Простые и сложные проценты

 
 
 
 

Основы  финансовой математики 

Простые и сложные  проценты

 
 
 
 

Ссудо-заемные операции, составляют основу большинства  коммерческих вычислений. Именно  в этих операциях проявляется  необходимость учета временной  оценки денег.

В основе расчетов  при анализе эффективности ссудо-заемных  операций заложены, на первый  взгляд, простые схемы начисления  процентов, однако эти расчеты  многообразны, поскольку вариабельны  условия контрактов в отношении  частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления  и погашения ссуд.

 
 
 
 

Операции наращения  и дисконтирования  

В финансовых вычислениях  наиболее часто используют такие  относительные показатели расчета  результативности сделки как  ставка.

Различают:

• а) процентные ставки (процент, рост, ставка процента, норма прибыли, доходность);
• б) учетные ставки (дисконт).

Ставка рассчитывается  отношением приращения исходной  суммы к базовой величине, в  качестве которой можно принять  и текущую стоимость и будущую  стоимость.

 
 
 
 

• Процентная  ставка рассчитывается,

 
 

где F – это будущая  стоимость;

      P – это текущая стоимость.

• Учетная ставка рассчитывается.

 

. 

 
 
 
 

Обе ставки взаимосвязаны. Так              , а                  .

Оба показателя  могут выражаться либо в процентах, либо в долях единицы.

 
 
 
 

В любой финансовой  сделке, как минимум, присутствуют  три величины (две из которых  известны, а одна - искомая).

• Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения.
• Процесс, в котором заданы ожидаемая к получению в будущем сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина приведенной суммой (дисконтированной), а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.

 
 
 
 

Понятие простого  и сложного процента  

Известны две основные  схемы дискретного начисления  процентов:

• схема простых процентов;
• схема сложных процентов.

Схема простых процентов  предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Тогда 

где r – годовая  процентная ставка (в долях);

      n – количество лет.

 
 
 
 

Схема сложных процентов  предполагает, что начисление происходит  не с исходной величины, а с  общей суммы, включающей и ранее  начисленные проценты.

Тогда    . 

 
 
 
 

Применение простых  процентов  

Предоставление краткосрочных  ссуд.  
 

где t – продолжительность  операции в днях;

      T – количество дней в году.

В зависимости от  того, чему берется равной продолжительность  периода различают:

• точный процент (точное число дней в периоде);
• обыкновенный процент (приближенное число дней в периоде).

 
 
 
 

При определении  продолжительности периода ссуды  также возможны два варианта:

• точное число дней ссуды;
• приближенное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца равного 30 дней).

 

Учет векселей банком.    . 

 
 
 
 

Применение сложных  процентов  

• Внутригодовые  процентные начисления.

 
 

где m – количество  начислений в году.

 
 
 
 

• Начисление  процентов за дробное число  лет.

Финансовые контракты  часто заключаются на период, отличающийся от целого числа  лет.

Тогда проценты  могут начислять по двум методам:

• по схеме сложных процентов

 
 
 

где w – целое число  лет;

        f – дробная часть года.

 
 
 
 

• по смешанной  схеме.

 
---
 
 

Если финансовые  контракты предусматривают начисление  процентов по внутригодовым периодам, а продолжительность общего периода  действия контракта не равна  целому числу периодов, то также  можно использовать две схемы  расчета:  

 
 
 
 

• схема сложных  процентов 

 

где w – целое число  периодов в n годах;

        f – дробная часть периода;

        m – количество начислений в году.

• смешанная схема .

 
 
 
 

Непрерывное начисление  процентов 

Максимально возможное  наращение при бесконечном дроблении  годового интервала можно рассчитать  так:

                                  .

где  - непрерывная ставка процента (или сила роста).

                   или                  .  

 
 
 
 

Эффективная годовая  ставка процента 

Различные виды  финансовых контрактов предусматривают  различные схемы начисления процентов, причем в этих контрактах, как  правило, оговаривается номинальная  годовая процентная ставка.

