Московский государственный
университет приборостроения и
информатики Сергиево-Посадский филиал
Реферат на тему: “Интерполяционные
формулы Ньютона”
Выполнила:
Бревчик Таисия Юрьевна
Студентка 2 курса группы ЭФ-2
Проверил:
2014 год.
1.Введение
2. Первая интерполяционная формула
Ньютона.
3. Вторая интерполяционная формула
Ньютона.
4. Заключение
5.Список литературы
Введение
Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными
и инженерными расчётами, часто приходится
оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методомслучайной выборки. Как правило, на основании
этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой
точностью попадать другие получаемые
значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую
разновидность аппроксимации, при которой
кривая построенной функции проходит
точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к
интерполяции задача, которая заключается
в аппроксимации какой-либо сложной функции
другой, более простой функцией. Если некоторая
функция слишком сложна для производительных
вычислений, можно попытаться вычислить
её значение в нескольких точках, а по
ним построить, то есть интерполировать,
более простую функцию. Разумеется, использование
упрощенной функции не позволяет получить
такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная
функция. Но в некоторых классах задач
достигнутый выигрыш в простоте и скорости
вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно
другую разновидность математической
интерполяции, известную под названием
«интерполяция операторов». К классическим
работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой
для множества других работ.
Рассмотрим систему несовпадающих
точек
() из некоторой области
. Пусть значения функции
известны только в этих точках:
Задача интерполяции
состоит в поиске такой функции
из заданного класса функций, что
Точки
называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной
сеткой.
Пары
называют точками данных или базовыми точками.
Разность между «соседними»
значениями
— шагом интерполяционной
сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
Функцию
— интерполирующей функцией или интерполянтом.
Первая интерполяционная формула
Ньютона.
1. Описание
задачи. Пусть для функции
заданы значения
для равноотстоящих значений независимой
переменной:
,
, где
- шаг интерполяции.
Требуется подобрать полином
степени не выше
, принимающий в точках
значения
,
. (1)
Условия (1) эквивалентны тому,
что
при
.
Интерполяционный
полином Ньютона имеет вид:
. (2)
Легко видеть, что полином (2)
полностью удовлетворяет требованиям
поставленной задачи. Действительно, во-первых,
степень полинома
не выше
, во-вторых,
и
,
.
Заметим, что при
формула (2) превращается в ряд Тейлора
для функции
:
.
Для практического использования
интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно
записывают в несколько преобразованном
виде. Для этого введём новую переменную
по формуле
; тогда получим:
, (3)
где
представляет собой число шагов,
необходимых для достижения точки
, исходя из точки
. Это и есть окончательный видинтерполяционной
формулы Ньютона.
Формулу (3) выгодно использовать
для интерполирования функции
в окрестности начального
значения
, где
мало по абсолютной величине.
Если дана неограниченная таблица
значений функции
, то число
в интерполяционной формуле (3) может
быть любым. Практически в этом случае
число
выбирают так, чтобы разность
была постоянной с заданной степенью
точности. За начальное значение
можно принимать любое табличное значение
аргумента
.
Если таблица значений функции
конечна, то число
ограничено, а именно:
не может быть больше числа значений функции
, уменьшенного на единицу.
Заметим, что при применении
первой интерполяционной формулы Ньютона
удобно пользоваться горизонтальной таблицей
разностей, так как тогда нужные значения
разностей функции находятся в соответствующей
горизонтальной строке таблицы.
2. Пример. Приняв шаг
, построить интерполяционный полином
Ньютона для функции
, заданной таблицей
|
1 |
1,05 |
1,1 |
1,15 |
1,2 |
1,25 |
1,3 |
|
-3 |
-3,685 |
-4,445 |
-5,285 |
-6,207 |
-7,218 |
-8,321 |
Решение. Составляем таблицу разностей
(таблица 1).
Так как разности третьего порядка
практически постоянны, то в формуле (3)
полагаем
. Приняв
,
, будем иметь:
,
или
,
где
. Это и есть искомый интерполяционный
полином Ньютона.
