ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ  ТЕЛА И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ  ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ  КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ. 
 

Цель  работы: изучить метод крутильных колебаний (трифилярный подвес) и применить его для определения момента инерции тела и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Приборы и принадлежности: установка, секундомер, штангенциркуль, линейка, образцы для измерений. 
 

ТЕОРИЯ  МЕТОДА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ. 

  Установка  для определения момента инерции  тела, которая применяется в данной  работе, называется трифилярным  подвесом. Состоит она из диска (платформы) (рис.1), горизонтально подвешенной на трех симметрично расположенных нитях 2. Вверху нити прикреплены к основанию 3, имеющему три симметрично расположенных выступа. Основание с помощью болта 5 и упругой пластины 6 соединено с кронштейном 4.

   Платформа может совершать крутильные  колебания вокруг вертикальной  оси, проходящей через ее середину. При этом центр тяжести платформы  перемещается вдоль оси вращения.

  Пусть  масса платформы m0, вращаясь в некотором направлении, поднялась на высоту h от положения равновесия. Изменение ее потенциальной энергии при этом составит 

                                           E1=m0gh                              (1)    

где g – ускорение силы тяжести.

Возвратившись в положение равновесия, платформа будет иметь угловую скорость w0 и кинетическая энергия ее будет 

                                            E2=

I                            (2) 

где I – момент инерции платформы относительно оси вращения.

Пренебрегая работой сил трения, закон сохранения механической энергии запишется 

                                     

I = m0gh                                (3) 

При малой  амплитуде колебания платформы будут гармоническими, т.е. зависимость углового смещения b от времени t имеют вид 

                                       b=asin

                                 (4) 

где a - амплитуда;

      Т – период колебаний.

В свою очередь угловая скорость w= или w= . Максимальное изменение угловой скорости w0 , соответствующее моменту времени, когда платформа проходит через положение равновесия 

                           w=

                                    (5)

Из (3) и (5) имеем

 

                                      mgh=

I( )²                         (6) 

Найдем h. Пусть l – длина нитей подвеса (рис.2), R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус окружности, на которой лежат точки крепления нитей к основанию.

     Из рис.2 видим, что 

h=OO1=BC-BC1=

В свою очередь    

Поэтому               

                                 

При малых  углах смещения 

;      (BC+BC1)=2l 

учитывая  это, будем иметь 

                                              

                                           (7)

тогда из (6) и (7) находим 

                                         

                                         (8)   
 
 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. 

Упражнение 1.  ОПРЕДЕЛЕНИЕ  МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА. 

1. Убедиться в том, что платформа расположена  горизонтально.
2. Определить R,r,l (масса платформы m0=(1.025±0.0005)кг.), R и r удобно определить из известной геометрической формулы, измерив предварительно с помощью линейки расстояние между точками подвеса двух нитей вверху и внизу.
3. Путем несильного нажатия на край основания 3 (рис.1) сообщить платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измерить время 50-70 полных ее колебаний. Опыт повторить 3-5 раз.
4. Найти период Т0 из этих этих колебаний по формуле (8) определить I0 – момент инерции платформы. Результаты занести в таблицу 1.
5. Платформу нагрузить исследуемым телом, предварительно определив его массу m. Определить период колебаний T1 системы тело-платформа (масса системы – m+m0) и момент инерции системы I1. Величина момента инерции тела найдется как разница I=I1-I0. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 2.
6. Найти ошибку определения I.
7. Сравнить полученное значение I и I0с теоретическим, вычисленным по формуле момента инерции для данного тела.

 
 

Упражнение 2:  ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ  ГЮЙГЕНСА-                                       ШТЕЙНЕРА (ШТЕЙНЕРА-ЖУРАВСКОГО). 

1. Взять два  одинаковых тела и в соответствии с упражнением 1 определить их момент инерции 2I2. Для этого, положив тела одно на другое в центре платформы так, чтобы центры масс тел лежали на одной вертикали с центром масс платформы. Момент инерции одного тела относительно проходящей через центр масс оси будет равен I2. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты занести в таблицу 3.  
2. Расположить тела на некотором расстоянии друг от друга симметрично относительно центра платформы.
3. Определить расстояние a от центра масс из тел до оси вращения и его момент инерции I3. Из опыта найти момент инерции системы из двух тел 2I3. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 4.
4. Найти I3 по теореме Штейнера

                                    

                                      (9)

     где m – масса тела, при этом для I2, m, a берут значения,

     полученные опытным путем.

5. Сравнить значения I3, полученные по формуле (9) и экспериментально.
6. Найти ошибки определения I2 и I3.

 

Таблица 1. 
 

 

Таблица 2. 

 

Таблица 3. 
 

 
 

Таблица 4.