Рисунок 5 

     Рассмотрим  прямую с₁х₁+с₂х₂ = L. Будем увеличивать L. Легко догадаться, что прямая будет двигаться параллельно самой себе в том направлении, которое дается вектором (с₁,с₂), так как это вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции

     f(х₁,х₂) = с₁х₁+с₂х₂ .

     А теперь сведем всё вместе. Итак, надо решить задачу

     

     

     Ограничения задачи вырезают на плоскости некоторый  многоугольник. Пусть при некотором L прямая с₁х₁+с₂х₂ = L пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных (х₁,х₂), которые являются планами.

     Этап 3

     Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться. В конце концов эта прямая выйдет на границу допустимой области как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L, при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.

 

     Рассмотрение  средств, имеющихся  в «Excel», для решения задач линейного программирования геометрическим способом

     Мастер  диаграмм

     Excel поддерживает различные типы диаграмм, что позволяет представлять данные наиболее понятным для той или иной аудитории способом. При создании новой или изменении существующей диаграммы можно выбрать один из разнообразных типов (например, гистограмму или круговую диаграмму) и подтипов (например, гистограмму с накоплением или объемную круговую диаграмму). Совместив в одной диаграмме разные типы, можно создать смешанную диаграмму.

     Для создания диаграммы необходимо воспользоваться инструментами панели "Диаграммы" ленты "Вставка".

     Если  не устраивает ни один из предложенных вариантов диаграмм, то необходимо воспользоваться кнопкой вызова окна панели "Диаграммы".

     После этого надо указать диапазон данных для построения диаграммы. Если данные берутся из всей таблицы, то достаточно указать любую ячейку таблицы. Если надо выбрать лишь определенные данные из таблицы, то надо выделить этот диапазон. Во время выделения можно пользоваться кнопками Shift, Ctrl.

     Для взаимной замены данных на осях надо воспользоваться  кнопкой "Строка/Столбец".

     После вставки диаграммы в окне Excel 2007 появляется контекстный инструмент "Работа с диаграммами", содержащий три ленты "Конструктор", "Макет", "Формат".  
 

 

     

     Практический  раздел

     Решение задачи линейного  программирования графическим  методом

     Условие задачи:

      Предприятие «Полимер-П» производит полимерпесчаные изделия. Для производства любого типа изделия требуется всего 3 компонента:

1. Отходы полиэтилена
2. Песок
3. Краситель

     Необходимо  составить план производства для двух типов выпускаемой продукции, а именно: черепица и тротуарная плитка.

     Исходя  из данных анализа рынка, было принято решение, выпускать плитки не менее чем черепицы. Другие условия задачи приведены в таблице 1.

     Таблица 1

       
 
 

     Решение:

     Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (12 х₁ +4 х₂) единиц ресурса I, (4х₁ +4х₂) единиц ресурса II, (3х₁ +12х₂) единиц ресурса III. Так как, потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств: 

      12х₁ +4х₂ ≤ 300;             3х₁ + х₂ ≤ 75;

      4х₁ +4х₂ ≤ 120;                  х₁ + х₂ ≤ 30;

     3х₁ +12х₂ ≤ 252.                 х₁ +4х₂ ≤ 84.  

     По  смыслу задачи переменные х₁ ≥ 0, х₂ ≥0. (1,1)

     Конечную  цель решаемой задачи – получение  максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию  двух переменных х₁ и х₂.

     Суммарная прибыль А составит 30х₁ от реализации продукции А и 40х ₂ от реализации продукции В, то есть : F = 30х₁ +40х _2.  (1,2)

     Изобразим многоугольник решений данной задачи.

     В ограничениях задачи поменяем знаки  неравенства на знаки равенства.

     Проведем  оси: на горизонтальной будут указываться  значения переменной х₁, а на вертикальной — х₂ .Далее рассмотрим условие неотрицательности переменных: x₁ ≥ 0 и х₂ ≥ 0. Эти два ограничения показывают, что пространство допустимых решений будет лежать в первом квадранте (т.е выше оси x₁ и правее оси х₂).

