Современная величина обычной ренты

Консолидация ренты - объединение нескольких рент в одну. Принцип финансовой эквивалентности в данном случае предусматривает выполнение такого равенства.11

                  

                  (3)

где А - современная величина рент, заменяющиеся; Аq - современная величина q - й ренты (q -1, 2,..., к).

В случае объединения рент могут возникнуть самые разнообразные задачи, в частности:

а) определение размера члена объединенной ренты;

б) определение срока объединенной ренты. В обоих случаях должны быть заданы другие параметры рент.

Переменная ренты - это рента, члены которой изменяются в соответствии с какого-то закона развития.

Нерегулярный поток платежей - поток платежей, члены которого изменяются хаотично. Временные интервалы между двумя соседними платежами могут быть любыми. В таком случае обобщающие характеристики получают только путем прямого расчета.

Наращенная сумма:

            

                   (4)

Переменная ренты разовыми изменениями членов ренты

            

                           (5)

Длительность ренты равна n. Этот термин распределен на k периодов, в каждом из них член ренты постоянен и равен Rt.

Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей. Если а - абсолютный прирост платежей, т.е. а = Rt - Rt - 1, то современная величина ренты определяется по формуле.12

         

            (6)

Наращенная сумма:

         

                   (7)

Стоит заметить, что в практической деятельности возникают случаи, когда, например, необходимо определиться, как будет осуществляться погашение кредита, когда известно, что покупателю предоставлена ​​отсрочка на три месяца при условии, что проценты за этот период присоединяются к стоимости товаров.

Как пример, предположим, что стоимость партии товаров - 100 тыс. руб., который выплачивается в течение трех лет, а кредит предоставляется под 10 % годовых платежей, вносимых каждые полгода.

Решается такая задача таким образом. Сначала следует определить стоимость товаров на конец отсрочки:

А (1 + i) 3 / 12 = 100000 * 1,13 / 12 = 102400 (руб.)

Итак, выше было изложено аспекты проблемы, обозначенной в области практических расчетов финансовых потоков, в частности, наращивание суммы обычной ренты и современной величины современной ренты, определение ее параметров, а также конверсии финансовых рент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ІІ. Практическая часть

1. Процентные и учетные ставки

Задача 8. Найти величину процентов и наращенную сумму, если на депозит внесены 500 тыс. руб. на 3 года по простой ставке процента 10% годовых.

 

Решение:

Наращенная сумма:

 = 500000 *(1+3*0,1) = 650000(руб.)

Величина процентов

= 500000 *(3*0,1) = 150000 (руб.)

Ответ: Наращенная сумма по депозиту за 3 года составит 650000 руб., а величина процентов 150000 руб.

 

Задача 18. Кредит в размере 20 тыс. руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год - 15 %, а за каждое последующее полугодие она увеличивается на 1 %. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

 Решение:

Множитель наращивания:

= 1 + 1*0,15+0,5*0,16+0,5*0,17+0,5*0,18+0,5*0,19+0,5*0,2 = 1,6

Наращенная сумма:

=20000*(1+1*0,15)*(1+0,5*0,16)*(1+0,5*0,17)*(1+0,5*0,18)*(1+0,5*0,19)*(1+0,5*0,2) = 35385 (руб.)

Ответ: Множитель наращивания за 3,5 года составил 1,6, а наращенная сумма 35385 руб.

2.2 Сложные проценты

 Задача 8. Ставка по облигации номиналом 5 тыс. руб. - 6 %. Определить число лет необходимое для удвоения стоимости облигации, применив сложные проценты:

а) по процентной ставке;

б) по учетной ставке.

Решение:

а) по процентной ставке

=11,89 (лет)

б) по учетной ставке

= 11,2 (лет)

Ответ: применив сложные проценты по процентной ставке для удвоения 5 тыс. руб. - 6 % нужно 11,89 лет, а по учетной ставке - 11,2 лет.

 

Задача 18. 20 тыс. руб. должны быть выплачены через 4 года. Найти современную стоимость, учитывая сложную ставку 10 % годовых.

 Решение:

=20000*(1-0,1)4 =13122 (руб.)

Ответ: современная стоимость составит 13122 руб.

 

2.3 Математическое и банковское дисконтирование

Задача 8. Вексель выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17.11.2003 г. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2003 г. по учетной ставке 20 %. Определить полученную при учете сумму.

 Решение:

Оставшийся до конца срока период равен 55 дней. Временная база 360 дней.

= 969444,4 (руб.)

Ответ: сумма при учете векселя составит 969444,4 руб.

 

Задача 18. Долговое обязательство на сумму 16 тыс. руб. со сроком погашения через 2 года было передано в банк для учета. Дисконтирование производилось по ставке f = 10 % при m= 4. Определить величину дисконта.

 Решение:

=19592 (руб.)

D = S –P = 19592 – 16000 = 3592 (руб.)

Ответ: величина дисконта составит 3592 руб.

 

2.4 Эффективная ставка процентов

Задача 8. Облигация номиналом 20 тыс. руб. выпушена на 5 лет при номинальной ставке 6 %. Рассчитать эффективную учетную ставку и определить наращенную стоимость по эффективной ставке, если начисление процентов производится один раз в полугодие.

Решение:

=0,0609 или 6,09%

=106182 руб.

Ответ: эффективная процентная ставка составит 6,09%, а наращенная сумма – 106182 руб.

