Кинематика, динамика статика. Задачи

вправа 14. 
 
1)Тіло масою 2 кг тягнуть гладенькою горизонтальною поверхнею за допомогою пружини, яка лежить горизонтально і під час руху видовжилась на 1 см. Жорсткість пружини 100 Н/м. З яким прискоренням рухається тіло ? 
Дано:

m =2 кг

k =100 Н/м

∆l = 1см=0,01 м

Знайти: a

Рішення: На тіло діють наступні сили

- сила натяжіння пружини F₁

- сила тяжіння F₂

- сила тертя (=0, тому що поверхня гладенька за умови задачі, тобто коефіцієнт тертя дорівнює 0)

За законом Гука сила натяжіння пружини F₁ = ∆l ∙ k.

За другим законом  Ньютона в проекції на горизонтальну вісь F₁ = m ∙ а

m ∙ а = ∆l ∙ k    →    а = ∆l ∙ k/m = 0,01∙м∙100∙Н∙м^-1/2∙кг = 0,5∙Н/кг=0,5м/с²

Відповідь: тіло рухається з прискоренням 0,5м/с².

 
2)Автомобіль масою 1000кг підчас гальмування зупиняється за 5 с під дією постійної сили, проходячи при цьому відстань 25 м. З яким прискоренням рухається автомобіль ? Яка початкова швидкість автомобіля ? Чому дорівнює сила тертя ? 
Дано

m=1000∙кг

t=5∙с

s=25∙м

v₁=0∙м/с 

a=?

v₀=?

F=?

Рішення

При рівноприскореному русі маємо систему рівнянь:

v₁= v₀+a∙t

s=v₀∙t+a∙t²/2

 

0= v₀+a∙5  ↔ v₀ =-a∙5  v₀ =-(-2)∙5 = 10∙м/с

25= v₀∙5+a∙5²/2 ↔ 25= -a∙5∙5+a∙5²/2  ↔ 1=-a+а/2 ↔ а=-2∙м/с²

За другим законом  Ньютона сила F = m ∙ а = 1000∙кг∙-2∙м/с²=-2000∙Н

Відповідь: автомобіль рухається з прискоренням -2∙м/с², початкова швидкість автомобіля 10∙м/с, сила тертя дорівнює -2000∙Н.

 
5)Під дією сталої сили 40 Н тіло рухається прямолінійно так, що залежність координати від часу описується рівнянням x= 5 + 2t - t*t( t в квадраті)(м). 
З яким прискоренням рухається тіло ? Яка маса рухомого тіла ? Яку швидкість має тіло через 3 с після початку руху ?

Дано

F=-40 Н

x=5+2t-t² 
t₁=3c 

a=?

m=?

v₁=?

Рішення

За другим законом  Ньютона прискорення а = F / m, а сила тіла стала за умови задачі (маса також) тому ріло рухається рівноприскорено. Рівняння рівноприскореного руху мають наступний загальний вигляд:

v₁= v₀+a∙t

s₁= s₀ + v₀∙t+a∙t²/2

Тому s₁ = x тотожно для всіх t:

s₀ + v₀∙t+a∙t²/2 ≡ 5+2t-t²→ s₀=5м, v₀=2м/с, a/2=-1 → a=-2 м/с²

За другим законом Ньютона m = F / а = -40/(-2)=20кг

v₁= v₀+a∙t₁ = 2-2∙3 = 2-6 = -4 м/с.

Відповідь: тіло рухається з прискоренням -2 м/с², маса рухомого тіла 20кг, через 3с після початку руху тіло має швидкість -4 м/с.

 
6)Яку швидкість повинен мати автомобіль, щоб проїхати по опуклому мосту за радіусом кривини 40 м, спричинивши мінімальнудію на нього ?

Дано R=40 м. 
Рішення

Прискорення тіла, яке  рівномірно рухається по колу дорівнює:

а=v²/R

У верхній частині  моста сила тяжіння повинна дорівнювати  центробіжній силі:

mg=ma=m∙v²/R ↔ gR=v² ↔

Відповідь: автомобіль повинен мати швидкість приблизно рівну 20м/с = 72км/ч.

 
7)Тіло починає зісковзувати з вершини сферичної поверхні, радіус якої становить 5 м, зі швидкістю 5 м/с. З яким кутом відхилення від вершини воно відірвться від поверхні ? 
Рішення: Умова відриву: центробіжна сила F₂ = F₁ проекції сили тяжіння F на радіус-вектор (див. малюнок):

F₂ = ma = m∙(v₁²/R)

F₁ = mg cos α

F₂ = F₁

 

mg cos α = m∙(v₁²/R)   ↔ v₁² =Rg cos α

 

Додаткова умова: збереження повної енергії системою: зростання  кінетичної енергії тіла дорівнює зменшенню  його потенційної енергії:

Е₁-Е₀=∆H∙m∙g ↔ mv₁²/2-mv₀²/2 = (R-R cos α)mg ↔ v₁²-v₀²=2g(R-R cos α)

Підставляємо в останнє рівняння вираз для v₁² отриманий вище і знаходимо cos α:

Rg(cos α) -v₀² = 2g(R-R cos α) ↔ cos α= (v₀² + 2gR)/(3gR) = 2/3 + v₀²/(3gR) ≈ 2/3 + 5²/(3∙10∙5) = 2/3+1/6= =5/6

Отже cos α ≈ 5/6. За таблицею значень косинусів знаходимо кут, який відповідає цьому значення косинуса α ≈ acos(5/6)=34°

Відповідь: тіло відірветься від поверхні з кутом відхилення від вершини приблизно 34°.

 

вправа 15. 
 
1)До кінців стержня завдовжки 80 см і масою 10 кг підвісили тягарі, маси яких дорівнюють 1кг і 10 кг. У якій точці потрібно підвісити стержень, щоб вінперебував у рівновазі в горизонтальному положенні ?

Нехай точка підвісу знаходиться на відстані х від ваги у 1кг. Тоді довжина плеча ваги у 10кг дорівнюватиме (0,8-х). А плече сили тяжіння на центр мас стержня дорівнюватиме (0,4-х).

Сума моментів повинна дорівнювати нулю:

х∙1= (0,4-х)∙10+(0,8-х)∙10

х= 4-10х+8-10х=12-20х

21х=12

х=12/21=4/7≈0,57м=57см

Відповідь: стержень потрібно підвісити на відстані 57см від кінця з тягарем масою 1кг.

 
2) Балка вагою 1400 Н підвішена на двох канатах. Яка сила натягу цих канатів, якщо відстань від центра мас балки до точок підвісу 3м і 1м відповідно ?

Вот эта же задача, но в нормальной формулировке:

Однородная  балка массой m = 140 кг и длиной l подвешена  на двух вертикальных канатах. Первый канат прикреплен на расстоянии l₁ = 1,0 м от центра балки, а второй – на расстоянии l₂ = 3,0 м. Модуль силы F натяжения первого каната равен: 

Перша умова рівноваги: сума всих сил дорівнює нулю: Т₁+Т₂+(-1400)=0

Друга умова рівноваги: сума моментів дорівнює нулю: Т₁ l₁+(- Т₂ l₂)=0 ↔ Т₁ 1=3 Т₂

 

Підставляємо вираз  для Т₁ у перше рівняння:

3 Т₂+Т₂=1400

4 Т₂=1400

Т₂=350 Н

Т₁ =3 Т₂=3 350=1050 Н

Відповідь: сила натягу канату на відстані 3м від центра балки (Т2) дорівнює 350Н, сила натягу другого канату дорівнює 1050Н.