Данная ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности  сделки, а во-вторых, не может использоваться  для сопоставления.

Использование эффективной  годовой ставки процента является  универсальным решением.

 
 
 
 
 
 

где re – эффективная ставка;

      r – номинальная ставка. 
 

 
 
 
 

Основы  финансовой математики 

Оценка денежных  потоков

 
 
 
 

Оценка денежных  потоков 

• Поток постнумерандо  – это поток денежных средств, в котором поступления либо  выплаты, генерируемые в рамках  временного периода, имеют место  в конце периода.
• Поток пренумерандо - это поток денежных средств, в котором поступления либо выплаты, генерируемые в рамках временного периода, имеют место в начале периода.

 
 
 
 

Оценка потока постнумерандо 

• Будущая стоимость  потока постнумерандо

 
 

• Дисконтированная  стоимость потока постнумерандо

 
 
 
 

Оценка потока пренумерандо 

• Будущая стоимость  потока пренумерандо

 
 

•  Дисконтированная стоимость потока пренумерандо

 
 
 
 

Оценка аннуитетов 

• Аннуитет –  это частный случай денежного  потока, когда поступления либо  выплаты денежных средств осуществляются  одинаковыми суммами через одинаковые  промежутки времени.

Выделяют два типа  аннуитетов:

• Постнумерандо;
• Пренумерандо.

 
 
 
 

Аннуитет постнумерандо 

• Прямая задача (оценка будущей стоимости)

 
 

• Обратная задача (оценка дисконтированной стоимости)

 
 
 
 

Аннуитет пренумерандо 

• Прямая задача (оценка будущей стоимости)

 
 

• Обратная задача (оценка дисконтированной стоимости)

 
 
 
 

Бессрочный аннуитет 

• Аннуитет является  бессрочным, если денежные поступления  продолжаются достаточно длительное  время.

 
 
 
 

Основы  финансовой математики 

Оценка финансовых  активов

 
 
 
 

Оценка долговых  ценных бумаг  

• Облигации являются долговыми ценными бумагами, как правило, приносят доход владельцам в виде фиксированного процента к нарицательной стоимости.

 
 
 
 

Формулы оценки  облигаций  

• Облигации с  нулевым купоном:

 
 

где CF – сумма, выплачиваемая  при погашении облигации;

        r – приемлемая (ожидаемая или требуемая) норма доходности;

        Vt – текущая внутренняя стоимость ценной бумаги в период;

        n – число лет, через которое произойдет погашение облигации.

 
 
 
 

Формулы оценки  облигаций 

• Оценка бессрочных  облигаций:

 
 
 
 

Формулы оценки  облигаций 

• Оценка безотзывных  облигаций с постоянным доходом:

 
 

где C – сумма одинаковых  поступлений за период;

      r – приемлемая (ожидаемая или требуемая) норма доходности за период;

      n – число периодов;

      M – нарицательная стоимость облигации.

 
 
 
 

Оценка долевых  ценных бумаг  

• Долевыми ценными  бумагами являются различные  виды акций.

 
 
 
 

Формулы оценки  акций  

• Оценка акций  с равномерно возрастающими дивидендами:

 
 

где C – базовая  величина дивиденда;

      r – приемлемая (ожидаемая или требуемая) норма доходности за период;

      g – постоянный темп прироста дивиденда.

 
 
 
 

Формулы оценки  акций 

• Оценка акций  с изменяющимся темпом прироста  дивиденда:

 
 
 

где Ci – дивидендные  выплаты на i-ый год;

        gi – изменяющиеся темпы прироста дивиденда в i-ый год;

      n – число лет до стабилизации темпа прироста дивиденда;

      Сn+1 – прогнозируемая величина дивиденда ();

      g' – постоянный темп прироста дивиденда.

 
 
 
 

Формулы оценки  акций 

• Оценка привилегированных  акций: