Задачи по "Финансовой математике"

Задание 1.

М030

m=0; k=3; l=0

Кредит в 50000 выдан на 11 месяцев под 12% годовых. Договором предусмотрено погашение  двумя промежуточными платежами. Первая выплата в сумме 10000 производится через 2 месяца. Вторая выплата в  сумме 35000 – через 4 месяца с момента заключения договора. Найти размер выплаты в конце срока. 

Решение 1 (по коммерческому правилу или правилу торговца):

Данное  правило предполагает, что все операции по вложению денежных средств относятся  только к сумме  основного долга, не изменяя при  этом процентный счет. На каждый внесённый частичный платёж, так же, как и на основной долг, начисляются проценты. В момент окончания сделки сравниваются итоговая задолженность и все частичные платежи с начисленными на них процентами.

Продолжительность кредита в долях года равна

T =11/12.

Тогда сумма  кредита с процентами составит 50000 * (1 + 0,12 *11/12) = 55500.

Интервал времени (в долях года) от момента первого  платежа до окончания срока кредита 

t₁ =(11-2) /12=9/12=3/4.

Сумма первого  платежа с процентами равна R₁=(1+ i*t1) = 10000*(1+0,12*3/4) =10900.

Остаток долга  после первого платежа будет  равен Z₁ = 55500-10900=44600.

Интервал времени (в долях года) от момента второго  платежа до окончания срока кредита 

t₂ =(11-4) /12=7/12.

Сумма второго  платежа с процентами равна R₂=35000*(1+0,12*7/12) =37450.

Остаток долга  будет равен Z₂ = 44600-37450=7150.

Отсюда следует, что в конце срока кредита  погашающий платеж равен 

R₃= 7150 руб.

Таким образом, заемщиком будет выплачена сумма

R₁+ R₂+R₃= 10000+35000+7150=52150 руб.  

Решение 2 (по актуарному правилу).

Актуарное правило предполагает, что погашение  долга начинается с процентной части, а остаток идёт на уменьшение основного долга. После этого проценты начисляются уже на уменьшенную сумму основного долга. Последний частичный платёж должен полностью погасить задолженность.

На начальный  момент времени t0 первоначальный размер ссуды равен 50000, проценты по кредиту P₀= 0, общая сумма долга S₀=50000.

На момент времени  n₁=2 месяца (до выплаты первого погашающего платежа) проценты по кредиту будут начислены за интервал t₁=2 и составят P₁=50000*(0,12*2/12)=1000, общая сумма долга S₁ = 51000.

После погашения  R₁=10000 руб. остаток долга Z₁=41000.

На момент времени  n₂=4 месяца проценты по остатку Z₁ будут начислены за интервал t₂= 2 месяца и составят  P₂=41000*(0,12*2/12)=820, общая сумма долга 41820.

После погашения  R₂=35000 руб. остаток долга Z₂ = 6820.

На момент времени  t₃=11 месяцев проценты по остатку кредита Z₂ будут начислены за интервал t₃= 7 месяцев и составят  P₃=6820*(0,12*7/12)= 477,4.

Итого сумма  последней выплаты R₃ = 7297,4

Таким образом, заемщиком будет выплачена сумма

R₁+ R₂+R₃= 10000+35000+7297,4=52297,4 руб.

(При решении  использован учебник: Бочаров,  П.П., Касимов, Ю.Ф. Финансовая математика: учебник. – М.: Физматлит, 2005. – 576 с.) 

Задание 2.

Вариант 21.

Предполагается  вложить средства в один из двух финансовых проектов. В первом проекте  через 2 года выплачивается 300 тыс. руб., во втором – 350 тыс. руб. через 5 лет. Используя понятие эквивалентности финансовых обязательств, определить, какой из проектов выгоднее. Вычисления выполнить для двух значений ставки сравнения: 4 и 6. Найти значение эквивалентной ставки i₀.

Решение

Различные финансовые схемы  можно считать  эквивалентными в  том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату. В условиях определенности финансовая эквивалентность сводится к соблюдению требования получить по разным финансовым операциям одинаковые денежные результаты. С этой целью все платежи по сравниваемым вариантам приводят к одному и тому же моменту в прошлом, будущем или на промежуточную дату.

Для сравнения приведем результаты обоих проектов к одному и тому же моменту времени в прошлом (нулевой момент времени).

Простой процент

S=P(1+i*n)

P=S/(1+i*n)

1) i₁=4%

P₁=300/(1+0,04*2)=277,78

P₂=350/(1+0,04*5)=291,67

P2>P1 => второй проект выгоднее

2) i₂=6%

P₁=300/(1+0,06*2)= 267,86

P₂=350/(1+0,06*5)= 269,23

P₂>P₁ => второй проект выгоднее

3) i₀=?

Составим уравнение

300/(1+ i₀*2)= 350/(1+ i₀*5)

300*(1+ i₀*5)= 350*(1+ i₀*2)

300+i₀*1500=350+ i₀*700

800 i₀ = 50

i₀= 0,0625 =6,25%

Сложный процент

S=P(1+i)ⁿ

P=S/(1+i)ⁿ

1) i₁=4%

P₁=300/(1+0,04)²=300/1,0816=277,37

P₂=350/(1+0,04)⁵=350/1,2166529024=287,67

P2>P1 => второй проект выгоднее

2) i₂=6%

P₁=300/(1+0,06)²= 300/1,1236=266,999

P₂=350/(1+0,06)⁵= 350/1,3382255776=261,54

P₁>P₂ => первый проект выгоднее

3) i₀=?

