Задача по "Физике"

1. С помощью  принципа возможных перемещений (общего уравнения динамики) определить ускорение  центра масс тела А.
2. С помощью принципа Даламбера найти натяжение нити на всех участках. Рассмотрев динамическое равновесие последнего тела, сделать проверку правильности выполненных расчётов.
3. Составить дифференциальное движение Лагранжа и определить ускорение центра масс тела А. Сравнить результат.
4. Найти расстояние  S, пройденное центром масс тела А за время t₁= 2 с, и скорость его в этот момент времени.
5. С помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы определить скорость центра масс тале А в момент  t, когда он пройдёт расстояние S, найденное в п. 4.

Р = 30 Н, G = 15 H F = 20Н, М=300 Нсм R= 0,3 м, r= 0,2 м,  g= 10м/с. 

     Решение.

 

Рисунок 1

1. Общее уравнение динамики для системы запишется как

(1) 

 

 

 

Сократив  на dj, получим

 
 
 

Или можно  записать

 
 
 

Откуда  найдём ускорение 

 м/с   (2) 
 

2. Уравнение Лагранжа II  рода. Система имеет одну степень свободы, тодга

,                     (2)

где Qx – обобщённая сила,

 Т –кинематическая энергия системы;

  q – обобщённая координата

Т=Т₁+Т₂+Т₃

Кинематическая  энергия основания, вокруг которого вращается ступенчатый цилиндр

- масса основания

Момент  инерции цилиндра относительно оси  вращения

Где - момент инерции цилиндра относительно оси вращения

Теперь  окончательно запишем кинематическую энергию системы

(3)

Частная производная

Где   (q=S) – обобщённая координата 

Найдём  обобщённую силу

 откуда

Откуда получим окончательное уравнение

 

    (4)

Сравнив выражения (2) и (4) видим, что они полностью  идентичны 

Ускорение а_А =0,26 м/с найдено верно. 

     

3. Найдём  расстояние S, пройденное телом А за время t= 2 с. Так как, движение ускоренное тела А (это груз 1) и начинается из состояния покоя, то скорость его при t= 2 с будет

    м/с

А путь пройденный телом А будет

 м 

   

4. Используя теорему об изменении кинематической энергии системы 

                                             (3)

     Так как движение начинается из состоянии  покоя, то То=0. А так как система  снабжена идеальными связями, то работа внутренних сил . Следовательно (3) запишем как

         (6)

     где -  работа внешних сил и

Работа  внешних сил  и будет равна,

  Дж

 м/с, что совпадает с ранее полученным значением 

5. Натяжение нитей

а) Рассмотрим в равновесии груз 1. К нему приложены  силы  , и , где - сила натяжении нити, удерживающей груз 1.Спроецируем сумму сил на ось х

-

- + = 0 или

Рисунок 2

б) Рассмотрим в равновесии ступенчатый цилиндр. Составим уравнение равновесия сил относительно оси О

    (4)

Рисунок 3

Откуда 

 Н