1.2 Исследование поперечных колебаний струны

 

Для определения  поперечных колебаний смоделируем  тягу струной.

         Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде или в вакууме и несущие с собой энергию. При этом перенос энергии происходит без переноса вещества, т.е. частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются в поступательное движение, а совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны. В поперечной волне частицы совершают колебания в направлениях, перпендикулярных направлению распространения колебаний, а в продольных волнах – вдоль направления распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. К ним, в частности, относятся поперечные колебания струны.  
 

   Составим  уравнение колебаний струны, натянутой  между двумя точками её закрепления, при условии, что амплитуда отклонений струны от положения равновесия настолько мала, что длину струны( ) можно считать постоянной, а натяжение струны – неизменным по всей длине струны и не зависящим от времени.

   Рассмотрим  отрезок  (рис. 2) колеблющейся однородной струны, точки закрепления которой находятся на оси . Пусть в некоторый момент времени на струну было оказано воздействие, приведшее к смещению отрезка из положения равновесия (вдоль оси ) в направлении оси .

   Смещения  струны вдоль оси   

   Так как в исходном положении струна была натянута, то к концам отрезка будут приложены равные силы натяжения , образующие с направлением углы . В интересах наглядности изображения на (рис. 2) использован укрупненный масштаб при изображении смещения струны вдоль оси .Поэтому при дальнейших расчетах следует иметь ввиду, во-первых, что на (рис. 2) изображен только некоторый произвольно выбранный отрезок струны и,

во-вторых, что смещение вдоль оси  существенно меньше длины струны, а углы настолько малы, что с большой точностью соблюдаются приближенные соотношения:

                   ,   .      (3)

   Проекции  сил  на ось , с учетом соотношений (3), соответственно равны:

             

                                                                                            (4)

             

      Алгебраическая сумма проекций  сил, описываемых соотношениями (4), является силой, возвращающей отрезок в положение равновесия. При этом рассматриваемая часть струны (рис. 2) будет последовательно принимать положения 1,2,3 и т.д., пока колебания не прекратятся и струна не займет устойчивое положение вдоль оси .

   На  основании второго закона Ньютона  результирующая сила, действующая на отрезок  , равна произведению его массы на ускорение , сообщаемое отрезку возвращающей силой:

                      .    (5)

   Разделив  правую и левую части соотношения (5) на , при значениях получим: 

,                                    или

                                ,        (6)

где ; – линейная плотность струны

   Соотношения типа (6) называются волновыми уравнениями, решение которых можно искать в следующем виде:

                              .      (7)

   Подставляя  соотношение (7) в формулу (6), получим:

                              .      (8)

   Уравнение (8) записано в обыкновенных производных, т.к. и зависят только от и соответственно. Так как и – независимые переменные, то равенство (8) может соблюдаться во всем диапазоне их измерений, если обе части соотношения (8) являются некоторой постоянной величиной, которую обозначим . После проведения очевидных преобразований соотношение (8) может быть записано в следующей форме:

.     (9)

   Соотношение (7) позволяет составить следующие уравнения:

                               ,

                                                                                             (10)

. 

   Решения дифференциальных уравнений (10) имеют вид: 

                         , . 

   Следовательно, решение (7) волнового уравнения (6) имеет вид: 

                            ,     (11)

где – амплитудные значения колебаний, формирующихся в точке с координатой в результате сложения волн, распространяющихся вдоль струны за счет действия возмущающей силы и отраженных от точек закрепления оконечных участков струны. Возникающий в результате колебательный процесс (11) называется стоячей волной. Точки, в которых , называются узлами, а точки, в которых амплитуда максимальна – пучностями стоячей волны. Следует иметь в виду, что и пучность, и узел представляют собой не точки, а плоскости, удовлетворяющие указанным условиям. Расстояние между соседними пучностями (также как и между соседними узлами) равно половине длины волны . Соседние узел и пучность сдвинуты на .