     Чтобы учесть оставшиеся ограничения, проще  всего заменить неравенства на равенства, в результате чего получится система уравнений прямых:  

      3х₁ + х₂ = 75;

     х₁ + х₂ = 30;

     х₁ +4х₂ = 84.  

     а затем на плоскости провести эти  прямые.

     Например, неравенство 3х₁ + х₂ ≤ 75 заменяется уравнением прямой 3х₁ + х₂ = 75. Чтобы провести эту линию, надо найти две различные точки, лежащие на этой прямой Можно положить х₁ = 0, тогда х₂ = 75/1 = 75.. Аналогично для х₂ = 0 находим x₁ = 75/3 = 25. Итак, наша прямая проходит через две точки (0, 75) и (25;0). Аналогично найдём остальные точки и запишем их в таблицу 2.

     Таблица 2

       

     Согласно данной таблицы, построим график в программе Excel.

 

     Рисунок 6 График решения задачи

     Заштрихованная  область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции  F. Т.к. целевая функция F стремиться к максимуму, то идя по направлению градиента, получим точку B с оптимальным решением. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

      3х₁ + х₂ ≤ 75,           х₁ = 19,64,

     х₁ + 4х₂ ≤ 84,               х₂ = 16,09. , т. е. B(16,09; 19,64)  

     максимальное  значение линейной функции равно :

     F_max = 30*16,09 + 40*19,64 = 1232,80.

     Экономическая интерпретация

       Перед предприятием стояла задача максимизировать прибыль в ближайшие сроки, для чего необходимо было разработать план производства, удовлетворяющий возможностям предприятия, а также рыночным требованиям на данный момент времени.

     При ближайшем рассмотрении стало ясно, что составление плана является типичной задачей линейного программирования с двумя неизвестными. Для решения поставленной задачи был выбран графический метод, так как он является наиболее наглядным и простым.

     Для того, чтобы произвести решение была выбрана программа MS Excel из пакета MS Office, благодаря удобному мастеру диаграмм, пакету построения графиков, встроенному в данную программу.

     В результате решения систем уравнений  и построения графика получилось, что при нынешних складских запасах  сырья, наиболее оптимальным будет  производить 16090 штук черепицы и 19640 штук тротуарной плитки в день. При данном плане производства будет достигнута прибыль в 1232800 рублей.

     Данный  план не идет в противоречие с возможностями  техники, которая может выпускать  до двух тысяч плиток и черепиц  в день.

     Но  в случае следования данному плану  в конце технологического цикла  на складах будет оставаться избыток  полиэтилена, что грозит дополнительными  издержками на хранение материала, а  так же на скапливание его на складах. Следовательно, должно быть принято решение о снижении закупок данного сырья на 28,36 тонны. Это даст возможность закупать на 850,8 тонн полиэтилена меньше каждый месяц.

     Данное  снижение закупок позволит снизить  не только затраты на приобретение сырья, но и избежать издержек на его  хранение.

     После внедрения данного плана в  производства, на складах все еще  остается небольшой избыток полиэтилена, который можно реализовать, либо пустить в производство на следующие  дни, что позволит закупить в следующем  месяце на 879,16 тонн полиэтилена меньше. 

     Заключение

     В заключение к данной курсовой работе хотелось бы сказать, что использование  методов линейного программирования позволяет решать различные задачи оптимизации от минимизации издержек и максимизации прибыли до транспортных задач и задачах о размещении производства.

     В данной курсовой работе был рассмотрен графический метод решения задач  линейного программирования и его теоретические основы. Данный метод применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств.

     Так же было рассмотрено решение задачи графическим методом в среде MS Excel 2007. Для этого был использован довольно мощный инструмент – мастер диаграмм.

     Была  поставлена задача максимизации прибыли  при некоторых условиях производства. В итоге на  предприятии был разработан план, следуя которому для того чтобы получить максимальную прибыль в 1232800 рубля необходимо произвести 16090 единиц черепицы и 19640 тротуарных плиток.