Движение тела в неинерциальных системах отсчета

3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ  СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

 

3.1. СИЛЫ ИНЕРЦИИ

 

     Законы Ньютона справедливы лишь в инерциальных системах отсчета. При этом ускорение тела во всех инерциальных системах отсчета одинаково. Если некоторая система отсчета движется относительно инерциальной системы с ускорением (рис.3.1.), то такая система является неинерциальной. В этом случае ускорение тела в неинерциальной системе отсчета будет отличаться от ускорения в инерциальной системе. Ускорение в инерциальной системе в этом случае равно векторной сумме ускорений тела в неинерциальной системе и ускорения самой неинерциальной системы отсчета:

.                                      (3.1)

Тогда сила, действующая на тело, равна . При тело будет двигаться по отношению к неинерциальной системе отсчета с ускорением – , т.е. так, как если бы на него действовала сила . Эту силу назовем силой инерции. Тогда по второму закону Ньютона получаем:

.

     Введение сил инерции  дает возможность описывать движение  тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения. Следует иметь в виду, что силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами системы отсчета, по отношению к которой рассматривается движение. В этом смысле их можно назвать фиктивными силами.

     Введение в рассмотрение  сил инерции не является принципиально  необходимым. Любое движение всегда  можно рассматривать по отношению  к инерциальной системе отсчета. Однако использование сил инерции дает возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к неинерциальной системе отсчета, что в ряде случаев оказывается существенно проще рассмотрения данного движения в инерциальной системе отсчета.

     Характерным свойством  сил инерции является их пропорциональность массе. Благодаря этому свойству силы инерции оказываются аналогичными силам тяготения.

     Рассмотрим некоторые  примеры движений в неинерциальных  системах отсчета.

 

3.2. РАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА  ОТСЧЕТА

3.2.1. ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА ИНЕРЦИИ

 

     Рассмотрим диск, вращающийся  относительно инерциальной системы  отсчета с постоянной угловой  скоростью w. Свяжем с диском неинерциальную систему отсчета (рис.3.2). Рассмотрим точку M, покоящуюся относительно диска. Ее ускорение в неинерциальной системе отсчета . Ускорение точки M относительно инерциальной системы отсчета равно ускорению самого диска

 

где w - угловая скорость диска, – радиус-вектор точки M. Эта формула определяет нормальное ускорение, направленное к центру диска (от точки M к точке O), т.е. противоположно радиус-вектору , поэтому перед выражением стоит знак минус.

     Точку M можно удержать в покое относительно диска, например, с помощью растянутой пружины. При этом в пружине возникает сила упругости , уравновешиваемая силой инерции, т.е. . Тогда сила инерции равна и называется центробежной силой инерции.

 

3.2.2. КОРИОЛИСОВА СИЛА ИНЕРЦИИ

     При движении тела  относительно неинерциальной вращающейся  системы отсчета кроме центробежной  силы инерции появляется еще  сила Кориолиса.

     Рассмотрим пример (рис.3.3).На горизонтально расположенном диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проведем радиальную прямую ОА. В направлении  этой прямой из точки  О запустим шарик с постоянной скоростью . Если диск не вращается, шарик движется по ОА. Приведем диск во вращение с постоянной угловой скоростью w. В этом случае траектория шарика  ОВ будет отличаться от ОА. Следовательно, на шарик, движущийся с постоянной скоростью относительно вращающейся системы отсчета, действует сила, перпендикулярная к скорости . В результате действия этой силы скорость шарика меняет свое направление. Эту силу и называют силой Кориолиса.

     Для того, чтобы заставить  шарик катиться по радиальной  прямой АВ равномерно вращающегося диска, его направляют по радиальному ребру (рис.3.4). В этом случае кориолисова сила уравновешивается силой реакции ребра , и скорость шарика остается постоянной.

Найдем выражение для силы Кориолиса. Пусть частица массой m движется относительно равномерно вращающегося диска по окружности с постоянной по величине скоростью . На рис.3.5.а) направления движения частицы и системы отсчета совпадают, на рис.3.5б) эти направления противоположны. Скорость частицы относительно неподвижной инерциальной системы отсчета для случая а) равна , где R – радиус вращения частицы. Для случая б)  . Чтобы частица двигалась относительно инерциальной системы отсчета со скоростью , на нее должна действовать сила, направленная к центру окружности. Этой силой может быть, например, сила натяжения нити, которой частица привязана к оси вращения. Для случая а) имеем:

Здесь - сила, действующая на частицу в неинерциальной вращающейся системе отсчета; -центробежная сила инерции, вызванная вращением системы отсчета с угловой скоростью w. Тогда есть сила Кориолиса, которая связана с движением самой частицы в неинерциальной системе отсчета.

     Из последнего выражения  видно, что сила Кориолиса совпадает по направлению с центробежной силой, т.е. направлена от центра диска.

Для случая б) получаем 

.

Сила Кориолиса направлена к центру диска, т.е. противоположно центробежной силе инерции.

