Таким образом, числовое значение скорости тонки  вращающегося. твердого тела равно произведению угловой скорости тела на. расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена  скорость по касательной к описываемой  точкой окружности или перпендикулярно  плоскости, проходящей через ось  вращения и точку М.

Так как  для всех точек тела имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения  точки М воспользуемся формулами  , .

В нашем  случае =h. Подставляя значение v в выражения и аn , получим:

или окончательно:

, .

Касательная составляющая ускорения  направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 12). Полное ускорение точки М будет или .

Отклонение  вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле . Подставляя сюда значения и , получаем

Так как w и  имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

2. Векторы  скорости и ускорения точек  тела. Чтобы найти выражения непосредственно  для векторов v и а, проведем  из произвольной точки О оси  АВ радиус-вектор r точки М (рис. 14). Тогда h=r sin а и по формуле

или .

Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М.

Направления векторов и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно, - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

Момент  силы относительно точки

     Момент  силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вертящий момент; вращающий момент) — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. 

Момент силы

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (cN•m), футо-фунт (ft•lbf), дюйм-фунт (lbf•in) и дюйм-унция (ozf•in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси вращения рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние, до оси вращения которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние, до оси вращения которого 6 метров. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где  — сила, действующая на частицу, а  — радиус-вектор частицы.

Момент  силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является «ньютон-метр». Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н*м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н*м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

,

где Е — энергия, τ — вращающий момент, θ — угол в радианах. 
 

Момент силы относительно точки

Если  имеется материальная точка  , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющий точки O и O_F, на вектор силы :

. 

Пара  сил

     Пара сил, система двух сил P и P", действующих на твёрдое тело, равных друг другу по абсолютной величине, параллельных и направленных в противоположные стороны (т. е. P" = -P; см. рис.). Пара сил не имеет равнодействующей, т. е. её действие на тело не может быть механически эквивалентно действию какой-нибудь одной силы; соответственно Пара сил нельзя уравновесить одной силой.

     Расстояние  l между линиями действия сил пары называется плечом Пара сил действие, оказываемое Парой сил на твёрдое тело, характеризуется её моментом, который изображается вектором М, равным по абсолютной величине Pl и направленным перпендикулярно к плоскости действия Пары сил в ту сторону, откуда поворот, совершаемый Парой сил, виден происходящим против хода часовой стрелки (в правой системе координат). Основное свойство Пары сил: действие, оказываемое ею на данное твёрдое тело, не изменяется, если Пара сил переносить куда угодно в плоскости пары или в плоскости, ей параллельной, а также если изменить абсолютную величину сил пары и длину её плеча, сохраняя неизменным момент Пара сил Таким образом, момент Пара сил можно считать приложенным к любой точке тела. Две Пара сил с одинаковыми моментами М, приложенные к одному и тому же твёрдому телу, механически эквивалентны одна другой. Любая система Пара сил, приложенных к данному твёрдому телу, механически эквивалентна одной Пара сил с моментом, равным геометрической сумме векторов-моментов этих Пара сил Если геометрическая сумма векторов-моментов некоторой системы Пара сил равна нулю, то эта система Пара сил является уравновешенной.