Системный анализ

11

1 ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в том случае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний по каким-то причинам лучше вообще не создавать. Под моделью понимается физический или абстрактный объект, свойства которого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта. При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимися средствами . Существует ряд общих требований к моделям: 

1.      Адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;

2.      Полнота – предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;

3.      Гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров. Трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели. Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1.      Разработка модели;

2.      Исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются отличающиеся по сути методы и средства. На практике применяют различные методы моделирования. В зависимости от способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса: физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средство исследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов и явлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводят с сохранением его физической природы или используют другое физическое явление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые являются существенными в конкретной ситуации. Например, при проектировании нового самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственное расположение ее элементов. В связи с этим физическое моделирование называют также макетированием .

Полунатурное моделирование представляет собой исследование управляемых систем на моделирующих комплексах с включением в состав модели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутую модель входят имитаторы воздействий и помех, математические модели внешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точное математическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальных систем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшить априорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точного математического описания. С помощью полунатурного моделирования исследования выполняются с учетом малых постоянных времени и нелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей с включением реальной аппаратуры используется понятие динамического моделирования, при исследовании сложных систем и явлений - эволюционного, имитационного и кибернетического моделирования . Очевидно, действительная польза от моделирования может быть получена только при соблюдении двух условий:

1.      Модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2.      Модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие проведению исследований на реальных объектах.

2 УРОВНИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1 Классификация уровней моделирования

Существует достаточно большое количество классификационных признаков для моделей элементов и систем, однако, наиболее общим является объем информации, который несет в себе модель. Уровень определенности информации определяет границы, при которых модель и объект или модели разного вида сохраняют гомоморфизм, т.е. могут рассматриваться как адекватные в смысле определенных критериев близости.

С указанной точки зрения выделим следующие уровни моделирования:

1) Концептуальный уровень, когда определяются границы системы (элемента), т.е. указываются векторы входных и выходных координат системы (элемента).

2) Топологический уровень, когда определены связи входных, выходных и внутренних переменных системы. Моделями данного уровня являются графы. Если, кроме того, указаны (хотя бы в общем виде, без задания структуры операторов) интенсивности связей, то моделями этого уровня являются сети.

3) Структурный уровень, когда определена структура операторов, описывающих взаимосвязь входных, выходных и внутренних переменных. Например, взаимосвязь может задаваться функциональными статическими соотношениями, операторами описания динамики (дифференциальные, интегральные уравнения, передаточные функции и т.д.), матричными преобразованиями и т.д.

4) Параметрический уровень, когда заданы параметры операторов связей, т.е. модель данного уровня полностью определена (в той степени, в которой определены параметры) и над ней могут проводится наиболее информативные эксперименты и делаться расчеты.

При использовании моделей различных уровней возникают вопросы:

1) Какие задачи позволяет решать модель того или иного уровня?

2) Для каких задач модель каждого уровня является информационно не избыточной?

Ответы на эти вопросы позволяют определить минимально допустимый уровень информации для решения тех или иных задач, что, в свою очередь, позволяет минимизировать затраты ресурсов на формирование баз данных и разработку методов анализа моделей.

На концептуальном уровне могут решаться задачи декомпозиции (разбиения) на подсистемы и агрегации (объединения) подсистем в систему. Эти процедуры являются неотъемлемыми элементами анализа и синтеза сложных систем, в том числе, на основе системного подхода. Основа методов декомпозиции и агрегации – мнение экспертов, специалистов предметной области.

На моделях топологического уровня могут решаться следующие основные задачи:

1) определение общих характеристик и структурных свойств системы,

2) выделение подсистем в системе.

2.2   Топологический уровень

2.2.1       Определение общих характеристик и структурных свойств системы

Определяются следующие характеристики:

Степень централизации, которая оценивает тип структуры, к которому тяготеет данный граф. Известны несколько основных типов структур (см. рис. 1).

Рис. 1

Структуры сложных систем управления тяготеют к структурам иерархического типа (см. рис. 2), рыночных хозяйственных структур – к скелетному типу.

Рис. 2

Количественно неравномерность загрузки элементов графа характеризуют индексами центральности.

Связность – наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному графу. Реберная связность – наименьшее число ребер, которое приводит к несвязному графу. Известны и другие характеристики: сложность, наличие контуров, петель, сильносвязных компонент, отношения касания и т.д.

