Аппроксимация. Среднеквадратичное приближение функций

Морозова Светлана ПГС 14-1бз

Пермский  национальный исследовательский политехнический университет

 

Строительный факультет

 

Кафедра строительных конструкций и вычислительной механики

 

 

 

 

 

 

 

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ  ЗАДАНИЕ № 12

по дисциплине

 

Численные методы

Тема: Аппроксимация. Среднеквадратичное приближение функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил

студент группы: ПГС 14-1бз

Морозова С.А.

 

 

 

Работу принял:

Пермякова Т.Б.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пермь 2016

 

1. Задание: Оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений  результатов

эксперимента   x, y  с помощью коэффициента корреляции R.

Построить аппроксимирующие функции, описывающие заданную зависимость, используя метод наименьших квадратов (МНК).

2. Теоретические сведения.

Аппроксимация (от лат. Approximo – приближаюсь) – это замена одних математических объектов другими, близкими к исходным»

Предположим, что при обработке результатов проведенного эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. значений xi, yi (i=1,2,…,n), полученных в ходе эксперимента.

у=f(x)	xi	x1	x2	…	xn
	yi	y1	y2	…	yn

Оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений Х, У можно с помощью коэффициента корреляции R :

 

 

Если зависимость между х, у линейная  (y=ax+b), то для

а>0     -                    .

 а<0    -  

При                      связь отсутствует                      

Принято считать:

R£0.3 – наблюдается слабая линейная связь,

R=0.3 – 0.7 – средняя,

R³0.7 –сильная,    

R=1 – линейная зависимость, все  точки лежат на одной прямой.

Таким образом,  функция  у=f(x) задана таблично (или  графически), что создает определенные трудности при  ее исследовании.

Возникает  задача  аппроксимации (замены)  исследуемой зависимости у=f(x) аналитической функцией  y=j(х) на отрезке [x1,xn] , т.е.

f(x)@ j(х).          

Аппроксимирующая функция  y=j(х)  называется  уравнением регрессии (УР).

Геометрически задача построения уравнения регрессии состоит в проведении кривой  L: y=j(х) «возможно ближе» примыкающей к системе экспериментальных точек Mi (xi, yi), i=1,2,..,n, заданной табл.

Уравнение регрессии записывается в виде многочлена, т.е. зависит от (m+1) параметра  

 

Параметры  определяют расположение графика УР относительно экспериментальных  точек  Mi (xi, yi), i=1,2,..,n (рис.3.1).

 

Рис. Геометрический смысл задачи аппроксимации

 

Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен «как можно ближе» к системе экспериментальных точек.

Для нахождения параметров используется метод наименьших квадратов.

Согласно методу наименьших квадратов (МНК)  наилучшими параметрами (i=0, 1, ... , m)  являются те, которые минимизирует сумму квадратов отклонений σi  , т.е. функцию   :     где

Степень точности аппроксимации исследуемого процесса с помощью полученного УР  может быть оценена величиной среднего квадратичного отклонения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Расчеты:

 

Таким образом наилучшее приближение имеет кубическая парабола, коэффициент R=0.359=0.3 – 0.7 – связь средняя.

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл степени точности аппроксимации: