Исследование неразветвленной цепи синусоидального тока. Резонанс напряжений.

Лабораторная  работа №3

Исследование  неразветвленной цепи синусоидального  тока. Резонанс напряжений.

Цель  работы: Изучение неразветвлённой цепи синусоидального тока, состоящей из последовательно соединенных R, L, С элементов, установление условий наступления резонанса напряжений в ней, определение её параметров.

Основные  теоретические положения

    Простейшая  неразветвлённах цепь, состоящая  из последовательно соединённых R, L, С элементов, приведена на рис. 1.

Рнс.1

   Электрическое состояние данной цепи  определяется  следующим уравнением, вытекающим из второго закона Кирхгофа:

где u=u(t)- мгновенное напряжение, приложенное к цепи;

u_R, u_L, u_C, - мгновенные напряжения соответственно на R, L, С элементах;

i=i(t) - мгновенный ток, протекающий в цепи.

Анализ  гармонических колебаний в линейных    электрических цепях

проводится, как правило, относительно комплексных  мгновенных токов ī и

напряжений  ū, математические модели которых определяются следующими формулами:

 

где

- мнимая единица;

- комплексные амплитуды тока и

напряжения, амплитуды и начальные фазы которых  I_m, U_m и Ψ_i, Ψ_u

соответственно;

ω - угловая частота колебаний ī, ū, рад/с. Сравнивая ī с i и ū с u, находим,

что

где Iт{...} - оператор выделения мнимой части комплексного числа (функции), стоящего(щей) в {}.

  Тот факт, что ī к ū включают в себя i и u и являются их (ī, ū) изображениями на комплексной плоскости, математически записывается так:

где знак соответствия мгновенных величин их комплексным изображениям.

Уравнение (1) перепишем в виде:

Выполнив над ī предусмотренные уравнением (3) операции, получим:

Разделив  обе части (5) на , окончательно получим:

Выражение (6) представляет собой закон Ома  в комплексной форме.

В этом выражении:

 - комплексное действующее значение напряжения ū ;

 - комплексное действующее значение тока ī;

_--комплексное сопротивление R, L, С цепи;

 - индуктивное сопротивление;

 

1/ω-С=Х_C - ёмкостное сопротивление;

X=X_L-Х_C - реактивное сопротивление R, L, С цепи, которое в зависимости от соотношения L, С, ω может быть больше нуля ( Х_L>Х_C ), меньше нуля (Х_C>Х_L), равно нулю (X_L=X_C);

 -полное сопротивление R, L, С цепи;

 - угол сдвига фаз между напряжением u и током i

  Если  в выражении (6) U и Ỉ относятся к участку цепи, то комплексное сопротивление этого участка. Например, в рассматриваемой цепи можно выделить шесть комбинаций участков (см. рис.2), комплексные сопротивления которых определяются следующими формулами:

• для участка «R» - X=0, Z_R=R;
• для участка «L» - R=0, X=Х_L, Z_L=j·X=j·X_L;
• для участка «С» - R=0, X=-X_C, Z_C=j·X=-j·X_C; (7)
• для участка «R-L» - Z_R-L=R+j·X;
• для участка «R-C» - Z_R-C=R - j·X_C;
• для участка «L-C» - Z_L-C=j·(X_L-X_C);

  Таким образом, с учетом приведенных формул действующие значения тока I и напряжении U_R, U_L, U_C на участках цепи определяются следующими выражениями:

 

 
 

начальные фазы i, U_R, U_L, U_C связаны между собой формулами: 

 
 

Заметим, что для рассматриваемой цепи угол сдвига фаз между u и i

• меньше  нуля при x<0;
• больше нуля при х>0;
• равен нулю при x=0.

   Режим гармонических колебаний в цепи, состоящей из последовательно соединенных участков с разнохарактерными реактивными элементами, при котором φ=0, называется резонансом напряжений.

   Таким образом, условием возникновения резонанса  напряжений является равенство нулю реактивного сопротивления цепи:

X=0. (10)

   Для рассматриваемой цепи условие возникновения  резонанса напряжений

можно получить путем изменения L, С, ω.