     В векторной форме  выражение для силы Кориолиса принимает вид:

.

Если точка покоится в неинерциальной системе отсчета, , поэтому действующая на нее сила Кориолиса равна нулю,

     Ускорение частицы  относительно инерциальной системы  отсчета равно

где – радиус-вектор частицы. Ускорение называется переносным. Это ускорение, которым обладала бы частица, покоящаяся во вращающейся системе отсчета.        Ускорение называется ускорением Кориолиса.

 

      3.3. СИСТЕМА ОТСЧЕТА, СВЯЗАННАЯ С ЗЕМЛЕЙ 

 

     Система отсчета, связанная с Землей, является неинерциальной вследствие суточного вращения Земли с постоянной угловой скоростью w и вследствие действия на Землю поля Солнца, Луны и других астрономических тел.  Это гравитационное поле практически однородно в пределах Земного шара и сообщает земной системе отсчета одно и то же ускорение.

     Силой тяжести тела  называется сила, приложенная к телу и равная геометрической сумме силы тяготения , действующей на тело со стороны Земли, и центробежной силы инерции , обусловленной суточным вращением Земли,

Эта сила совпадает с силой тяготения к Земле только на полюсах, так как центробежная сила там равна нулю. Наибольшее отличие силы тяжести от силы тяготения наблюдается на экваторе, где центробежная сила максимальна и направлена противоположно силе тяготения. Но даже на экваторе это отличие достигает лишь 0,35%.

     Сила тяжести уменьшается  с подъемом на высоту. Вблизи  поверхности Земли это уменьшение составляет 0,034% на километр подъема.

     Свободное падение  тела – это его движение  только под действием силы  тяготения, поэтому в неинерциальной  системе отсчета, связанной с  Землей, значение ускорения свободного  падения отличается от g. Стандартное значение g=9,80665 , на полюсах g=9,83 , на экваторе g=9,78 .

     Ускорение свободно  падающего тела в неинерциальной  системе отсчета, связанной с  Землей, равно:  /     

     Если скорость тела относительно Земли равна нулю, =0, то

• вектор равен ускорению свободно падающего тела, измеренному относительно  земной системы отсчета в тот момент, когда скорость тела относительно Земли равна нулю. При скоростях <680м/с значения и различаются менее, чем на 1%. Поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что для наблюдателя, находящегося на Земле, свободное падение вызвано только силой тяжести этого тела, сообщающей ему ускорение . Действием силы Кориолиса можно пренебречь.

 

3.4. СИСТЕМА ОТСЧЕТА СВОБОДНО  ПАДАЮЩЕГО ЛИФТА

 

Будем считать, что ускорение движения неинерциальной системы отсчета

,

где - единичный вектор, направленный вертикально вверх от поверхности Земли, – ускорение свободного падения.

     Сила инерции, действующая на материальную точку в этой неинерциальной системе отсчета равна:

.

 Помещенный в лифте незакрепленный  предмет находится под действием  силы тяжести и силы инерции . Поэтому результирующая сила, действующая на этот предмет в неинерциальной системе отсчета, связанной с падающим лифтом, равна нулю: . Следовательно, относительно неинерциальной системы отсчета тело не имеет ускорения. Это явление носит название невесомости. Если тело не имеет начальной скорости, то оно кажется парящим в воздухе.

 

     3.5. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

 

    Силы инерции, действующие  на тела в неинерциальной системе  отсчета, пропорциональны массам  этих тел и при прочих равных  условиях сообщают им одинаковые относительные ускорения. Таким образом, все тела, свободные от внешних воздействий, движутся в “поле сил инерции”, т.е. относительно неинерциальной системы отсчета, совершенно одинаково, если начальные условия их движения одинаковы. Аналогичная закономерность наблюдается при движении относительно инерциальных систем отсчета тел, находящихся под действием сил гравитационного поля. В каждой точке этого поля силы тяготения также пропорциональны массам тел и сообщают всем телам одинаковые ускорения свободного падения.

     Таким образом, гравитационное  поле в ограниченной области  пространства физически эквивалентно  “полю сил инерции” в соответствующим  образом выбранной системе отсчета.

     Это принцип эквивалентности, сформулированный Эйнштейном. Очевидно, размеры области пространства должны быть достаточно малыми, чтобы в ее пределах гравитационное поле можно было считать однородным.

     Принцип эквивалентности  не следует понимать как утверждение о тождественности сил инерции и сил тяготения. Гравитационные силы убывают с увеличением расстояния между телами, т.е. между рассматриваемым телом, и телом, образующим поле (например, Землей). В то же время переносные силы инерции в поступательно движущейся системе отсчета не зависят от этого расстояния, а центробежные силы инерции неограниченно растут по мере удаления от оси вращения.

     Истинное гравитационное  поле в отличие от “эквивалентного  силам инерции” существует как  в инерциальных, так и в неинерциальных  системах отсчета. Никаким выбором  неинерциальной системы отсчета нельзя полностью исключить гравитационное поле, т.е. скомпенсировать его во всем пространстве “полем сил инерции”.