СОДЕРЖАНИЕ

1. Задание           3

2. Построение  аналитической модели и ее  анализ.

     2.1 Построение аналитической модели    4

     2.2 Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели   11

     2.3. Моделирование с использованием солверов   18

     2.4. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox         21

     2.5. Моделирование с использованием имитационного пакета  моделирования динамических систем Simulink     25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Задание

 

     Построить аналитическую модель электрической цепи и выполнить анализ динамического процесса после замыкания ключа К.

     Схема электрической цепи и параметры составляющих ее компонент:

            
 
 
 
 

                                                  Рис. 1. Электрическая RLC - цепь 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2. Построение аналитической  модели и ее анализ.

     2.1 Построение аналитической модели 

            Решение задачи идентификации с последующим анализом динамических процессов в физической системе на основе модели предполагает построение системы дифференциальных или алгебраических уравнений. При решении многомерных задач с помощью ЭВМ наиболее используемыми прикладными программами являются пакеты программ, позволяющие анализировать системы на основе матричной записи дифференциальных уравнений в нормальной форме (форма Коши или метод переменных состояния или метод пространства состояний). Прежде чем выполнять анализ динамических процессов в системе, необходимо записать систему дифференциальных уравнений в форме Коши, наиболее удобной при использовании ЭВМ.

            Известно несколько способов  составления уравнений состояния.  Рассмотрим наиболее целесообразный  способ, основанный на сведении  послекоммутационной схемы к  резистивной с источниками э.д.с. и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяют на источники тока, которые возбуждают ток в том же направлении, что и в исходной схеме, а конденсатор на источник э.д.с. с э.д.с. направленной встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно u_c . В результате схема окажется без реактивных элементов (резистивной), но с дополнительными источниками тока и э.д.с.

           В полученной резистивной схеме  один из узлов заземляют и  составляют уравнения по методу  узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов рассчитывают напряжения на источниках тока, эквивалентных индуктивным элементам и токи через источники э.д.с., эквивалентные емкостным элементам. Далее разрешают уравнения цепи относительно производных di_L /dt и du_C /dt и получают запись системы дифференциальных уравнений в нормальной форме (форма Коши).

            Для составления уравнений в  нормальной форме по полученной  резистивной схеме, можно использовать  также принцип наложения, справедливый  для линейных систем и их линейных уравнений. Суть принципа наложения состоит в том, что контурный ток в любом контуре равен сумме токов, вызываемых в этом контуре каждой из э.д.с. в отдельности, и соответственно узловое напряжение между любым узлом и опорным равно сумме узловых напряжений, созданных между этим узлом и опорным каждым в отдельности источником тока.

           Принцип наложения позволяет  разложить сложную задачу на  ряд более простых, в каждой  из которых в рассматриваемой  сложной цепи действует только  одна э.д.с. или один источник тока, а все остальные источники энергии предполагаются отсутствующими. При этом эти другие источники э.д.с. должны быть замкнуты накоротко с сохранением в ветвях их внутренних сопротивлений, а все другие источники тока должны быть разомкнуты, но в соответствующих ветвях должны быть сохранены их внутренние проводимости.

           Рассмотрим модель электрической цепи (Рис. 1).

           Для построения модели выбираем  вектор переменных состояния 

     

     т. е. x₁ = u_c ; x₂ = i_L. Так как u_L = L(di_L /dt), то dx₂/dt = di_L /dt = u_L /L, а u_c = 1/C i_c dt, то dx₁/dt = du_c /dt = i_c / C.

     Уравнения состояния в матричной форме  в общем виде для 

     приведенной электрической цепи можно записать так:

      ( 2.1)

           Коэффициенты матриц будем определять методом наложения при рассмотрении эквивалентной резистивной схемы (Рис. 2).

     

                              Рис. 2. Эквивалентная резистивная схема. 

     Запишем систему (2.1) в координатной форме, из которой определим коэффициенты матриц A и B.

     

     

                         Система (2.2) 

     Для определения коэффициентов матрицы  A (коэффициенты матрицы A определяются только топологией электрической цепи и параметрами ее компонент) полагаем внешнее воздействие равное нулю, т.е. все процессы в цепи будут протекать за счет энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки. Для

     

     моделирования такого режима необходимо в эквивалентной  резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u₁ = E = 0. А для определения коэффициента  a₁₁ матрицы A исключить источник тока x₂ = i_L = 0. Соответственно из первого уравнения системы (2. 2) получим:

     При условии:  E = 0; i_L = 0.

