Исследование движения механической системы с использованием общих теорем и принципов динамики

МИНИСТЕРСТВО  СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 

КафедраТМ 
 
 
 
 

Курсовая  работа 
 

По  дисциплине: «Теоретическая механика» 

«Исследование движения механической системы с использованием общих теорем и  принципов динамики» 
 

А-261(2) 
 
 
 
 
 

  
 

 

Выполнил                                           Проверил

Студент: Ларионов Д.С.                   Преподаватель: Каиров Т.В.

Дата: ____________                          Дата: _____________

Подпись: _________                          Подпись: __________

                                                               Оценка: ___________ 
 
 
 

Мурманск

2008

 

                                                          Содержание 

1. Исследование  движения механической системы с  использованием общего уравнения динамики …………………………………………2
2. Исследование движения механической системы с использованием общего уравнения динамики в обобщенных координатах (уравнение Лагранжа второго рода)………………………………………………..7
3. Список использованной литературы…………………………………10

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Исследование  движения механической системы с использованием общего уравнения динамики

 

Исходные  данные 

                                                    Д3  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                          

Применим в  ходе анализа движения механизма  общее уравнение динамики. 

     1.1 Зададим направления ускорений ( , , ) звеньев механизма. Предположим, что направления этих ускорений совпадают с положительным направлением координат , , , определяющих положение этих звеньев. Приложим к телам системы силовые факторы инерции. Силы инерции звеньев 1 и 2, вращающихся вокруг осей и , соответственно приводятся к моментам сил инерции и направленным противоположно соответствующим ускорениям и , величины которых равны:

      Сила инерции  груза 3, движущегося поступательно  с ускорением , направлена противоположно ускорению и численно равна

     

Учитывая, что  взаимосвязь между ускорениями :

 выражения (1.1) и (1.2) примут вид:

     1.2 Зададим механической системе возможное перемещение ( , , ) в направлении положительного отсчета соответствующих координат и составим общее уравнение динамики для этой системы, приравняв к нулю сумму элементарных работ всех внешних (заданных) сил и сил инерции материальных точек системы на этом возможном перемещении:

     В нашем случае на механическую систему  действуют силы тяжести , , , вращающий момент , момент сопротивления вращению , силы реакции в опорах , , , , и силы инерции , , . Поскольку на систему наложены идеальные связи (шарниры без трения и гибкая нерастяжимая нить, а также существует внутренняя связь между звеньями 1 и 2, которую можно представить либо как зубчатое зацепление без трения, либо как фрикционное зацепление без проскальзывания), то по определению элементарная работа сил реакций идеальной связи равна нулю и не входит в (1.4). Заметим сразу же, что равны нулю и не входят в (1.4) элементарные работы сил , , , , , , так как эти силы приложены к неподвижным точкам. Знак каждой работы устанавливается по общему правилу: если направление силового фактора (силы или момента) совпадает с направлением соответствующего ему перемещения (линейного или углового), то работа считается положительной, в противном случае работа силового фактора отрицательна.

     Итак, общее уравнение динамики для  нашей механической системы имеет вид:

     

     Приведем  зависимости  между координатами звеньев:

     

      Так как на механическую систему наложены стационарные и голономные связи, то записать зависимости между возможными перемещениями звеньев можно аналогично (1.5):

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

     С учетом (1.6) выражение (1.5) примет вид:

     

     После сокращения на имеем

     Подставив в (1.7) вместо , , их выражения из (1.3), получим

          откуда

     Подставив в (1.8) исходные данные, находим

     Определив угловое ускорение  звена 2, найдем закон его движения:

                    

     Проинтегрируем  это равенство, учитывая, что для  начала движения ₂₀   = 0 и ₂₀ = 0:

     

Откуда  .

      Учитывая, что  и выполнив аналогичные преобразования, получим

1.3. Исследовательская часть

     Для определения натяжения нити, на которой  подвешен груз 3, и окружного усилия в точке касания звеньев 1 и 2 составим общее уравнение динамики для  звена 1 и отдельно для груза 3. При этом искомые усилия становятся внешними силами по отношению к этим телам. Для звена 2 общее уравнение динамики примет вид

     

     Откуда

     

     Для груза 3 общее уравнение динамики примет вид

     

     откуда, учитывая, что  , имеем

     

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Исследование движения механической системы с использованием общего уравнения динамики в обобщенных координатах (уравнение Лагранжа второго рода)

        

     Исходные  данные

     Д4

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     

     

     

     

     Рассмотрим  движение неизменяемой системы  с  идеальными связями, движущимися под  воздействием внешних сил:

• тяжести
• трения скольжения

Реакции идеальных  связей не учитываем, так как их элементарная работа равна 0.

      Применим  для анализа движения рассматриваемой механической системы на заданном перемещении S уравнение Лагранжа второго рода:

      

             (2.1)

      Где –Т- кинетическая энергия системы  за время движения;

      q- обобщенная координата системы (q=x);

       - обобщенная скорость системы ( = = ); 

       -обобщенная сила системы, соответствующая обобщенной координате. С учетом принятых обозначений (2.1) примет вид:

      

    (2.2)

      Кинетическая  энергия механической системы была найдена в РГЗ №1:

                

     (2.3)

  

     Найдем  сумму  элементарных работ всех действующих на систему внешних сил бесконечно малом перемещении тела А

      

 
 

      Сумму элементарных работ всех внешних  сил найдем по формуле:

       (2.4)                                                                               

      По  определению, обобщенная сила, соответствующая  обобщенной       координате х, равна:

                                               (2.5) 
 

          Вычислим производные  уравнения (2.2): 

                                         (2.6)