Волны: понятие и виды

         Уравнение плоской  отраженной волны в одномерном пространстве легко получить, если представить ее как бегущую волну в отрицательном направлении оси ОУ, что приведет к замене в уравнении бегущей волны координаты «y» на «-y»:

         

.

         Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Так, рассмотренные выше бегущая и отраженная волны являются гармоническими волнами.

6. Волновое  уравнение.

   Когда мы рассматривали колебания, то для  любой колебательной системы  получали дифференциальное уравнение, для которого соответствующее уравнение  колебаний являлось решением. Аналогично уравнение бегущей и отраженной волны являются решениями дифференциального уравнения второго порядка в частных производных, называемого волновым уравнением и имеющего вид:

   

,

   где - фазовая скорость волны.

   Уравнения бегущей и отраженной волн и волновое уравнение представлены для случая одного измерения, т.е. распространения волны вдоль оси ОУ. В волновое уравнение входят вторые частные производные по времени  и координате от смещения потому, что есть функция двух переменных t и y.

7. Скорость  и ускорение колеблющейся точки.  Относительное смещение точек  среды.

         Если смещение любой  точки среды с координатой  y в момент времени t задано уравнением:

         

,

   то  скорость этой точки есть величина , а ускорение - :

   

,

   

§ 1.3. Энергия упругих волн.

   В среде  распространяется плоская упругая  волна и переносит энергию, величина которой  в объеме равна:

    ,

где - объемная плотность среды.

       Если  выбранный объем записать как  , где S – площадь его поперечного сечения, а - его длина, то среднее количество энергии, переносимое волной за единицу времени через поперечное сечение S, называется потоком через его поверхность:

       

.

       Количество  энергии, переносимое волной за единицу  времени через единицу площади  поверхности, расположенной перпендикулярно  направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии волны.

   Эта величина определяется соотношением:

       

,

где -объемная плотность энергии волны, - фазовая скорость волны. Так как фазовая скорость волны - вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны, то можно величине плотности потока энергии I придать смысл векторной величины:

        .

       Величина  , вектор плотности энергии волны, впервые была введена Н.А. Умовым в 1984 году и получила название вектора Умова. Подобная величина для электромагнитных волн  называется вектором Умова - Пойнтинга.

       Интенсивностью  волны называется модуль среднего значения вектора Умова    .

§ 1.4. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость.

       Принцип суперпозиции (наложения) волн установлен на опыте. Он состоит в том, что в линейной среде волны от разных источников распространяются независимо, и накладываясь, не изменяют друг друга. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые частица получит, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.

       Согласно принципу суперпозиции накладываться друг на друга без взаимного искажения могут волны любой формы. В результате наложения волн результирующее колебание каждой частицы среды может происходить по любому сложному закону. Такое образование волн называется волновым пакетом. Скорость движения волнового пакета не совпадает   со скоростью ни с одной из слагаемых волн. В этом случае говорят о скорости  волнового пакета. Скорость перемещения максимума группы волн (волнового пакета) называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии волнового пакета.

       На  практике мы всегда имеем дело с  группой волн, так как синусоидальных волн, бесконечных в пространстве и во времени, не существует. Любая  ограниченная во времени и пространстве синусоидальная волна есть волновой пакет (его называют цуг волны). Групповая скорость такого пакета совпадает с фазовой скоростью бесконечных синусоидальных волн, результатом сложения которых он является.

       В общем виде связь между групповой  и фазовой скоростями имеет вид:

       

.

§ 1.5. Интерференция волн. Стоячие волны.

       1. Интерференцией волн называется явление наложение двух и более волн, при котором в зависимости от соотношения между фазами этих волн происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других.

         В пространстве всегда найдутся  такие точки, в которых разность  фаз складываемых колебаний   равна  величине  , где k – целое число, т.е. волны (от разных источников) приходят в такие точки в фазе. В них будет наблюдаться устойчивое, неизменно продолжающееся все время усиление колебаний частиц. Найдутся в пространстве, где распространяется несколько волн, и такие точки, где разность фаз будет равна , т.е. волны приходят в эти точки в противофазе. В таких точках пространства будет наблюдаться устойчивое ослабление колебаний частиц.