Составим уравнение

300/(1+ i₀)²= 350/(1+ i₀)⁵

6= 7/(1+ i₀)³

(1+ i₀)³=7/6

i₀=³√(7/6) - 1

i₀= 0,0527 =5,27%  

Задание 3. 

Финансовый  проект рассчитан на два года и  требует 40 000 рублей инвестиций

В конце  первого года доход составит 12000 рублей, в конце второго – 60 000 рублей.

При годовой  процентной ставке 14% найти:

1. Чистый приведенный доход
2. Чистый наращенный доход
3. Срок окупаемости без учета и с учетом времени
4. Внутреннюю ставку дохода
5. Индекс окупаемости

По найденным  данным оценить рентабельность проекта.

Решение

1. Чистый  приведенный доход NPV

где

CF_t - приток денежных средств в период t;

I_t - сумма инвестиций (затраты) в t-ом периоде;

r - ставка  дисконтирования;

n - суммарное  число периодов (интервалов, шагов) t = 1, 2, ..., n (или время действия  инвестиции)

NPV= 12000/(1+0,14)+60000/(1+0,14)² – 40000 = 10526,32 + 46168,05 – 40000 = 16694,37 руб.

2. Чистый  наращенный доход NFV

NFV = (1+i)ⁿ *NPV = 1,14² *·16694,37 = 21696 руб. 

3. Срок  окупаемости без учета и с  учетом времени

Найдем срок окупаемости без учета времени  

12000+60000=72000 > 40000, следовательно проект окупится в течение второго года.

Найдем дробную  часть срока окупаемости:

12000+60000*х=40000

Х=28000/60000=0,47

Таким образом, срок окупаемости без учета времени составит 1,47 года, т.е. приблизительно 1 год и 6 месяцев 

Срок окупаемости  с учетом времени

12000/(1+0,14)+60000/(1+0,14)² =56694,37 > 40000, следовательно проект окупится в течение второго года.

Найдем дробную  часть срока окупаемости:

10526,32 + 46168,05 *х=40000

Х=29473,68/46168,05 =0,64

Таким образом, срок окупаемости с учетом времени  составит 1,64 года, т.е. приблизительно 1 год и 8 месяцев 

4. Внутренняя  ставка дохода IRR

Рассчитывается  из уравнения 

12000/(1+IRR)+60000/(1+IRR)² – 40000 = 0

12000*(1+IRR)+60000-40000*(1+IRR)² = 0

12000+12000 IRR+60000 – 40000 – 80000 IRR – 40000 IRR² = 0

– 40000 IRR² – 68000 IRR + 32000 = 0

10 IRR² + 17 IRR - 8 = 0

Найдем  решения квадратного уравнения

IRR = (-17±√( 289-4*10*(-8)))/20 = (-17±24,6779)/20

Единственное  положительное решение данного  уравнения 0,384

Внутренняя  ставка дохода составляет 38,4%. 

5. Индекс окупаемости

I_ок = T _ок / n

Где T _ок - срок окупаемости проекта (с учетом или без учета времени)

n – планируемый срок реализации проекта

Для срока  окупаемости без учета времени: I_ок = 1,47/2 = 0,735

Для срока  окупаемости с учетом времени: I_ок = 1,64/2 = 0,82 

Для оценки рентабельности используем Индекс доходности (рентабельности) инвестиций

, 
где TIC - полные инвестиционные затраты проекта.

PI = 1+16694,37/40000 = 1,417 

Вывод. Индекс рентабельности инвестиций свидетельствует о том, что на каждый вложенный рубль проект приносит 42 коп. дохода. При этом процент рентабельности составляет 41,7%. Расчеты позволяют сделать вывод о том, что при заданной ставке процента проект является рентабельным. 

Задание 4.

Кредит  представлен под 12% годовых. Исходное платежное обязательство предусматривает три выплаты: первая в размере 1400 через 3 года, вторая – в размере 3000 через 5 лет, третья в размере 3600 через 7 лет после начала контракта. Эти выплаты заменяются одной выплатой в размере R₀ через 4 года после начала контракта.

Найти размер консолидированного платежа  R₀.

Решение

Простой процент

При замене платежей применяют следующие уравнения эквивалентности:

а) R₀=R₁*(1+(n₀-n₁)*i), если n₀>n₁;

б) R₀=R₁/(1+(n₁-n₀)*i), если n₀<n₁;

R₀ = 1400*(1+(4-3)*0,12)+3000/(1+(5-4)*0,12)+ 3600/(1+(7-4)*0,12)= 1568+2678,571+

+2647,059=6893,63 

Сложный процент

Уравнение эквивалентности  имеет следующий вид:

R₀ = R₁ * (1 + i) ⁿ₀ ^{– n}₁, т.е. при n₀> n₁ происходит наращение сложных процентов на капитал R₁, а при  n₀< n₁ будет осуществляться дисконтирование R₁.

R₀ = 1400*(1+0,12)^4-3+3000*(1+0,12)^4-5+ 3600*(1+0,12)^4-7= 1400*1,12+3000/1,12+3600/1,404928 = 1568+2678,571+2562,409=6808,98