 

Задача 18. Эффективная ставка при полугодовом начислении процентов составила 16 %. Найти годовую номинальную процентную ставку.

 Решение:

 отсюда находим номинальную ставку:

=2*((1+0,16)1/2-1)= 0,1541 или 15,41%

Ответ: при полугодовом начислении процентов номинальная ставка составит 15,41%.

 

2.5 Эквивалентность процентных ставок и средние ставки

Задача 8. Для первых 3 лет ссуды применяется сложная ставка 10 %, для следующих двух лет - 16 %. Найти среднюю ставку за весь период ссуды.

 Решение:

=0,124 или 12,4%

Ответ: средняя става за весь период ссуды составит 12,4%.

 

Задача 18. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15 %. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки ?

 Решение:

= 0,1765 или 17,65%

Ответ: доходность учетной операции в виде процентной ставки составит 17,65%.

 

 

 

2.6 Расчет наращенных сумм в условиях инфляции

Задача 8. Кредит в 10 млн. руб. выдан на 2 года. Реальная доходность должна составлять 11 % годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16 % в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

 Решение:

Годовая ставка процента с учетом инфляции:

  или

отсюда

0,11+016+0,11*0,16 = 0,2876 или 28,76%

Наращенная сума

10000000*(1+2876)2= 16579138 (руб.)

Ответ: номинальная ставку процентов с учетом инфляции составляет 28,76%, а наращенная сумма с учетом инфляции 16579138 руб.

Задача 18. Какую ставку, чтобы при годовой инфляции 40 % реальная ставка оказалась 14 %.

 Решение:

= 0,14+0,4+0,14*0,4 = 0,596 или 59,6%

Ответ: коммерческий банк должен назначить 59,6% ставку.

 

 

 

 

 

 

2.7 Консолидация платежей

Задача 8. Суммы в размерах 5, 10, 15 млн. руб. должны быть выплачены соответственно через 40, 90 и 100 дней. Принято решение заменить их одним платежом 50 млн. руб. Найти срок консолидированного платежа, если используется в расчетах процентная ставка 20 %.

 Решение:

Срок выплаты консолидированного платежа найдем по формуле

, где P0-современная величина консолидируемых платежей. (млн. руб.)

=3,01081 года или 3 года и 4 дня (0,01081*365)

Ответ: срок консолидированного платежа составляет 3,01081 года или 3 года и 4 дня

Задача 18. Предприятие обязалось уплатить своему поставщику за поставленные материалы 3 млн. руб. через 3 мес. после поставки, 2 млн. - через 4 мес. и 3 млн. - через 6 мес. Далее стороны решили объединить платежи и выплатить единую сумму через 5 мес. после поставки. Чему равна величина этого платежа при начислении простых процентов по ставке 30%?

Решение:

8,1268 (млн. руб.)

Ответ: размер консолидированного платежа составит 8,1268 млн.руб.

 

2.8 Аннуитеты (финансовые ренты)

Задача 8. Покупатель предложил два варианта расчета при покупке квартиры: а) 5000 долл. немедленно и затем 1000 долл. в течение 5 лет; б) 8000 долл. немедленно и затем по 300 долл. в течение 5 лет. Годовая ставка процентов - 5 % ?

 Решение:

а) =5000+5525,63 = 10525,63 долл.

б) = 8000 +1657,69 = 9657,69 долл.

Ответ: при варианте а) покупатель заплатит 10525,63 долл,, а при варианте б) - 9657,69 долл. Для покупателя будет выгоднее воспользоваться вариантом б).

 

Задача 18. Семья хочет через 6 лет купить дачу за 12000 долл. Какую сумму (равномерно) ей нужно каждый год из этих 6 лет добавлять на счет в банке, если годовая ставка процентов 8 % ?

 Решение:

= 1635,78 долл.

Ответ: семья должна добавлять на счет в банке по 1635,78 долл.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников:

1. Иризепова М. Ш. Финансовая математика: учеб.-метод. пособие / ВолГУ. – Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. – 94 с.

2. Капитоненко В. В. Задачи и тесты по финансовой математике - М.: Финансы и статистика, 2007. - 256с

3. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. - 200с

4. Окунев Б.В., Повага Е.А. Методы финансово-экономических расчетов. Методические указания – Смоленск.: СИБП 2009. - 115с.

5. Пикуза В. И. Экономические и  финансовые расчеты в Excel – Питер, 2010. - 384 с.

6. Четыркин Е.Н. Финансовая математика. Учебник. 6-е изд. - М.: Дело, 2006. - 400 с.

1 Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 41

2 Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 42

3 Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 45

4 Четыркин Е.Н. Финансовая математика. Учебник. 6-е изд. - М.: Дело, 2006. С 73

5 Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 50

6 Четыркин Е.Н. Финансовая математика. Учебник. 6-е изд. - М.: Дело, 2006. С 75

7 Окунев Б.В., Повага Е.А. Методы финансово-экономических расчетов. Методические указания – Смоленск.: СИБП 2009. С 23

8 Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 42

9 Окунев Б.В., Повага Е.А. Методы финансово-экономических расчетов. Методические указания – Смоленск.: СИБП 2009. С 35

10 Иризепова М. Ш. Финансовая математика: учеб.-метод. пособие / ВолГУ. – Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. С 65

11 Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 68

12 Иризепова М. Ш. Финансовая математика: учеб.-метод. пособие / ВолГУ. – Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. С 70