Таблица 1
|
|
|
|
|
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3 |
-3
-3,685
-4,445
-5,285
-6,207
-7,218
-8,321 |
0,685
0,76
0,84
0,922
1,011
1,103 |
-0,075
-0,08
-0,082
-0,089
-0,092 |
0,005
0,002
0,007
0,003
|
Полученный полином дает возможность
прогнозирования. Достаточную точность
получаем при решении интерполяционной
задачи, например,
.Точность падает при решении экстраполяционной
задачи, например,
.
Вторая интерполяционная
формула Ньютона.
Первая интерполяционная формула
Ньютона практически неудобна для интерполирования
функции вблизи узлов таблицы. В этом случае
обычно применяется вторая интерполяционная
формула Ньютона.
Описание задачи. Пусть имеем последовательность
значений функции
,
для равноотстоящих значений
аргумента
, где
- шаг интерполяции. Построим полином
следующего вида:
,
или, используя обобщённую степень,
получаем:
. (1)
Тогда, при выполнении равенства
,
, получим
,
.
Подставим эти значения в формулу
(1). Тогда, окончательно, вторая интерполяционная
формула Ньютона имеет вид:
. (2)
Введём более удобную запись
формулы (2). Пусть
, тогда
,
и т. д. Подставив эти значения
в формулу (2), получим:
. (3)
Это и есть обычный вид второй интерполяционной
формулы Ньютона. Для приближённого
вычисления значений функции
полагают:
.
Как первая, так и вторая интерполяционные
формулы Ньютона могут быть использованы
для экстраполирования функции, т. е. для
нахождения значений функции
для значений аргументов
, лежащих вне пределов таблицы. Если
и
близко к
, то выгодно применять первую интерполяционную
формулу Ньютона, причём тогда
. Если же
и
близко к
, то удобнее пользоваться второй интерполяционной
формулой Ньютона, причём
. Таким образом, первая интерполяционная
формула Ньютона обычно используется
для интерполирования
вперёд и экстраполирования
назад, а вторая интерполяционная
формула Ньютона, наоборот, - для интерполирования
назад и экстраполирования
вперёд.
Заметим, что операция экстраполирования,
вообще говоря, менее точна, чем операция
интерполирования в узком смысле слова.
Пример. Приняв шаг
, построить интерполяционный полином
Ньютона для функции
, заданной таблицей
|
|
0,5 |
0,55 |
0,6 |
0,65 |
0,7 |
0,75 |
0,8 |
|
|
0,875 |
0,7088 |
0,5361 |
0,3572 |
0,173 |
-0,0156 |
-0,2081 |
Решение. Составляем таблицу разностей
(таблица 1). Так как разности третьего
порядка практически постоянны, то в формуле
(3) полагаем
. Приняв
,
, будем иметь:
,
или
,
где
.
Это и есть искомый интерполяционный
полином Ньютона.
Таблица 1
|
|
|
|
|
|
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8 |
0,875
0,7088
0,5361
0,3572
0,173
-0,0156
-0,20 |
-0,1662
-0,1727
-0,1789
-0,1842
-0,1886
-0,1925 |
-0,0065
-0,0062
-0,0053
-0,0044
-0,0039 |
0,0003
0,0009
0,0009
0,0005
|
Заключение
В вычислительной математике существенную
роль играет интерполяция функций, т.е.
построение по заданной функции другой
(как правило, более простой), значения
которой совпадают со значениями заданной
функции в некотором числе точек. Причем
интерполяция имеет как практическое,
так и теоретическое значение. На практике
часто возникает задача о восстановлении
непрерывной функции по ее табличным значениям,
например полученным в ходе некоторого
эксперимента. Для вычисления многих функций
оказывается эффективно приблизить их
полиномами или дробно-рациональными
функциями. Теория интерполирования используется
при построении и исследовании квадратурных
формул для численного интегрирования,
для получения методов решения дифференциальных
и интегральных уравнений.
Список
литературы:
1. В.В. Иванов.
Методы вычислений на ЭВМ. Справочное
пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев.
1986.
2. Н.С. Бахвалов,
Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные
методы. Изд-во "Лаборатория базовых
знаний". 2003.
3. И.С. Березин,
Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд.
ФизМатЛит. Москва. 1962.
4. К. Де Бор.
Практическое руководство по
сплайнам. Изд-во "Радио и связь".
Москва. 1985.
5. Дж. Форсайт,
М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических
вычислений. Изд-во "Мир". Москва.
1980.