       Устойчивая  интерференционная картина возникает  только при наложении таких волн, которые имеют одинаковую частоту, постоянную во времени разность фаз в каждой точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим условиям и источники, создающие такие волны, называются когерентными. Плоские синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

     2. Запишем условия максимумов и минимумов при интерференции. Когерентные точечные источники и испускают волны по всем направлениям.  До точки наблюдения М расстояние от первого источника , а от второго - .

       Колебания точки М под действием волн от двух источников и описываются уравнениями:

       

,     .

   Амплитуда результирующего колебания в  точке М определится  следующим  образом (см. раздел «Сложение колебаний»):

       

.

   Амплитуда колебаний точки М максимальна ( ), если

       

,  где 

   Величина  называется разностью хода двух волн.

   Условие максимума при интерференции имеет вид:

       

.

   Если  целое число волн укладывается на разности хода двух волн, то при  их сложении наблюдается  интерференционный  максимум.

   Амплитуда колебаний точки М минимальна ( ), если

       

,   ( ).

   Условие минимума при интерференции  имеет вид:

       

.

   Если  нечетное  число  полуволн укладывается на разности хода двух волн, то при их сложении наблюдается интерференционный  минимум.

       3. Простейший случай интерференции  наблюдается при наложении бегущей и отраженной волн, что приводит к образованию стоячей волны. Уравнения бегущей и отраженной волны имеют вид:

       

,    

       Суммарное смещение частицы среды, находящейся на расстоянии  y от  источника колебаний, равно сумме смещений и :

       

.

       Это и есть уравнение стоячей волны. Величина - амплитуда, а ( ) - фаза стоячей волны. Можно сказать, что частицы в стоячей волне имеют одну фазу колебаний. Амплитуда колебаний частиц в стоячей волне зависит от их координат (расстояний до источника колебаний), но не зависит от времени. Знак модуля поставлен в формуле для амплитуды стоячей волны, потому что амплитуда – величина положительная.

   В стоячей волне есть точки, которые все время остаются неподвижными. Такие точки называются узлами смещения, их положение определяется из условия:

    , отсюда следует  .  Выполнение этого соотношения будет при условии   для Итак, координаты узлов задаются формулой:

   

.

   Расстояние  между двумя соседними узлами равно  .

   Точки среды, колеблющиеся с наибольшей амплитудой, называются пучностями стоячей волны, их положение (координаты) определяются соотношением:

   

.

   Это уравнение можно получить из условия  максимума амплитуды

    ,  т.е.  . Последнее соотношение выполняется при значениях аргумента   ( ).

   Расстояние  между двумя соседними пучностями равно  .

        4. Изменение фазы волны при ее отражении.

Как отмечалось ранее, стоячая волна  образуется при сложении бегущей и отраженной волн.  Отраженную волну можно  рассматривать как бегущую волну, распространяющуюся в обратном направлении и ее можно получить при отражении бегущей волны от границы двух сред. Для синусоидальных волн это означает, что при отражении от более плотной среды фаза волны скачком изменяется на радиан, а при отражении от менее плотной среды фаза волны не изменяется. Изменение фазы на радиан соответствует появлению дополнительного хода луча, равного .

Глава 2. Звуковые волны.

       1.Важным  видом продольных волн являются звуковые волны. Так называются волны с частотами 17 – 20000 Гц. Учение  о звуке называется акустикой. В акустике изучаются волны, которые распространяются не только в воздухе, но и в любой другой среде. Упругие волны с частотой ниже 17 Гц называются инфразвуком, а с частотой выше 20000 Гц – ультразвуком.

        Звуковые  волны – упругие  колебания, распространяющиеся в виде волнового  процесса в газах, жидкостях, твердых  телах.

       2. Избыточное звуковое давление. Уравнение звуковой волны.

     Уравнение упругой волны позволяет вычислить  смещение любой точки пространства, по которому проходит волна, в любой  момент времени. Но как говорить о  смещении частиц воздуха или жидкости от положения равновесия? Звук, распространяясь  в жидкости или газе , создает области сжатия и разряжение среды, в которых давление соответственно повышается или понижается по сравнению с давлением невозмущенной среды.

       Если  - давление и плотность невозмущенной среды (среды, по которой не проходит волна), а - давление и плотность среды при распространении в ней волнового процесса,  то величина называется избыточным давлением. Величина есть максимальное значение избыточное давление (амплитуда избыточного давления).

       Изменение избыточного давления для плоской  звуковой волны (т.е. уравнение плоской  звуковой волны) имеет вид:

        

,