Математическое дисконтирование по сложным процентам

Содержание

 

Теоретическая часть
Математическое дисконтирование по сложным процентам ……………………………………………………………………………….	3
Потоки платежей, их классификация и основные параметры …………………………..................................................................................	5
Практическая часть
Задача 1 ……………………………………………………………………..	9
Задача 2 ……………………………………………………………………..	10
Задача 3 ……………………………………………………………………..	12
Задача 4 ……………………………………………………………………..	13
Задача 5 ……………………………………………………………………..	14
3. Список литературы …………………………………………………	15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теоретическая часть

 

1. Математическое дисконтирование по сложным процентам

 

Сложными  процентами  называют  такой  способ  наращения,  при   котором проценты начисляют на всю накопленную сумму, а не только на  первоначальную, как при начислении простых процентов.

Идея сложных процентов очень  проста.  В  них,  в  отличие  от  простых

процентов,  существует  период  времени,  по  истечении  которого   проценты начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода  сумму,  но  и  на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может быть  разным по длине, например, месяц или  год.  Но  если  уж  он  выбран,  то  является циклическим, т.е. на некотором  промежутке  ось  времени  разбивается  этими периодами, а равные части, как линейка на сантиметры. В то же время так  же, как и простые проценты, сложные не могут не существовать!

Дисконтирование  - это процесс  определения  сегодняшней  (т.е.  текущей) стоимости денег,  когда  известна  их  будущая  стоимость.  Применяется  для оценки  денежных  поступлений  (прибыль,  проценты, дивиденды)   с   позиции текущего момента.1

Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский.

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения

S=P(1+i)n

и решим ее относительно P

                         ,

где

     

учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются m раз в году, то получим

,      

где

    

дисконтный множитель.

Величину P, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме  S через n лет равноценен сумме P, выплачиваемой в настоящий момент.

Разность D=S-P называют дисконтом.

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P=S(1-dсл)n,

где dсл - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

D=S-P=S-S(1-dсл)n=S[1-(1-dсл)n].

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.2

1.2 Потоки платежей, их классификация и основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций и т.д. Такого рода последовательность платежей называют потоком платежей. Отдельный элемент такого ряда платежей называется членом потока.

Классификация потоков

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток платежей, все члены которого – положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой. Например, рентой является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д.3

Рента описывается следующими параметрами:

член ренты – размер отдельного платежа,

период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами,

срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего,

процентная ставка – ставка, используемая для наращения или дисконтирования платежей, из которых состоит рента..

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р – количество выплат в году). Перечисленные виды рент называют дискретными. В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся так часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

По числу раз начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением m раз в году, с непрерывным начислением.

По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные. Члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии. Постоянные ренты – наиболее распространенный вид ренты.

По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной уплате, например при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее не известно. Ктакого рода рентам относятся страховые аннуитеты – последовательные платежи в имущественном и личном страховании. Типичным примером страхового аннуитета является пожизненная выплата пенсии.

По количеству членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные ренты (их срок заранее оговорен) и бесконечные или вечные ренты. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты процентов по бессрочным облигационным займам.

Очень важным является различие по моменту выплат платежей в пределах периода ренты. Если платежи осуществляются в конце этих периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи осуществляются в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Например, контракт предусматривает периодическое погашение задолженности путем выплаты в конце каждого полугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет. Т.о. предусматривается постоянная полугодовая верная ограниченная рента постнумерандо.

Обобщающие характеристики потоков платежей.

В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости потока. Наращенная сумма – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока ренты процентами. Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый предшествующий момент времени.

Прямой метод расчета обобщающих характеристик ренты.

Рассмотрим общую постановку задачи. Пусть имеется ряд платежей  ,выплачиваемых спустя время  после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат  лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке  , то, обозначив искомую величину через , получим по определению

Современную стоимость такого потока также находим прямым счетом как сумму дисконтированных платежей

,

где А – современная стоимость потока платежей,  - дисконтный множитель по ставке  4

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Практическая часть

 

Задача 1

Какую сумму нужно положить в банк, выплачивающий 4 % годовых по простой процентной ставке, чтобы получить 50 000 руб.: а) через 4 месяца; б) через 1 год; в) через 2 года 9 месяцев.

 

Решение:

          

S = 50000

i = 4%=0,04

n = 4 месяца

n = 1 год

n = 2 года 9 месяцев

 

 

Чтобы получить 50 000 рублей через 4 месяца, в банк нужно положить 49 358 рублей  под 4% годовых.

 

 

Чтобы получить 50 000 рублей через 1 год, в банк нужно положить 48 076 рублей под 4% годовых.

 

 

Чтобы получить 50 000 рублей через 2 года 9 месяцев, в банк нужно положить 47 169 рублей под 4% годовых.

 

 

 

Задача 2

 

Суммы в размере 10, 20 и 15 млн руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их при использовании простой ставки одним платежом в размере 50 млн руб. Процентная ставка —10%. Определить:

а) срок консолидированного платежа;

б) как изменится этот срок, если размер объединяющего платежа задан в сумме 45 млн. руб.?

Решение:

S1 =10млн.руб.

S2 =20млн.руб.

S3 =15млн.руб.

n1 =50дней

n2 =80дней

n3 =150дней

i  = 10%

1. Узнаем первоначальную сумму долга

 

 

 

 

Сумма долга составила 9,862+19,569+14,395=43,826млн.руб.

 

1. Находим срок консолидированного платежа

 

 

В днях 1,408*360=507 дней;

 

2. Как изменится срок консолидированного платежа, если размер объединяющего платежа задан в сумме 45 млн. руб.?

 

В днях 0,267*360=96 дней

 

Ответ:

1. При платеже в размере 50млн.руб. срок консолидированного платежа  составит 507 дней;
2. При платеже в размере 45млн.руб. срок консолидированного платежа составит 96 дней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

«Вечная» облигация, приносящая 4,5% фиксированного годового дохода, куплена по курсу 90%. Какова эффективность вложения (сложная ставка годового процента), если купонные выплаты по облигации производятся поквартально?

 

Решение:

1. Найдем поквартальную ставку. Для этого составим уравнение Ставка равна 1,25
2. Найдем эффективность вложения пол сложной процентной ставке

 

Ответ: Эффективность вложения составит 5,09%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

В начале года инвестор владел четырьмя видами ценных бумаг в следующих количествах и со следующими текущими и ожидаемыми к концу года ценами:

Ценная бумага	Количество акций	Текущая цена, долл.	Ожидаемая цена к концу года, долл.
A	100	50	50
B	200	35	40
C	50	25	50
D	100	100	110