Преобразования Леймница

Введение

«Преобразования Лоренца» возникли на рубеже XIX-XX как формальный математический прием для согласования электродинамики с механикой и легли в основу специальной теории относительности. Согласно этим преобразованиям длины и промежутки времени искажаются при переходе из одной системы отсчета в другую. Эти эффекты получили известность каксокращение Лоренца и замедление времени.

1. События в разных системах отчета

1.1 Соотношения между событиями

Обратимся к вопросу о пространственных и временных соотношениях между данными событиями в разных инерциальных системах отсчета.

Уже в ньютоновской механике пространственные соотношения между различными событиями зависят от того, к какой системе отсчета они относятся. Например, две последовательные вспышки лампочки в движущемся поезде происходят в одной и той же системы отсчета, связанной с поездом, но в разных точках системы отсчета, связанный с полотном дороги. Утверждение, что два разновременных события происходят в одном и том же месте или на таком-то расстоянии друг от друга, приобретает смысл только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утверждение относится.

В противоположность этому временные соотношения между событиями в ньютоновской механике считаются не зависящими от системы отсчета. Это значит, что если какие-нибудь два события происходят одновременно в одной системе отсчета, то они являются одновременными и во всех других системах отсчета. Вообще промежуток времени между двумя данными событиями считается одинаковым во всех системах отсчета.

Легко, однако, убедиться, что это не так - одновременность (а следовательно, и течение времени) является понятием относительным, приобретающим смысл только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это понятие относится. Покажем с помощью простого рассеждения, что два события, одновременные в одной системе отсчета, в другой системе отсчета оказываются неодновременными.

Представим себе стержень АВ, движущийся с постоянной скоростью V относительно K - системы отсчета. В середине стержня находится лампочка О, по концам - в точках А и В-фотоэлементы. (рис. 1)

 

А О В V

Рис. 1

Пусть в некоторый момент лампочка О дала кратковременную вспышку света. Так как скорость распространения света в системе отсчета, связанной со стержнем (как и во всякой инерциальной системе отсчета), равна с в обоих направлениях, то световые импульсы достигнут равноудаленных от О фотоэлементов А и B в один и тот же момент времени (в системе отсчета «стержень») и оба фотоэлемента сработают одновременно.

Иначе обстоит дело в K - системе. В этой системе отсчета скорость световых импульсов в обоих направлениях равна также с, однако проходимые ими пути различны. Действительно, пока световые импульсы идут к точкам А и В, последние переместятся вправо (рис. 1) и, следовательно, фотоэлемент А сработает раньше, чем фотоэлемент В.

Таким образом, события, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, т.е. одновременность в отличие от представлений ньютоновской механики является понятием относительным. А это в свою очередь означает, что время в разных системах отсчета течет неодинаково.

1.2 Равенство поперечных размеров тел

Представим себе две инерциальные системы отчета К и К?, оси Y и Y? которые параллельны друг другу и перпендикулярны направлению движения одной системы относительно другой.

Причем начало отсчета O?K?-системы движется по прямой, проходящей через начало отсчета OK-системы. Установим вдоль осей Y и Y? стержни ОА и O?A?, являющиеся эталонами метра в каждой из этих систем отсчета. Представим себе далее, что в момент совпадения осей Y и Y? верхний конец левого стержня сделает метку на оси Y К-системы. Совпадает ли эта метка с точкой А - верхним концом правого стержня?

Принцип относительности позволяет сразу ответить на этот вопрос: да, совпадает. Если бы это было не так, то с точки зрения обеих систем отсчета один из стержней оказался бы, например, короче другого и, следовательно, имелась бы возможность экспериментально отличить одну из инерциальных систем отсчета от другой по более коротким поперечным размерам. Однако это противоречит принципу относительности.

Отсюда следует, что поперечные размеры тел одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Это означает также, что при указанном выборе начала отсчета K?- и К-систем координаты y? и y любой точки или события совпадают, т.е. y? = y.

Это соотношение представляет собой одно из искомых преобразования координат.

