Понятие реактивного движения

 

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского

Основное уравнение движения тела переменной массы при любом законе изменения массы и при любой относительной скорости выбрасываемых частиц. Было получено В. И. Мещерским в 1897 г. Уравнение получается из закона сохранения импульса(ЗСИ) в изолированной системе для тела с переменной массой. Согласно ЗСИ:

, где:

М- масса тела;

- массавыбрасываемыхгазов;

- начальная скорость;

- приращение скорости;

- скорость истечения продуктов горения;

 

- секундный расход горючего;

Раскрыв скобки, получим:

 

Слагаемым можно пренебречь по сравнению с остальными, так как оно содержит произведение двух малых величин. После приведения подобных членов будем иметь:

 

или

 

По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела М здесь меняется во времени из-за потери вещества.

Размерность величины: []=.

Поэтому - => уравнение (1) можно записать так:

(2).

     Величина = -носит название реактивной силы. Она появляется вследствие истечения газов из ракеты, приложена к ракете и направлена противоположно скорости газов относительно ракеты. Реактивная сила определяется лишь скоростью истечения газов относительно ракеты и расходом топлива. Существенно, что она не зависит от деталей устройства двигателя. Важно лишь, чтобы двигатель обеспечивал истечение газов из ракеты со скоростью при расходе топлива .

Если на ракету действуют внешние силы, то ее движение определяется реактивной силой и суммой внешних сил. В этом случае уравнение запишется так:

 

В случае запуска ракеты с поверхности земли в вертикальном положении на ракету действует сила тяжести .

Формула Циолковского

Решением дифференциального уравнения Мещерского является формула К.Э. Циолковского:

 

Она справедлива в случае отсутствия внешних сил. 

Отношениеназывается числом Циолковского, и часто обозначается буквой z.

Скорость, рассчитанная по формуле Циолковского, носит название характеристической или идеальной скорости. Такую скорость теоретически имела бы ракета при запуске и реактивном разгоне, если бы другие тела не оказывали на неё никакого влияния.

Как видно из формулы, характеристическая скорость не зависит от времени разгона, а определяется на основе учёта только двух величин: числа Циолковского z и скорости истечения u. Для достижения больших скоростей необходимо повышать скорость истечения и увеличивать число Циолковского. Так как число z стоит под знаком логарифма, то увеличение u даёт более ощутимый результат, чем увеличение z в то же количество раз. К тому же большое число Циолковского означает, что конечной скорости достигает лишь небольшая часть первоначальной массы ракеты. Естественно, такой подход к проблеме увеличения конечной скорости не совсем рационален, ведь надо стремиться выводить в космос большие массы, при помощи ракет с возможно меньшими массами. Поэтому конструкторы стремятся, прежде всего, к увеличению скоростей истечения продуктов сгорания из ракет.

 

Сборка

В качестве двигателя использована капсула с горючим веществом (сера и порох). Для корпуса ракеты использована труба из пластика (длинной 200мм, диаметром 30мм). Капсула фиксируется в корпусе при помощи центрирующих колец. На корпус устанавливается обтекатель из пластика. Стабилизаторы изготовлены из плотной бумаги. Для фиксации капсулы в продольном направлении в трубу впрессован фиксатор из пробки. Камера сгорания (капсула) имеет длину 80мм, внутренний диаметр 14мм, заканчивается она цилиндрическим соплом диаметром 4мм и длинной 10мм. В сопло камеры сгорания вставлен фитиль.

 

Сборка модели ракеты производится следующим образом:

На капсулу надеваются центрирующие кольца, она вставляется в корпус и фиксируется пробкой.Затем на корпус устанавливается обтекатель и крепится при помощи клея. Стабилизаторы (4шт.) вставляются в предварительно сделанные прорези в хвостовой части корпуса модели. К корпусу ракеты при помощи скотча прикрепляется направляющий стержень из дерева.

 

Запуск

Направляющий стержень вставляется в пусковую трубу, закрепленную в тисках в вертикальном положении. Тиски устанавливаются на металлическую решетку с ножками. Подготавливаем электронный секундомер. Затем поджигаем фитиль, включаем секундомер в момент взлета (t0). Далее отмечаем момент полного сгорания горючего(t1), момент достижения максимальной высоты(t2) и момент падения корпуса ракеты на землю(t3).  Электронный секундомер измеряет не моменты времени, а промежутки времени.

 

Расчеты

Вся траектория полета ракеты делится на участки:

1. Разгонный участок (h1, t1-t0), движение равномерно ускоренное.
2. Участок торможения (h2, t2-t1), движение равномерно замедленное.
3. Участок свободного падения (h3, t3-t2).

 

Процесс горения порохового заряда – сложный процесс, поэтому для выполнения расчетов, делаем следующие упрощающие предположения:

-расход топлива происходит равномерно, т. е . = сonst.