     Для измененной схемы определяем i_c = - u_c / (R₂ + R₃) и подставляем в выражение для a₁₁ .В результате получим:

     

     Для определения коэффициента  a₁₂ матрицы A восстанавливаем источник тока, но замыкаем источник э. д. с.: x₁ = u_c = 0. Соответственно из первого уравнения системы    (2. 2) получим:

     

     При условии:  E = 0; u_c  = 0.

            Для измененной схемы определяем i_c =(R₂ /(R₂ + R₃)) i_L

       и подставляем в выражение для a₁₂ .В результате получим:

     

     Для определения коэффициента a₂₁ матрицы A в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u₁ = E = 0 и исключаем источник тока x₂ = i_L = 0.

          Соответственно из второго уравнения системы получим:

     

     При условии:  E = 0; i_L = 0.

           Для измененной схемы определяем  u_L = i_c R₂ , для этого находим i_c = - u_c / (R₂ + R₃) и подставляем в u_L = i_c R₂ . Получим: u_L =( - u_c / (R₂ + R₃))R₂ . Тогда

     

     Для определения коэффициента a₂₂ матрицы A в эквивалентной резистивной схеме закоротить источник э.д.с. u₁ = E = 0, восстанавливаем источник тока, но замыкаем источник э. д. с.: x₁ = u_c = 0. Соответственно из второго уравнения системы получим:

     

     Для измененной схемы определяем: u_L = - (R₁ + (R₂ R₃ / R₂ + R₃)) i_L . Тогда a₂₂ = -(1/L)( R₁ + (R₂ R₃ / R₂ + R₃)).

           Определение коэффициентов матрицы  B (коэффициенты матрицы B определяют вклад входных величин в баланс токов и напряжений) предполагает исключение источника тока x₂ = i_L = 0, замыкание источника э. д. с. x₁ = u_c = 0 и сохранение источника u₁ = E. Тогда для определения коэффициента b₁₁ матрицы B в первом уравнении системы  полагаем x₁ = u_c = 0, x₂ = i_L = 0. Получим:

     

но i_c =0 при любом Е, т. к. ветвь с источником тока разомкнута, то b₁₁ =0.

     Для определения коэффициента b₂₁ матрицы B во втором  уравнении системы (4. 2) полагаем x₁ = u_c = 0, x₂ = i_L = 0, что предполагает исключение источника тока x₂ = i_L = 0, замыкание источника э. д. с. x₁ = u_c = 0 и сохранение источника u₁ = E.  Получим:

     

     Напряжение  на участке исключенного источника  тока  u_L =Е, т. к. тока в разомкнутой цепи нет, то следовательно нет падения напряжения на активных сопротивлениях.

     

     После получения всех коэффициентов матриц  A и B можно записать систему (2. 2) для полученных коэффициентов: a₁₁ = (- 1 / C )(1/ (R₂ + R₃)); a₁₂ = (1 / C )(R₂ / (R₂ + R₃)); a₂₁ = -R₂ /L(R₂ + R₃); a₂₂ = -(1/L)( R₁ + (R₂ R₃ / R₂ + R₃)); b₁₁ =0; b₂₁ = 1/L.

       

     Подставляя  в полученную систему численные  значения параметров компонент, согласно исходной схеме, получим.

     

     

       

     В координатной форме полученная система  имеет вид

     

       

     Возвращаясь к первоначальным переменным x₁ = u_c;    x₂ = i_L , можно записать в общем виде для заданной электрической цепи следующую систему уравнений в форме Коши, которую необходимо решить и выполнить анализ динамического процесса с помощью средств система автоматизации математических расчетов MATLAB  и пакета  динамических систем Simulink, входящего в состав расширенных версий  MATLAB, а также вручную и сравнить полученные результаты, которые должны совпасть.

     

     

           Система (2.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2.2 Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели

           После получения динамической  модели изучаемой системы в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме пространства состояний, необходимо выполнить анализ динамических процессов протекающих в системе. Для выполнения этой задачи следует найти решение системы уравнений, т.е. найти аналитическое выражение – функцию, отражающую закон, согласно которому изменяются переменные состояния во времени. Получив закон, можно определить характер динамических процессов, протекающих в системе.