1.3 Замедление времени

Итак, наша задача - сравнить течение времени в разных инерциальных системах отсчета. Как известно, время измеряется часами, причем под часами имеется ввиду любой прибор, в котором используется тот или иной периодический процесс. Поэтому в теории относительности принято обычно говорить о сравнении хода идентичных часов в разных инерциальных системах отсчета.

Наиболее просто этот вопрос можно решить с помощью следующего мысленного (т.е. в принципе возможного) эксперимента. Возьмем световые часы - стержень с зеркалами на обоих концах, между которыми «бегает» короткий световой импульс. Период таких часов равен интервалу времени между двумя последовательными моментами, когда световой импульс достигает какого-то определенного конца стержня.

Рис. 2

Далее, представим себе две инерциальные системы отсчета K? и K, движущиеся относительно друг друга со скоростью V. Пусть световые часы АВ неподвижны в K? - системе и ориентированы перпендикулярно направлению ее движения относительно K - системы (рис. 2). Проследим за «ходом» этих часов в системах отсчета K? и K.

В K? - системе часы неподвижны и их период

где l - расстояние между зеркалами, с - скорость света.

В K-системе, относительно которой часы движутся, расстояние между зеркалами также l, так как поперечные размеры тел одинаковы в разных инерциальных системах отсчета. Однако путь светового импульса в этой системе отсчета будет уже иным - зигзагообразным (рис. 2): пока световой импульс распространяется от нижнего зеркала к верхнему, последнее переместится на некоторое расстояние вправо и т.д. Поэтому световой импульс, чтобы вернуться к нижнему зеркалу, проходит в K - системе больший путь, причем с той же скоростью с. Значит, свету понадобится на это больше времени - больше, чем когда часы неподвижны. Другими словами, период движущихся часов удлинится - с точки зрения K - системы отсчета они будут идти медленнее.

Обозначим период движущихся часов через ?t в K-системе. Из прямоугольного треугольника АВ?А? следует, что

, откуда

А так как

?t0, то

(1)

Где , V - скорость часов в K-системе.

Отсюда видно, что ?t>?t0, т.е. одни и те же часы в разных инерциальных системах отсчета идут по-разному: в той системе отсчета, относительно которой часы движутся, они идут медленнее, движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся. Это явление называют замедлением времени.

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с телом, в котором происходит какой-либо процесс, называют собственным временем этого тела. Его обозначают ?t0. Время ?t того же процесса в другой системе отсчета зависит от скорости V этой системы относительно тела, в котором происходит процесс. Эта зависимость особенно сильно проявляется для значении скорости V, сравнимых со скоростью света.

Абсолютное время ньютоновской механики является в теории относительности приближенным понятием, справедливым только при малых (по сравнению со скоростью света) относительных скоростях систем отсчета.

Мы пришли к фундаментальному выводу: время в системе отсчета движущейся с часами, течет медленнее (для наблюдателя, относительно которого данные часы движутся). Отсюда следует, что эффект замедления времени является взаимным, симметричным относительно обеих инерциальных систем отсчета K? и K. Иначе говоря, если с точки зрения K-системы медленнее идут часы K?-системы, то с точки зрения K? - системы, наоборот, медленнее идут часы K-системы (причем в том же отношении). Это обстоятельство указывает на то, что явление замедления времени является чисто кинематическим. Оно представляет собой обязательное следствие инвариантности скорости света и никак не может быть приписано к какому-либо изменению в свойствах часов, обусловленному их движением.

1.4 Лоренцево сокращение

Пусть стержень АВ движется относительно К-системы отсчета с постоянной скоростью V. Рисунок и длина стержня равна l0 в системе отсчета K?, связанной со стержнем. Задача - определить длину l данного стержня в К-системе.