-следовательно, реактивная сила постоянная.

-поэтому ускорение ракеты  на участке 1 равномерно ускоренное: а == const.

Направим ось OX вертикально вверх. На участке 1 реактивная сила, скорость и ускорение направлены вверх, а сила тяжести вниз. На участке 2 скорость направлена вверх, сила тяжести направлена вниз, скорость меняется от v1до 0, реактивная сила отсутствует. На участке 3 происходит свободное падение, сила тяжести направлена вниз.

Средства измерения

Масса измеряется при помощи электронных весов с точностью измерения ±1г. Общая масса ракеты вместе с направляющим стержнем M=115г. Масса капсулы с зарядом 22г. Масса горючего определятся следующим образом: после эксперимента измеряем массу пустой капсулы. Она равна 11г. Следовательно, масса горючего m=11г. Масса ракеты без горючего M-m=104г.

Время измеряется при помощи электронного секундомера с точностью 0,01с. Однако, точность измерения зависит от физиологической реакции включения и выключения секундомера. Эта реакция может быть как опережающая, так и запаздывающая. По времени она на порядок превышает точность измерения секундомером. Мы оцениваем погрешность измерения времени ±0,2с.

Порядок расчета:

Для расчета мы пользуемся уравнением Мещерского для движения тел с переменной массой в гравитационном поле земли в проекции на ось OX.

M(t)=,

где M(t) - переменная масса ракеты, =а – ускорение на разгонном участке, =.

В момент выключения двигателя M(t)=. Поэтому это уравнение можно записать так:

 a=-

Откуда следует, что реактивная сила:

 

В этой формуле массы M и   известны. Нам нужно определить ускорение a=.

=- измеряется секундомером., где скорость корпуса ракеты в момент времени . Эту скорость мы определяем из того, что за время =Скорость ракеты уменьшается от до 0. =0= =>

.

Итак, сначала мы вычисляем: , затем a==и после этого находим реактивную силу.

Вычисляем скорость истечения продуктов горения:

u=,

где –секундный расход топлива на разгонном участке.

Вычисляем суммарный импульс:

 ;

Вычисляем удельный импульс:

=;

Вычисляем тягу двигателя:

T=.

 

Результаты измерений:	Вычисления:
= 3.5 ±0.2с.	= 10= 16
= 1.6 ±0.2с.	a ==
= 2.9 ±0.2с.	= = 3.1
M = 115кг.	= 1.52Н
кг.	u = = = 484
m = 11кг.	5.32Н
	= =
	T = = Н

 

 

                                                                     T =

 

Погрешности измерений

1. Погрешности прямых измерений:

		M=(115±1)
.		= (104 ±1)
с.
с.
с.

 

2. Погрешности косвенных измерений:

  Относительные  погрешности косвенных измерений  рассчитываются по формулам, приведенным  в учебнике «Физика 10» в разделе  Лабораторные работы.

m=M-, =

= = m = (11)кг

        = =

= = + = ± 0.6

 

() = () + (а) = 0.01 + 0.13 ,	= ±0.2Н
() = (m) + () = 0.2 + 0.06
() = () + () = 0.14 + 0.26
() = () + () = 0.14 + 0.06	±1.1
() = () + () = 0.2 + 0.2	= ±194
(T) = (m) + () + () = 0.2 + 0.4

 

 

Таблица результатов

Физические величины	Единицы измерения(СИ)	Результаты расчетов А	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность %
Реактивная сила	Н	1.5	0.2	14
Удельный расход топлива		3.1	0.8	26
u Скорость истечения газов		484	194	40
Суммарный импульс	Н	5.32	1.1	20
Удельный импульс		484	194	40
Т Тяга двигателя	Н	1.52	1.0	66

 

 

 

 

 

 

Выводы

В результате проведенного эксперимента и обработки результатов достигнута цель, поставленная в начале работы. Решены все поставленные задачи и получены численные значениявсех искомых характеристик модели ракетного двигателя: реактивную силу(), удельный расход топлива() скорость истечения газов(u), удельный() и суммарный импульс(), силу тяги(Т).

Как и следовало ожидать, результаты измерений определены с большими погрешностями. Они обусловлены погрешностями измерений временных промежутков и массы горючего .

Значимость проектной работы заключается в демонстрации возможности изготовления модели ракеты и простыми измерениями масс и временных промежутков изучать характеристики реактивного движения. Проектная работа может представлять интерес для физических кружков и любителей физики. 

 

 

 

 

Использованная литература

Г.Я. Мякишев «Механика»

А.Н Матвеев «Механика и теория относительности»

А.С. Енохович «Справочник по физике»

http://perotexnika.ucoz.ru/news/kak_sdelat_raketu_v_domashnikh_uslovijakh/2012-06-01-6 http://www.sky-blog.net/nauka/Raketa-v-domashnikh-usloviyakh.htm