2.2.2       Выделение подсистем в системе

Задача может решаться:

- формальными методами,

- концептуально (в этом случае концептуальное выделение должно подтверждаться на основе формальных процедур).

Формальные методы обычно базируются на анализе топологии (структуры системы), концептуальные – на функциональных характеристиках в тех или иных аспектах. Рассмотрим формальные методы выделения подсистем, базирующиеся на двух основных подходах:

а) подсистемами считаются несвязные сильные компоненты графа. Порядок выделения следующий:

- определяется множество всех сильносвязных компонентов;

- на полученном множестве выделяется подмножество пар, троек и т.д. сильносвязных компонентов, которые являются некасающимися.

б) подсистемами считаются сильносвязные компоненты, получающиеся при удалении дуг-мостов. Анализ графа обычно проводится в предположении, что число удаляемых дуг должно быть минимально. Вначале отыскиваются единичные дуги, удаление которых нарушает сильную связность графа, но сохраняет не менее двух сильных компонент. Если таких друг нет, ищутся пары дуг, удаление которых вызывает описанный эффект и т.д.

Концептуальные методы выделения подсистем базируются на неформальных признаках выделения подсистем. Например, для графа на рис. 3,а можно насчитать пять сильносвязных компонент (кроме самого графа), но концептуально подсистемами можно считать, например,  подграфы, изображенные на рис. 3, б и в.

Рис. 3

Проверку силы связности компонент можно осуществлять различными методами, в частности:

- с помощью матрицы Бристоля ;

- метода Розенброка ;

- метода Вавилова-Имаева.

2.3       Структурный и параметрический уровни

Различают модели элементов в  статике и в динамике. Моделями статики являются функции вида

y = f(x),

где х и у соответственно входные и выходные координаты системы, которые не зависят от времени или их значения  рассматриваются как установившиеся (t).

f – функция, которая может задаваться аналитически, графически или алгоритмически.

Динамические модели и характеристики описываются линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями, разностными уравнениями. уравнениями в частных производных, операторными уравнениями, передаточными функциями и др.

Прежде, чем говорить о задании параметров, необходимо сказать, что параметры могут быть измерены в разных шкалах. Существует четыре уровня измерений:

1) шкала наименований (примеры: Иванов, Эверест,…);

2) шкала порядка – имеется признак, по которому производится сравнение, но не обязательно в виде числа (пример: холодно – тепло – горячо);

3) шкала интервалов – используются числа, характеризующие разности границ интервалов (пример: температура в гр. Цельсия или Фаренгейта);

4) шкала отношений.

              Для шкал 3-го и 4-го уровней справедливы группы аксиом:

1) аксиомы тождественности

А = В (или А  В),

если А = В, то В = А,

если А = В и В = С, то А = С;

2) аксиомы рангового порядка (для их выполнения требуется, чтобы выполнялось условие сравнимости и транзитивности; например, нельзя сравнивать бифштекс с книгой)

если А > B, то B < A,

если А > В и В > С, то А > С (то же для нестрогого порядка);

3) аксиомы аддитивности

если А = Р и В > 0, то А + В > Р,

А + В = В + А,

если А = Р и В = Q, то А + В = P + Q,

(А + В) + С = А + (В + С).

Кроме переменных, измеряемых действительными числами, существуют комплексные числа, задаваемые парой (а,в) действительных чисел, одно из которых (а) условно измеряет действительную, а второе (в) - мнимую составляющую.

3        КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Одна из возможных классификаций моделей, используемых в процессе анализа и синтеза (создания) систем, представлена на рис. 4.

Среди моделей различного вида и назначения выделяются два принципиально различных типа:

- первый тип  предназначен для описания характеристик (свойств) систем, т.е. для целей анализа;

- второй тип предназначен для принятия каких-либо решений с целью достижения целей.

В дальнейшем эти типы моделей будем условно обозначать как Мс – модели систем и Мт – модели требований.

Рис. 4

Основными элементами моделей типа Мт являются:

- цели и критерии, по которым осуществляется выбор решения;

- модели принятия решений: законы регулирования и управления, алгоритмы формирования управлений, схемы и процедуры принятия решений и т.д.

Все возможные варианты постановки задач построения целенаправленных систем являются бинарными отношениями (декартовым произведением) этих двух типов моделей

S = Мс  Мт.

Далее будут рассмотрены некоторые виды моделей типов Мс и Мт.