Проделаем для этого следующий мысленный эксперимент. Сделаем на оси Х К-системы метку М и установим около нее часы. Зафиксируем по этим часам время полета ?t0 стрежня мимо метки М. тогда можно утверждать, что искомая длина стержня в К-системе

Для наблюдателя, связанного со стержнем, время пролета будет иным. Действительно, для него часы, показавшие пролетное время ?t0, движутся со скоростью V, а значит показывают «чужое» время. «Свое» время пролета ?t для этого наблюдателя будет больше. Это время он может найти из соотношения

Из этих двух уравнений с учетом (1) получим

Или

(2)

Где . Длину l0 измеренную в системе отсчета, где стержень неподвижен, называют собственной длиной.

Таким образом, продольный размер движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины, т.е. l <l0. Это явление называют лоренцевым сокращением. Заметим, что данное сокращение относится только к продольным размерам телам (размерам по направлению движения), поперечные же размеры не меняются. Сравнительно с формой тела в системе отсчета, где оно покоится, его форма в движущейся системе отсчета, может характеризоваться как сплющенная в направлении движения.

Из формулы (2) следует, что степень сокращения зависит от скорости V. Эта зависимость особенна существенна проявляется для значений скорости V, сравнимых со скоростью света.

Итак, в разных инерциальных системах отсчета длина одного и того же стержня оказывается различной. Иными словами, длина - понятие относительное, имеющее смысл только по отношению той или иной системы отсчета.

Это говорит о том, что лоренцево сокращение является также чисто кинематическим эффектом - в теле не возникает каких-либо напряжений, вызывающих деформацию.

Подчеркнем, что лоренцево сокращение тел в направлении их движения, равно как и замедление времени представляет собой реальный и объективный факт, отнюдь не связанный с какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеры данного тела или промежутков времени, полученные в разных системах отсчета, являются равноправными.

2. Преобразования Лоренца и их следствия

2.1 Преобразования Лоренца

Теперь нам предстоит решить фундаментальный вопрос о формулах преобразования координат и времени (имеются ввиду формулы, связывающие координаты и моменты времени одного и того же события в разных инерциальных системах отсчета).

Возникает задача отыскания таких формул преобразования, которые, во-первых, учитывали бы замедление времени и лоренцево сокращение (т.е. были бы в конечном счете следствиями постулатов Эйнштейна), и, во-вторых, переходили бы в предельном случае малых скоростей в преобразование Галилея. Перейдем к решению этой задачи.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K? и K. Пусть K?-система движется относительно K-системы со скоростью V. Направим координатные оси обеих систем отсчета так, как показано на рисунке: оси Х и Х? совпадают и направлены параллельно вектору V, оси Y и Y? параллельны друг другу. Установим в разных точках обеих систем отсчета одинаковые часы и синхронизируем их - отдельно часы К-системы и отдельно часы К?-системы. И наконец, возьмем за начало отсчета временив обеих системах момент, когда начала координат О и О? совпадают (t=t?=0).

Предположим теперь, что в момент времени t (в К-системе) в точке с координатами x, y произошло некоторое событие А, например вспыхнула лампочка. Наша задача - найти координаты x?, y? и момент времени t? этого события в К?-системе.

Вопрос относительно координаты y? был уже решен и было показано что y? = y. Поэтому стразу перейдем к нахождению координаты х? события. Координата х? характеризует собственную длину отрезка O?P, неподвижного в К?-системе (см рисунок). Длина же этого отрезка в К-системе, где отсчет производится в момент времени t, равна х-Vt. Связь между этими длинами дается формулой (2), согласно которой Отсюда

(3)

С другой стороны, координата х характерезует собственную длину отрезка ОР, неподвижного в К-системе. Длина же этого отрезка в К?-системе, где измерение проводится в момент времени t?, равна х?+Vt?. Учитывая опять (2), получим , откуда

(3?)

Полученные формулы позволяют также установить и связь между моментами времени t и t? события А в обеих системах отсчета. Для этого достаточно исключит из (3) и (3?) х или х?, после чего найдем:

лоренц инерциальный преобразование тело

Заключение

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым c), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Пуанкаре - см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути - которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта - принципа относительности - на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом c в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований (однако этот более широкий класс преобразований - за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца - не сохраняет метрику постоянной).