   Для нахождения неопределенной постоянной в уравнении (11) воспользуемся очевидными граничными условиями, обусловленными тем, что в точках закрепления струны амплитуда равна нулю:

                                    .           (12)

    Следовательно,

                             или  ,                        (13) 

где =1,2,3... – определяет число пучностей. 
 

   Введем  для формулы (11) следующие обозначения:

                         ,          (14)

   где ;

          – циклическая частота  колебаний;

          – частота колебаний.

   С учётом соотношений (6), (13) и (14) имеем:

                               .          (15)

   При установившейся стоячей волне вся  длина струны содержит целое число полуволн, т.к. в конечных точках струны согласно (12) . Таким образом, и, соответственно:                         .                      (16)

Так как  скорость распространения колебаний:

                                  ,            (17)

то с  учетом формул (15) и (16) имеем:

                                  .          (18)

   В равенстве (18) можно перейти от линейной к объемной плоскости струны :

                               ,           (19)

где – диаметр струны.

   При этом соотношение (15) можно записать в виде:

.            (20)

   Частота, соответствующая  =1, называется основной , а частоты, соответствующие >1 – собственными или нормальными частотами. Их также называют гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение гармоник.  
 
 

2. Экспериментальная часть

 

Разработанная установка представляет собой натянутую  струну  колеблющуюся, в результате воздействия на нее потоком воздуха.

2.1 Описание установки

                  

                 Рис.3 Экспериментальная установка 
 

1.Платформа на  ножках;

2.Стойка(1);

3.Стойка(2);

4.Груз;

5.Блок(рис.4);

6.Болт крепления струны(рис.5)

7.Струна 
 

                                                     

2.2 Порядок выполнения работы

 

     Рассмотрим   способы возбуждения стоячих волн  на  струнах.  В большинстве струнных музыкальных инструментов для этого используется  либо удар по струне специальным молоточком (рояль, пианино), либо рывок (гитара и другие щипковые инструменты). Во всех этих случаях зависимость возбуждающей  силы  от  времени не  является  гармонической,  а имеет вид кратковременного  импульса.  Однако  любой кратковременный импульс  можно  представить как  сумму бесконечно большого  числа  гармонических  функций в бесконечно большом диапазоне частот. Те составляющие, частоты  которых совпадают с частотами, определяемыми формулой (13), возбуждают  стоячие волны. Одновременно возбуждаются как основной тон, так и все его обертоны. Самую большую интенсивность имеет звук основного тона. На   обертоны  приходится  лишь  незначительная  доля  энергии.  Соотношение  между интенсивностями основного тона и каждого из обертонов определяет  тембр звука.  Это  соотношение для  разных  инструментов разное.  Поэтому  разные инструменты, настроенные на одну и ту же частоту основного тона  звучат по-разному.

   В  настоящей  работе  струна  возбуждается  силой,  изменяющейся  по  гармоническому  закону.  Для  этого  используется  металлическая  струна на которую воздействуем потоком воздуха.  На эту часть струны  действует сила  потока воздуха  в направлении,  перпендикулярном  длине струны. Эта сила изменяется по  гармоническому  закону. 

     Колебания  струны могут возбуждаться  только в том случае, если частота  схода вихрей совпадает с частотой какой либо одной из гармоник.    Следовательно,  рассмотренным  способом  можно  возбудить  любые  гармоники,  но  только  по  отдельности.  В отличие от бегущей волны, в стоячей волне не происходит переноса  энергии вдоль струны. Поэтому, в случае отсутствия потерь энергии , даже  при кратковременном , импульсном возбуждении струна должна колебаться  бесконечно  долго.  Однако  реально  всегда  существуют  потери  энергии  (например  на  излучение  звука,трение струны в зажимах,)  и колебания являются  затухающими.  При возбуждении струны  силой,  изменяющейся  по гармоническому закону, колебания являются вынужденными.  В установившемся режиме они происходят с частотой вынуждающей силы,   и  амплитуда  колебаний  со  временем  не  меняется.  Потери  энергии  компенсируются поступающей энергией.