Компьютерные технологии решения оптимизационных задач управления

Содержание 
 

1. Компьютерные технологии решения оптимизационных

задач управления          3

2. Обзор задач методов и пакетов приложений интегрированных математических сред         7

3. Понятие о численных методах лежащих в основе компьютерной реализации процесса принятия оптимизационных решений  15

4. Идеи методов одномерной оптимизации     18

Список использованной литературы      26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Компьютерные технологии решения оптимизационных задач управления 

       Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. Задачи оптимизации - это задачи нахождения максимального или минимального значения некоторой функции, называемой  целевой функцией. Если заданы ограничения на аргументы данной функции, то задача называется задачей условной оптимизации, если ограничения не накладываются, то задачей безусловной оптимизации.

       Большое распространение получили задачи линейного  программирования- задачи,  в  которых  линейны  как  целевая  функция,  так  и  ограниченная   в  виде равенств  или неравенств.  Линейное  программирование тесно  связано  с  другими методами математического программирования. На практике часто приходится встречаться со случаями, когда целью оптимизации является установление наилучшей последовательности те6х или иных работ, такие задачи называют задачи динамического программирования. В других задачах оптимизации, в качестве переменных выступают функции - вариационные задачи. Существуют задачи оптимизации с несколькими целевыми функциями - задачи системной оптимизации.

       Для решения задач данного типа применяются  такие методы как:

       1) Симплекс-метод, разработанный Danzig'oM около 50 лет назад, перебирает "базисные" решения, построенные путем фиксирования достаточного количества переменных, чтобы матрица системы ограничений Ах = b стала квадратной. Такая полученная система может быть решена для единственных значений оставшихся переменных. Базисные решения являются экстремальными граничными точками области допустимых решений, определяемой системой ограничений, и симплекс-метод может рассматриваться как прохождение от одной такой точки к другой по границе области.

2. Метод барьеров или внутренних точек, с другой стороны, обходит точки из внутренней части области допустимых значений. Эта группа 
   методов происходит от технологий нелинейного программирования, разработанных и популяризованных в 60-х гг. Fiacco и McCormick, но их приложения к линейному программированию датируются только 1984 г.
3. Родственная ЛП задача целочисленного программирования (или 
   целочисленного  линейного  программирования,  точнее  говоря)  допускает 
   только целочисленные значения переменных. Задачи ЦП обычно ближе к реальным задачам, чем задачи ЛП, но намного более трудоемки в решении. 
   Наиболее широко используемые методы решения задач ЦП используют решение серии задач ЛП, чтобы найти целочисленные решения и доказать оптимальность. Поэтому большая часть ПО ЦП построена на базе ПО ЛП, и данный FAQ применим для решения задач этих двух видов.

       Линейное  и целочисленное программирование пригодно для моделирования множества различных проблем в планировании, маршрутизации, разработке расписаний, назначениях и дизайне. ЛП и его расширения используются в транспортной индустрии, энергетике и машиностроении.

       В жизни решение задач оптимизации занимает очень много времени и это достаточно трудоемкий процесс, где необходимо учесть все параметры. И чтобы облегчить нам работу по поиску оптимума программисты разных стран написали большое количество программ для решения задач оптимизации практически во всех отраслях производства и сферах нашей жизни.

       Система Mathematica объединяет в себе запас мировых  математических знаний, накопленных  в справочной литературе, и использует свои собственные 

революционные алгоритмы, чтобы развивать эти знания.

 

Рис.1 – Интерфейс программы Mathematica

     

       Умение  проводить аналитические расчеты — одно из главных достоинств этой программы, автоматизирующей математические расчеты. Mathematica умеет преобразовывать и упрощать алгебраические выражения, дифференцировать и вычислять определенные и неопределенные интегралы, вычислять конечные и бесконечные суммы и произведения, решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы, а также разлагать функции в ряды и находить пределы

Int=Integrate [a*x^5/Sqrt[x^3-1], x]

       Во  многих видах вычислений система Mathematica является мировым рекордсменом по скорости.

    Mathematica позволяет строить двух и трехмерные графики различных типов   в виде точек и линии на плоскости, поверхностей, а также контурные, градиентные (dencity plot), параметрические. Mathematica выполняет построение графика в три этапа. На первом создается множество графических примитивов, на втором они преобразуются в независимое от вычислительной платформы описание на языке PostScript, а на третьем это описание переводится в графический формат для той системы, на которой установлена Mathematica. 

Рис. 2 – 3D-график

       Другая  сторона развития программного обеспечения  — ориентация на “непрограммирующего пользователя”. В этом случае пользователь такого пакета получает возможность сосредоточиться на сущности самой задачи, а не способах ее программной реализации. В свою очередь пользователь должен ясно представлять возможности используемого пакета и заложенных в нем методов, а также уметь выбрать необходимый пакет, соответствующий решаемой задаче.

       Все этапы создания и использования  математической модели легко проследить при работе с пакетом MATHCAD фирмы “MathSoft Inc.” (USA). 
 
 
 

2. Обзор задач методов и пакетов приложений интегрированных математических сред 

     Современные пакеты обработки печатной продукции  включают средства оформления текста, подготовки математических формул, графиков, схем, таблиц. Современные информационные технологии позволяют подготовить  документ, который может включать как объекты документы других типов или гиперссылки на другие документы и программы обработки.

