Контрольная работа по "Финансовая математика"

 

Вариант 1

1. Клиент положил в банк $1000 на 3 года под 10% годовых. Определить сумму, возвращенную банком. Процент простой.

Решение. Сумма, которая будет в банке через год равна первоначальной сумме плюс проценты, начисленные за год.

S1 = 1000+1000 ∙ 0,1 = 1100

Сумма на счете в конце второго года будет равна сумме в конце первого года плюс проценты за второй год, проценты начисляются только на первоначальную сумму.

S2 = S1 +1000 ∙ 0,1 = 1200

В конце третьего года сумма составит сумма в конце второго года плюс проценты, начисленные на первоначальную сумму.

S3 = S2 +1000 ∙ 0,1 = 1300

Общая формула:

S = P (1 + ni) = 1000(1+3∙0,1) = 1300

2. Клиент положил в банк $2000 на 5 лет под 10% годовых. Определить сумму, возвращенную банком и величину начисленных процентов. Процент сложный.

Решение. Клиент положил в банк $2000 на 5 лет под 10% годовых. Определить сумму, возвращенную банком и величину начисленных процентов. Процент сложный.

Применим следующую формулу:

= K * ( 1 + P*d/D/100 )N

Где:

S - сумма депозита с  процентами,

К - сумма депозита (капитал),

P - годовая процентная  ставка,

N - число периодов начисления  процентов.

*(1+10*1095/365/100)1

Ответ: общая сумма, возвращенная банком равна 3221,02$, величина начисленных процентов равна 61 %.

3. Фирма берет в банке кредит в размере $10000 на срок с 20 января по 31 марта. Год невисокосный. Определить сумму, выплаченную банку, если по условиям кредита применяется точный процент и точная дата (английский метод). Процентная ставка 10%.

Решение. Так как дата точная, срок операции составляет 70 дней. Так как процент точный, то количество дней в году берется точно, т.е. 365.

S = 10000 (1+ 70/365 * 0.1) = 10191,78

Сумма, выплаченная банку, будет равна 10191,78$.

4. Клиент положил в банк $1000 на 2 года под 10% годовых. Определить сумму, возвращенную банком, при полугодовом начислении процентов.

Решение. Найдем по формуле:

= K * ( 1 + P/100 )N

Где:- сумма депозита с процентами,

К - сумма депозита (капитал),- процентная ставка,- число периодов начисления процентов.

*(1+10/100)2

Ответ: сумма, возвращенная банком равна - 1215,50625$.

5. Предприниматель может получить ссуду под 75% годовых при ежеквартальном начислении процентов, либо под 80% годовых при полугодовом начислении процентов. Какой вариант выгоднее предпринимателю?

Решение. Для ставки 75% годовых при ежеквартальном начислении процентов эффективная годовая процентная ставка равна:

Ie = ( 1 + 0,75/4)4 – 1 = 0,99

Эффективная годовая процентная ставка для ставки 80% годовых при полугодовом начислении процентов составит:

Ie = (1 + 0,8/2)2 – 1 = 0,96

Так как предприниматель берет ссуду, то он заинтересован в более низкой процентной ставке, т.е. второй вариант для него выгоднее.

6. С учетом реальной экономической ситуации в стране банк предлагает следующую систему процентных ставок по вкладам на год: первые 90 дней – 15%, вторые 90 дней – 20%, третьи 90 дней – 25% и последние 90 дней 30%. Величина вклада составляет 100000 руб. Определить сумму, накопленную по вкладу. Процент простой.

Решение. Накопленная сумма составит:

S = 100000(1 + 90/360 * 0,15 + 90/360 * 0,2 + 90/360 * 0,25 + 90/360 * 0,3) = 122500.

7. Банк взимает за выданную сроком на 5 лет ссуду в размере 10000 руб. 40% годовых по сложной ставке. Однако, с учетом большого срока ссуды он, начиная со второго года, устанавливает надбавку, которая возрастает за каждый год на 5%. Определить величину долга.

Решение. При указанных условиях ставка в 5% будет действовать в течение первого года, а затем начнет возрастать на 5% каждый год, т.е. за второй  год  ставка составит 10%, за третий год – 15, за четвертый – 20 и за пятый – 25%. Определим сумму в этом случае:

S = 10000(1+0,05)2(1+0,1)2(1+0,15)2(1+0,2)2(1+0,25)2 = 39695,58.

8. Владелец векселя номинальной стоимостью $500 и периодом обращения 1,5 года предложил его сразу банку для учета. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20%. Определить дисконт банка и сумму, полученную векселедержателем, при ежеквартальном начислении процентов.

Решение. Сумму, полученную владельцем векселя, определим по формуле сложной учетной ставки с внутригодовым начислением:

P = 500 (1-0,2/4)1,5*4 = 367,546

Дисконт определим как разность номинальной стоимости и суммы, выплаченной владельцу векселя:

D = S – P = 500 – 367,546 = 132,454

9. Определить сложную процентную ставку, эквивалентную простой процентной ставке в 10%. Срок вклада 2 года.

Решение. Данную задачу можно вычислить по формуле:

= [(1 + j / m)m n - 1] / n

((1+0,1/1)1*2-1)/2

Ответ: сложная процентная ставка равна 9,545%

10. Анализируемый инвестиционный проект будет приносить в конце каждого года следующие суммы: 1 год - $12000, 2 год - $15000, 3 год - $9000, 4 год - $25000. Имеет ли смысл инвестировать в данный проект, если величина вложения составляет $35000. Сложная процентная ставка 12%.

Решение. Для определения выгодности вложения необходимо найти приведенную стоимость будущих поступлений и сравнить ее с первоначальными вложениями. Найдем приведенную стоимость будущих поступлений по формуле приведенной стоимости потока постнумерандо (т. к. платежи поступают в конце года).

Ppst = (12000/1+0,12) + (15000/(1+0,12)2) + (9000/(1+0,12)3) + (25000/(1+0,12)4 ) = 44966,17

Так как полученная сумма больше первоначальных вложений, то вложение денежных средств выгодно.

11. Определить будущую стоимость потока постнумерандо с годовыми поступлениями $1000, сроком 5 лет и простой процентной ставкой 15% годовых.

      Решение. Находим по формуле каждый год и прибавляем поступления:

= K + (K*P*d/D)/100 

Где:

S - сумма банковского депозита  с процентами,

K - первоначальная сумма (капитал),

P - годовая процентная ставка,

d - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,

D - количество дней в календарном  году (365 или 366). 

+(1000*15*1825/365)/100 

Ответ: будущая стоимость потока будет равна 7753,73 $