Гидростатика

  (19)

во-вторых, за счет поднятия под давлением р на высоту hA; запас потенциальной энергии, способной произвести эту работу

  (20)

Потенциальная энергия элементарного объема жидкости весом dG

  (21)

 

В гидравлике принято иметь дело с так называемой удельной энергией е, то есть с энергией, отнесенной к единице веса жидкости, находящейся в точке А. Тогда удельная потенциальная энергия в рассматриваемой точке

  (22)

 

Таким образом, с энергетической точки зрения, сумма входящих в основное уравнение гидростатики (15) величина представляет собой удельную, то есть отнесенную к единице веса, потенциальную энергию жидкости в рассматриваемой точке. При этом — часть удельной потенциальной энергии — удельная энергия давления, часть удельной потенциальной энергии — удельная энергия положения.

 

Жидкость в неинцерциальных системах отсчета

В предшествующем изложении гидростатики предполагалось, что жидкость находится в покое относительно некоторой условно неподвижной системы отсчета (в так называемом абсолютном покое). Неподвижными относительно этой системы предполагаются также сосуды, в которых заключена жидкость. При таком предположении и получено основное уравнение гидростатики.

Перейдем к рассмотрению так называемого относительного покоя жидкости. Под этим определением подразумевается, что частицы жидкости, заключенной в некотором сосуде, не имеют перемещений друг относительно друга и вся масса жидкости покоится относительно стенок сосуда, следовательно, относительно жестко связанных с сосудом координатных осей, в то же время сосуд перемещается произвольным образом относительно неподвижной системы отсчета.

Из основ механики известно, что законы, описывающие абсолютный или относительный покой (а также абсолютное или относительное движение), не различаются между собой, если подвижная система отсчета перемещается относительно неподвижной инерциальным образом, т.е. прямолинейно и равномерно. Рассмотрим два примера относительного покоя жидкости.

Относительный покой однородной жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси. Подвижные координатные оси расположим так, что ось Oz направлена вертикально вверх (рис.7). Сосуд, благодаря трению, вовлекает в движение наполняющую его жидкость и по истечении небольшого промежутка времени, после начала вращения, жидкость также начинает приходить во вращение с той же угловой скоростью, что и сам сосуд. Таким образом, в дальнейшем жидкость покоится относительно сосуда, что позволяет применить уравнения гидростатики, но в координатах, жестко связанных с сосудом, т.е. вращающихся в пространстве.

Приложенными к частицам жидкости массовыми силами являются по-прежнему силы тяжести, параллельные оси z; силами инерции Fи в переносном движении в данном случае являются центробежные силы, перпендикулярные к оси z, имеющие ускорение (ω2r), где r = √( + у2)  есть расстояние данной частицы жидкости от оси вращения. Проекциями ускорения равнодействующей этих сил на оси координат будут           

 

 

 

Дифференциальное уравнение поверхностей уровня

 

 

Интегрируя это уравнение, получим  

 

Из последнего уравнения следует, что поверхности уровня (в том числе и свободная поверхность) являются параболоидами вращения вокруг оси z.

Напомним, что распределению давления в несжимаемой жидкости соответствует зависимость (11).

 

а в данном случае  

 

 

    отсюда    (после   интегрирования)        можно получить

 

Поместим начало подвижных координат в точку «О» пересечения оси z со свободной поверхностью. Тогда постоянная интегрирования определится из граничного условия р = р0 при r = 0 и    Z= 0. Подставив эти значения, получим

const = р0,

следовательно      

 

Последнее уравнение выражает закон распределения давления в жидкости.

Из уравнения видно, что давление в некоторой горизонтальной плоскости z=const  по мере увеличения радиуса увеличивается   по   сравнению   с гидростатическим,    вычисленным   для неподвижного сосуда, на величину , т.е. тем сильнее, чем  больше число оборотов сосуда. Этим пользуются в технике в случаях, когда надо увеличить на некоторый период времени давление внутри массы жидкости (увеличение давления, зависящее от значения центробежной силы, лежит также в основе работы центробежных насосов). 
Закон Архимеда.Плавание тел

Закон Архилида, известный из школьного курса физики, обычно формулируется так: на всякое пило, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Зная основные законы гидростатики, установим за счет чего эта сила образуется и уточним, на всякое ли тело в жидкости она действует.