   Например, при неизменных L, С резонанс наступит при частоте

   С учетом (10) находим, что при резонансе:

   - индуктивное сопротивление

 

- емкостное сопротивление

- ток в цепи достигает максимально возможного значения

- напряжение на индуктивной катушке

- напряжение на конденсаторе

- напряжение на резисторе

В формулах (15), (16) величина

называется  добротностью последовательного колебательного контура. В случае, когда , т.е. Q>1, напряжения на индуктивной катушке и

конденсаторе  при резонансе будут больше напряжения на входе цепи. По этой причине резонанс при последовательном соединении R, L, С элементов называют резонансом напряжений.

На  рис.З приведены частотные (резонансные) характеристики I(ω), U_L(ω), U_C(ω), U_R(ω), φ(ω) цепи (рис.1) при U=const. Векторная диаграмма цепи при резонансе показана на рис.4. 

 

 

Для рассматриваемой  цепи:

- активная мощность

- реактивная мощность

- полная мощность

Отметим, что  при резонансе напряжений реактивная мощность всей цепи

 Следовательно, при резонансе напряжений колебания  электрической энергии между источником и цепью нет, мгновенная мощность цепи ≥ 0. Т.е. в этом режиме проходит непрерывное преобразование электрической энергии в тепловую.

Задание по работе

1. Экспериментально исследовать электрические цепи, состоящие из одного 
   пассивного элемента из возможных R, L, С.
2. По данным экспериментов (п.1) рассчитать параметры исследованных 
   цепей.
3. Экспериментально исследовать электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных R, L, С элементов при изменении емкости 
   конденсатора.

4. По данным эксперимента (п.З) построить резонансные кривые I(С),

U_L(C), U_C(C), φ(C) и рассчитать параметры цепи R,L,C.

5. Используя экспериментальные и расчетные данные (п. 3,4), построить в 
масштабе на миллиметровой бумаге векторные диаграммы цепи для случаев 
X<0, Х=0, Х>0.

Методические  указания по выполнению работы

1. Ознакомиться с измерительными приборами и оборудованием панелей 
   лабораторного стенда, составить таблицы для внесения экспериментальных и 
   расчетных данных.
2. Собрать цепь, схема которой представлена на рис. 5,а. Установить наибольшее значение сопротивления переменного резистора и значение напряжения на входе цепи ≤ 50 В.
 

   Напряжение  устанавливается с помощью регулятора Атр. Частота напряжения сети f = 50 Гц. Произвести измерения действующих значений тока I, напряжения U, активной мощности Р цепи. Данные эксперимента завести в табл.1 (строка 1).

   Собрать цепь, схема которой представлена на рис. 5,6. При напряжении на входе цепи ≤ 50 В произвести измерения I, U, Р цепи. Данные эксперимента занести в табл. 1 (строка 2).

   Собрать цепь, схема которой представлена на рис. 5,в. Величину емкости установить равной 20 мкФ. При напряжении на входе цепи ≤ 50 В произвести измерения I, U, Р цепи. Данные эксперимента занести в табл.1 (строка 3).

   

   

   По  данным опытов произвести расчет параметров схем (рис 5,а,б,в). Результаты расчетов занести в табл 1.

   3. Собрать цепь, схема которой представлена  на рнс.6. При напряжении на входе цепи U = 50 В подобрать емкость батареи конденсаторов C=С_O, при которой ток в цепи будет максимальным. Записать показания приборов измерительного комплекта К-505 в табл. 2 (строка 4). Произвести измерения действующих значений напряжений на катушке U_k и конденсаторе U_c с помощью цифрового вольтметра; результаты измерений занести в табл. 2 (строка 4).

 

 

   Произвести  измерения I, U, P, U_k U_c для трёх значений ёмкости С<С₀ и для трёх значений ёмкости С>С₀. Результаты измерений занести в табл. 2 (строки 1-3,5-7).