     Персональные  компьютеры получили наибольшее применение (по количеству) в задачах моделирования. Их изначально широкое использование  определялось, прежде всего, не их быстродействием, а возможностью гармонично настроить рабочее место исследователя, организовать передачу данных между задачами, получить хорошо оформленный отчет.

     Наконец, современное развитие информационных технологий, ориентированных на создание интегрированных пакетов мультимедиа-технологии, привело к появлению компьютерных математических систем, к которым относятся Maple V фирмы Waterloo Maple Software Inc.

     Системы компьютерной алгебры (СКА) очень многочисленны, однако не более десяти из них являются по-настоящему современными, общими и достаточно распространёнными. СКА отличаются друг от друга количеством встроенных функций; в некоторых системах их имеется несколько десятков, в других – на порядок больше. Внутренние структуры этих систем существенно отличаются одна от другой. Тем не менее, большинство СКА обладают следующими общими свойствами:

     - все они имеют набор так  называемых встроенных функций  (базисных предпрограммируемых команд), которые предназначены для вычислений (численных, символьных, графических);

     - работа пользователя со встроенными  функциями происходит в интерактивном  режиме; пользователь имеет возможность  вмешиваться в ход вычислений  в любой момент;

     - входные данные представляют  собой выражения, у которых,  по меньшей мере, исходное представление выдержано в стандартных математических обозначениях; ввод этих данных в систему производится либо в таком же виде, либо с использованием специфического для каждой конкретной СКА синтаксиса;

     - система содержит язык пользователя  – совокупность встроенных функций и их опций, а в некоторых СКА, к тому же, предоставляют возможность определения процедур с помощью операторов классических языков программирования (If, While и др.);

     - СКА являются открытыми для  пользователя системами, иначе  говоря, пользователь может создавать новые функции на основе встроенных функций.

     - вычислительное ядро имеет структуру  списка или дерева, а управление  памятью — динамическое, с автоматическим  восстановлением доступного пространства;

     - язык реализации системы скрыт  от пользователя (содержится в так называемом вычислительном ядре системы); это чаще всего С или Lisp (иногда Pascal);

     Компьютерные  математические системы дают пользователю возможность использовать встроенный язык программирования сверхвысокого  уровня, позволяющий расширять класс задач, охваченных встроенными функциями, и решать такие задачи, которые невозможно решить в рамках использования встроенных функций.

     Далее мы рассмотрим программное обеспечение  персональных компьютеров, используемое на различных этапах математического моделирования.  

         За последние годы чётко сформировалась  следующая тенденция в развитии  программного обеспечения для  персональных ЭВМ: появляется  всё больше интегрированных пакетов,  которые включают наряду со  специализированными программами и программы подготовки отчетов. Модульный подход к моделированию прослеживается и в современных пакетах.

     Одним их из них является MatLab (“The MathWorks Inc”, USA), который, по существу, изначально предназначался для “больших” машин, а затем  был адаптирован для персональных компьютеров.

     Система MatLab

     Данная  система ориентирована на матричные  и векторные вычисления (её названием  является сокращение словосочетания Matrix Laboratory) и предназначена в основном для численного моделирования технических систем. Её последние версии содержат элементы универсальных систем компьютерной алгебры: специальный модуль MatLab Notebook, позволяющий, в том числе, ис­пользовать возможности Microsoft Word для оформления документов, а также приобретённый у компании Maple Waterloo модуль основной символьной библиотеки системы Maple V 4.0 для выполнения некоторых аналитических расчётов. Входной язык в определённой мере напоминает BASIC (с элементами Фортрана и Паскаля). Интерфейс менее доступный и красочный, чем у системы MathCAD, однако скорость вычислений выше.

     Использование в образовании нецелесообразно; система предназначена для профессиональной работы в области математики и  смежных областях.

     Система MatLab предназначена для выполнения инженерных и научных расчетов и высококачественной визуализации получаемых результатов. Эта система применяется в математике, вычислительном эксперименте, имитационном моделировании.

     В пакет входит множество хорошо проверенных  численных методов (решателей), операторы  графического представления результатов, средства создания диалогов. Отличительной особенностью MatLab  по сравнению с обычными языками программирования является матричное представление данных и большие возможности матричных операций над данными. Используя пакет MatLab можно, как из кубиков конструктора, построить довольно сложную математическую модель, или написать свою программу (весьма похожую на Фортран-программу). А можно используя SIMULINK и технологию визуального моделирования составить имитационную модель или систему автоматического регулирования.

     Гибкий  язык MatLab дает возможность инженерам  и ученым легко реализовывать  свои идеи. Мощные численные методы и графические возможности позволяют  проверять предположения и новые  возникающие идеи, а интегрированная  среда дает возможность быстро получать практические результаты.

     Сегодня MatLab используется во множестве областей, среди которых обработка сигналов и изображений, проектирование систем управления, финансовые расчеты и  медицинские исследования. Его открытая архитектура делает возможным использование MatLab и сопутствующих продуктов для исследования данных и создания собственных инструментов, использующих функциональные возможности MatLab.