Рассмотрим три цилиндрических тела. вес которых G1, G2 и G3 и сечение ω: одно из них частично погружено в жидкость. второе плавает внутри жидкости и третье покоится на дне (рис. 8). В первом и втором случае силы внешнего давления по верхней и нижней плоскостям цилиндра равны и противоположны по направлению. Равнодействующие силы избыточного давления, действующие по этим плоскостям при плавании на поверхности

 

  (23)

 

где W1— объем погруженной части цилиндра (в этом случае P1 > G).

При состоянии безразличного равновесия (тело плавает внутри жидкости, окружающей его со всех сторон)

  (24)

 

где W — объем полностью погруженного в жидкость тела (в этом случае P2=G).

 

В третьем же случае, если цилиндр стоит на водонепроницаемом дне и плотно прилегает к нему (отсутствует доступ жидкости к нижней поверхности цилиндра) сила гидростатического давления Рн =0 и никакой выталкивающей силы не будет, наоборот, тело, под действием собственного веса, веса вышележащего столба жидкости и внешнего давления, будет прижиматься ко дну.

Рассмотрим некоторые общие вопросы. связанные с плаванием тел.

Объем жидкости W, вытесняемый полностью или частично погруженным в нее телом, называется объемным водоизмещением.

Центр тяжести Д вытесненного объема жидкости (центр давления при плавании) называется центром водоизмещения (рис. 9). 

Подъемная (архимедова) сила имеет в качестве линии действия вертикальную прямую, проходящую через центр водоизмещения.

Плоскость сечения плавающего тела, совпадающая со свободной поверхностью жидкости, называется плоскостью плавания, а линия пересечения плавающего тела со свободной поверхностью жидкости — ватерлинией.

Прямая, проходящая через центр тяжести плавающего тела Ц и центр водоизмещения в положении устойчивого равновесия тела (когда сила его веса и сила тяжести действуют по одной вертикальной прямой), называется осью плавания.

Глубина погружения самой низкой точки смоченной поверхности тела называется осадкой.

Если тело выведено из положения равновесия на какой-то угол а относительно вертикали, называемый углом крена, то объем водоизмещения изменяет свою первоначальную, обычно симметричную форму, а центр водоизмещения переместится в новую точку Д', через которую и пройдет подъемная сила Р.

Точка пересечения подъемной силы Р при наклонном положении тела с осью плавания называется метацентром. Расстояние между центром тяжести тела Ц и метацентром М обозначается через hм и называется метацентрической высотой. Метацентрическая высота может быть определена по формуле

 

 

где I0 — момент инерции площади плоскости плавания относительно продольной оси S' — S', W — водоизмещение тела; е — расстояние между центром тяжести Ц и центром водоизмещения Д.

Плавучесть тела — его свойство плавать при заданной нагрузке, имея заранее установленное погружение. Запас плавучести — добавочная нагрузка, которая соответствует весу жидкости в объеме надводной части плавающего тела.

Остойчивость — способность плавающего тела восстанавливать свое исходное положение в жидкости.

Для того, чтобы плавающее и подводном состоянии тело обладало статической остойчивостью, центр тяжести его Ц должен лежать на оси плавания ниже центра водоизмещения Д (рис. 10, а). В противном случае (рис 10, 6) тело не обладает остойчивостью.

Если часть плавающего тела возвышается над свободной поверхностью жидкости (надводное плавание) при соблюдении приведенного выше условия, то тело, безусловно, остойчиво. При подводном плавании центр водоизмещения Д может лежать на оси плавания ниже центра тяжести Ц. Если последний будет располагаться не выше предельного метацентра М0 (при малых углах крена), тело будет оставаться остойчивым (рис. 9).

Чем выше расположен метацентр над центром тяжести тела, то есть чем больше метацентрическая высота hм, тем больше остойчивость тела (способность из крена переходить в положение равновесия), так как момент пары сил Р и С, стремящийся восстановить равновесие тела, прямо пропорционален мета- центрической высоте. Если метацентр лежит ниже центра тяжести тела, т.е метацентрическая высота отрицательна, то тело неостойчиво.

 

Использованная литература

1. Гидравлика. Общий курс: Учебник для вузов — К.: Вы- ща шк. Головное изд-во, 1989.— 215 с
2. http://hydraulic-drive.ru/otvety-na-bilety-k-ekzamenu-gidravlika/138-otnositelnyj-pokoj-zhidkosti.html
3. Башта, Т.М. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник для вузов / Т.М. Башта, С.С. Руднев, Б.Б. Некрасов [и др.]. – 2-е изд., перераб. – М.: Машиностроение, 2010. – 423 с