3.1 Модели систем типа Мс

Аппроксиматоры, называемые также в литературе «черными ящиками» (black box), «формальными моделями», являются разновидностью математических моделей, описывают функциональные связи между входами и выходами моделируемой системы без учета (при отсутствии) каких-либо знаний о топологии системы. Коэффициенты таких моделей могут не иметь какого-либо физического смысла, не соотносятся, например, с технологическими параметрами процессов. В этом заключается недостаток таких моделей. Однако, эти модели эффективны в случае невозможности или трудности построения строгих математических описаний поведения систем.

Распространенными примерами таких моделей являются нейронные сети (НС).

Механистические модели. Если знания о функционировании модели формализованы, то для описания таких моделей могут быть использованы механистические модели (ММ), к числу которых относят:

- алгебраические модели (АМ), представляющие собой системы алгебраических и трансцендентных уравнений,

- дифференциальные уравнения (ДУ) и системы ДУ,

- передаточные функции (ПФ),

- логические модели (ЛМ) и др.

Такие модели обычно получают путем анализа физических и химических основ моделируемых процессов. Результатом анализа является прямая или обратная модель процесса. Прямая модель отражает влияние входных координат процесса на выходные и может быть представлена в виде функции

Y =  F(X),

где Х и Y - множества входных (в том числе управляющих) и выходных координат соответственно.

В ряде случаев необходимым является получение обратной модели вида

X = Q(Yн),

где Yн - множество наблюдаемых или измеряемых значений выходных координат процесса. В большинстве случаев построение обратных моделей является некорректной задачей, т.е. имеющей более одного решения или вообще его не имеющей.

Статистические модели являются технологией построения моделей путем описания свойств процесса через статистические переменные и соответствующие статистические оценки этих переменных. По своей сути эти модели содержат элемент неопределенности.

Модели, согласно этой технологии, строятся с использованием методов статистического анализа, теории игр, теории информации и т.п.

Разновидностями данных моделей являются вероятностные и корреляционные модели. Вероятностные модели используют плотности вероятности переменных процесса. При этом наиболее часто используются нормальный и экспоненциальный законы распределения. Использование таких моделей ограничено тем, что при числе переменных более двух требуется большое число экспериментов, возникают трудности, связанные с коррелируемостью параметров.

Динамические модели и характеристики описывают поведение систем в динамике, т.е. во времени.

Наиболее часто динамические модели представляются линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями, разностными уравнениями в частных производных, операторными уравнениями, передаточными функциями и др.

Качественные модели. Существует множество примеров, когда природа процессов принятия решений или функционирования объекта не может быть описана в виде математических соотношений в виду наличия нечетких определений и лингвистических операций или ограничений на технологические параметры и т.д.

Решением этой проблемы является использование качественных моделей, которые наиболее часто представляются в терминах нечетких множеств.

3.2 Модели требований типа Мт

Спектр моделей требований весьма широк, т.к. отражает уровень формализованности как целей и критериев, так и моделей принятия решений.

На одном конце этого спектра лежат модели требований для наиболее простых систем принятия решений – регуляторов или простейших видов управляющих устройств, используемых для формирования управлений в автоматических системах регулирования (АСР), а на другом – схемы экспертного, субъективного, характера.

По своей сути модели регуляторов являются моделями типа Мт механистического класса.

Если считать, что информацией является ошибка регулирования

е = х – у,

где х – желаемое значение регулируемого параметра, у – его текущее значение, то управляющее воздействие может формироваться, например, с использованием трех наиболее часто используемых законов:

П-закона регулирования (пропорциональный), И-закона (интегральный), Д-закона (дифференциальный). Обычно используются сочетания перечисленных законов регулирования: ПИ- и ПИД-законы.

В более сложных случаях, когда требуется описывать процессы принятия решений с участием человека на тех или иных этапах, эти модели оказываются мало пригодными. Заметим, что задача формирования управляющих переменных на основе процедуры оптимизации по одному (скалярному) критерию, также как и на основе стандартных законов регулирования, является полностью формализованной и относится к алгоритмическим методам принятия решений.

Векторный  критерий состоит из набора (множества показателей), в числе которых могут быть показатели с разными направлениями шкалы полезности. Направление шкалы полезности связывает категории «больше»-«меньше» с категориями «лучше»-«хуже».Например, чем выше цена, тем хуже для покупателя, но чем выше качество товара, тем лучше для того же покупателя.

При оптимизации по скалярному критерию решение получается как наилучшее (с учетом ограничений), соответствующее минимуму или максимуму критерия в зависимости от направления шкалы полезности.