕЛИНЕЙНОЕ  ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями.  

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ — 1. Основное понятие математической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием — О. у.); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее с точки зрения заданного критерия протекание процесса или, иначе, наилучшее поведение системы, ее развитие к цели по оптимальной траектории. Эти управляющие параметры обычно рассматриваются как функции времени, что означает возможность их изменения по ходу процесса для выбора на каждом этапе их наилучших (оптимальных) значений. 

ТЕОРИЯ  МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ—  раздел исследования операций, который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других областях, как процессы обслуживания, т. е. удовлетворения каких-то запросов, заказов (напр., обслуживание кораблей в порту — их разгрузка и погрузка, обслуживание токарей в инструментальной кладовой цеха — выдача им резцов, обслуживание клиентов в прачечной — стирка белья и т. д.). 

ТЕОРИЯ  ПОЛЕЗНОСТИ — теоретическое направление в экономической науке, развитое представителями австрийской школы в XIX—XX вв., основанное на базисном объективном понятии "полезность", воспринимаемом как удовольствие, удовлетворение, получаемое человеком в результате потребления благ. Основной принцип теории полезности — закон убывающей предельной полезности, согласно которому приращение полезности, получаемое от одной добавленной единицы блага, непрерывно убывает. 

Теория  принятия решений — междисциплинарная область исследования, представляющая интерес для практиков и связанная с математикой, статистикой, экономикой, философией, менеджментом и психологией; изучает, как реальные лица, принимающие решение, выбирают решения и насколько оптимальные решения могут быть приняты.

Теория  игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках. 

Имитационное  моделирование — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику. 

Динамическое  программирование – это раздел математики, посвящённый теории и методам решения многошаговых задач оптимального управления.