Вероятностные модели

Федеральное агентство по образованию  РФ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Факультет вычислительной математики и кибернетики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа по дисциплине 

«Вероятностные  модели» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

                                                                                  Выполнила:

                                                                                                         Студентка 82-01 группы 

                                                                                    З.С.Шарова                                                          

                                                                                  Проверила:

                                                                                         Н.М.Голышева 
 
 
 

Н.Новгород 2010 
 
 

 

 

Вопросы:

1. Соотношения между случайными событиями

  Пусть в результате проведения эксперимента наступило некоторое случайное  событие. Совокупность Z всех случайных событий, связанных с данным экспериментом, играет основную роль в нашем дальнейшем рассмотрении основ этго курса. Понятие случайного события имеет абстрактный характер, т.к. конкретная природа события не имеет значения. Существенно лишь то, что случайное событие А есть совокупность описаний w только тех элементарных событий, которые могут одновременно наступать с исходом А, и что событие А с w происходит или нет при осуществлении комплекса условий У поэтому между событий множества Z если и могут существовать соотношения, то только, в первую очередь, логического и теоретико-множественного характера. Если описание w некоторого элементарного события {w}принадлежит пространству W, то будем писать wcW .  Запись A=Z означает, что случайное событие А принадлежит совокупности Z . Противоположные утверждения, состоящие в том, что описание w элементарного события {w} и случайное событие А не принадлежат соответственно пространству W и множеству Z, записываются в следующем виде. 
 

Задача. Сколько  различных пятизначных чисел  н можно составить из чисел 1,2,3,4,5,6,7.если еть одна цифра, которая повторяется в числе ровно 2 раза а все другие цифры разные. Процесс составления числа, удовлетворяющего условию задачи представим в виде последовательного выполнения следующих трех действий:1. А1 есть выбор цифры которая будет повторяться 2 раза; 2.А2 Суть выбор 2-х мест в пятизначном числе для повторяющейся цифры;3.А3 означает выбор и расстановка трех разных цифр из оставшихся на три свободные места в пятизначном числе. Здесь получаем н1=7,н2=С….. н3=…. , следовательно н=7*10*120=8400. 

2. Понятие сочетаний.

  Любое размещение предметов, порядок которых  не имеет значения, называется сочетанием. Из набора чисел 1, 2, 3, 4, 5 можно извлечь  десятью различными способами любые  два числа, если мы условимся не различать  пары, состоящие из одних и тех  же чисел, взятых в различном порядке, т.е., например, не различать 1, 2 и 2, 1. Если из двенадцати человек нужно выбрать  комитет в составе девяти членов, то это можно сделать столькими  способами, сколько сочетаний из двенадцати по девять мы можем составить. Это, естественно, относится к случаю, когда сам порядок размещения членов внутри комитета несуществен. Рассмотрим множество В ={Bi,B₂,..;B_M}, где B_t — различные множества, составленные из         элементов множества G. Множества B_t, i = 1, 2,…M называются различными сочетаниями из N элементов по к, если каждое из них содержит ровно к различных элементов множества G, и все B_t различаются между собой хотя бы одним элементом. Число различных сочетаний из  N  элементов   по  к  элементов   обозначают   через      и М = =N!/(k!(N-k)!) где к=. Рассмотрим пример составления различных сочетаний. Пусть множество G есть группа из семи студентов. Пронумеруем всех студентов, тогда G ={1,2,...,7}. Различные неупорядоченные наборы по три студента будут являться примерами различных сочетаний из семи по три. Например, множества {1, 2, 3}, (1, 2, 4}, {1, 7, 8}, {3, 5, 6}, {4, 6, 7} есть различные сочетания из семи по три. Всего можно составить ровно М -| = 7!/(3! (7 - 3)!) = 35 различных сочетаний из семи элементов по три. Если перед нами стоит задача вычисления числа различных способов, которыми можно выбрать трех студентов для дежурства по столовой, то ответом будет число М = 35

    Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может   участвовать несколько раз.  Число сочетаний с повторениями из N по K равно = 

3. Доказательство непрерывности вероятностной функции P(.):→F[0;1]снизу

Вероятностной функции P(.):→F[0;1] непрерывна снизу, т.е.

 для любой последовательности {} случайных событий.

Доказательство: Доказательство этого утверждения  проведем в два этапа. Сначала  покажем ,что  

Действительно  
 

             Затем находим

                              
 
 

Итак, =и, следовательно  

На втором этапе покажем, что  
 
 

Ряд сходится, так как его сумма равна P()-P(),

А это конечное число. Поэтому остаток →0 при n→.

переходя к  пределу во втором равенстве для  P(),непосредственно получаем: 
 

.  
 
 
 
 
 
 
 

Задачи:

1. Служебный автобус и один из его пассажиров подходят к остановке в случайный момент времени от 6 часов до 6 часов 20 минут. Автобус стоит на остановке в течение пяти минут, а затем уезжает. Найти вероятность того, что пассажир опоздает на автобус.

Пусть х- время прихода автобуса, у- человека.

1. у х: человек пришел раньше и ждет до конца.
2. автобус пришел раньше, а человек пришел не позже чем на пять минут

Mes=20*20=400

Mes A=15*15/2=112,5

P(A)==0,28125 

2. В генуэзской лотерее разыгрываются 90 номеров, из которых выигрывают 5. По условию  можно ставить ту или иную сумму  на любой номер или на любую  совокупность 2-х,3-х,4-х или 5 номеров, при чем для получения выигрыша должны быть угаданы все выбранные номера. Какова вероятность выигрыша в каждом из пяти случаев?

P== 

n=2 

Ώ=(w=({},{}) {}{1,…90},{}{1,…90}.

A={w Ώ {}c{}}играющий угадал все.  

P(A)=10/4005

n=3

Ώ=(w=({},{}) {}{1,…90},{}{1,…90}.

B={w Ώ {}c{}}

P(B)=1/7832

n=4

Ώ=(w=({},{}) {}{1,…90},{}{1,…90}.

C={w Ώ {}c{}}

P(C)=5/2555190 

n=5 

Ώ=(w=({},{}) {}{1,…90},{}{1,…90}.

D={w Ώ {}c{}}

P(D)=1/43949268