Имитация случайных воздействий с заданным законом распределения

Министерство  образования Российской Федерации                                       Министерство образования Республики Таджикистан

Российско-Таджикский (славянский) Университет 
 
 
 

                                                Кафедра «И и ИС» 
 
 

Лабораторная работа №2

 

по дисциплине: «ИМЭП»

на тему: «Имитация случайных воздействий с заданным законом   распределения» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил: студент 4-го курса

       Экономического  факультета

       Отделения ПИ

          Юнусов И.

       Научный руководитель:

                                                                                                                  Ли И.Р                                                                                       
 
 
 
 

Душанбе – 2010 
 
 

Цель  работы:

    1. Практическое освоение методов получения случайных чисел с требуемым законом распределения.

    2. Разработка и моделирование на ПВМ датчиков случайных величин с конкретным законом распределения.

    3. Исследование характеристик полученного датчика.

Теоретические сведения.

Основные  методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения.

       При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех, очень часто возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с определенным законом распределения. Исходным материалом для этого служит базовая последовательность X1, X2, … , Xn с равномерным законом распределения в интервале [0,1] . Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через۳    (кси). Тогда равномерно распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины ۳, которые можно получить с помощью стандартной функции RND (۳) – генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] . Требуется получить последовательность Y1, Y2, … , Yn независимых реализации случайной величины ή распределенных по заданному закону. Требуемый закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения.

                                                (1)

или плотностью вероятности  f(y) = F’(y). Функции  F(y1,y2,…,yn) могут быть заданы графически или аналитически. Для получения случайной величины ή с функцией распределения F(y) из случайной величины ۳  равномерно распределенной на интервале [0,1], используют различные методы, основными из которых являются:

   - метод  обратной функции;

   -метод  отбора или исключения;

   -метод  композиции и другие.

Метод обратной функции

 Если۳ - равномерно распределена на  [0,1] случайная величина. Искомая величина ή может быть получена с помощью преобразования:

                                                             (2)

Где F’ – обратная функция по отношению к функции F.

Действие при  таком определении случайной величины ή имеем:                          (3)

В данной цепочке  равенства первое равенство следует  из (2), второе из неубывающего характера  функции F и F’, третье из равномерного распределения величины .

      Для некоторых законов распределения, в том числе для нормального закона, обратная функция F не выражается через известные функции. В этом случае ее можно аппроксимировать с любой нужной точностью, какими – либо известными функциями. Если не удастся подобрать единой функции для всего промежутка [0,1], то можно аппроксимировать простыми полиномами по отдельным участкам. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Метод отбора или исключения

Данный метод  удобнее использовать, если требуемый  закон распределения задан плотностью вероятности F (y). В отличие от метода обратной функции метод отбора для получения одного требуемых случайного числа требует не одного равномерного случайного числа, а двух, четырех и более. В этом случае область возможных значений ή представляет конечный отрезок (a,b), а плотность вероятности F(y) ограничена ступенчатой кривой:

                         ,  a <= y <=b                     (4)

                         ,   y>b; y<a                  

Равномерные на интервале (a,b) и (0,fm) независимые величины можно получить по формулам:

                                                         (5)

где - равномерно распределенные числа на интервале [0,1];

a,b – границы возможных значений случайной величины ή;

fm – максимальное значение функции f(y).

Если  , то ή’ – принимается в качестве очередной реализации случайной величины ή. В противном случае  ή’ отбрасывается и берется следующая пара равномерных случайных чисел. Так процедура повторяется n раз до получения всей последовательности.

Метод композиции.

Метод композиции основывается на представлении плотности  вероятности  по формуле полной вероятности:   

                                                     (6)

где H(z) = P(ή z) – интегральная функция распределения случайной величины ή;

P(x, z) – условная плотность вероятности.

Переходя к  дискретной форме, интеграл заменим  на сумму, тогда получим:                                                                                                                                      (7)

где   ;

f I(x) – условная плотность вероятности.

Таким образом, для любой заданной плотности  вероятности ее фигура единичной  площади, ограниченной осью x и кривой , разбивается на произвольное число не пересекающихся частей ή, с площадями P1.

      Координаты  условных плотностей fι (x) получаются нормирование (делением на P1) отрезков вертикальных прямых x=const, лежащих в области gj. Имитация случайной последовательности ή сводится к имитации случайной величины с плотностями вероятности fj(x) одним из методов рассмотренных ранее.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Блок- схема программы: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Код программы:

program Project2;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses

  SysUtils;

       var X: array[1..20] of real;

   var num,num1,num2,i:integer; F,sum:real;

begin

writeln(' Vvedite elementi massiva');

sum:=0;  num:=0; num1:=0; num2:=0;

for i:=1 to 12 do

begin

write('X[',i,']=');

readln(X[i]);

if  (X[i]>=0) and (X[i]< 0.3) then

begin

F:=1; num:=num+1;

  end

else

  if (X[i]>=0.3) and (X[i]<0.6) then

begin F:=20/3*X[i]; num1:=num1+1;

  end

else

if (X[i]>=0.6) and (X[i]<1) then

begin F:=4; num2:=num2+1;

end;

end;

writeln('Veroyatnost popadanie X v intervale [0,0.3) ravno: P1=',num);

  writeln('Veroyatnost popadanie X v intervale [0.3,0.6) ravno: P2=',num1);

  writeln('Veroyatnost popadanie X v intervale [0.6,1) ravno: P3=',num2);

readln;

end.

Результат работы:

Vvedite elementi massiva

X[1]=0.1

X[2]=0.2

X[3]=0.3

X[4]=0.42

X[5]=0.48

X[6]=0.5

X[7]=0.6

X[8]=0.75

X[9]=0.81

X[10]=0.86

X[11]=0.9

X[12]=1

Veroyatnost popadanie X v intervale [0,0.3) ravno: P1=3

Veroyatnost popadanie X v intervale [0.3,0.6) ravno: P2=4

Veroyatnost popadanie X v intervale [0.6,1) ravno: P3=4