Роль математики в современном естествознании

     Но  у учёного нет возможности  для бескрайнего фантазирования. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это может знать только математика, которая владеет расчётами на основе количественного описания явлений. Другие науки не могут устанавливать пределы возможного - той количественной меры, которая определяет вариантность изменений. Например, биолог не знает пределы возможного для жизни и познаёт её в диапазоне наблюдаемого.

     Т.к. абстракции математики отдалены от конкретных свойств, она способна проводить  аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области  реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью". Там, где конкретная наука останавливается, математика может переносить свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы.

     Однако  математическая наука лишает мир  многообразия, как выразился русский  математик И.Шафаревич она «убивает индивидуальность». Он пишет: «Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: "7 предметов". Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы"^». То есть счёт делает предметы равными.

     При описании математика выявляет только одну характеристику предмета и, отслеживая её вариации, выводит закономерность. На остальные характеристики не обращается внимание, т.к. они мешают исследованию. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

     Из-за того, что за одним свойством не видно других особенностей предмета или явления, Ю.Шрейдер называет математику пародией на природу. Но всё  не так плохо. Математика просто не может работать по-другому, и при таком подходе есть чёткая заданность исследования, когда нужно проследить «поведение» объекта на основе определённого свойства, проследить за изменениями и развитием и отобразить информацию в уравнениях, графиках, схемах.

     Другое  направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство Rⁿ, при n > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».[3]

     Математические  обобщения, которые развивались вне связи с практическими применениями, а просто для достижения логической гармонии, оказались очень удобным инструментом для осуществления грандиозной программы Эйнштейна. Отказавшись не только от представлений об абсолютности пространства и времени, но и от эвклидовой геометрии в качестве основы физики, Эйнштейн обратился к рассмотрению криволинейной четырехмерной римановой метрики. Это автоматически привело его к объяснению гравитационных эффектов и особой роли скорости света, которая представляет собой верхний предел логически последовательного применения скорости как физического понятия. Математики к этому времени уже постепенно привыкли к абстракциям такого рода, разрабатывая неэвклидову геометрию и ее различные модели.

     Используя математические методы исследования науки должны учитывать возможности математики, считаясь с границами ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод на язык количественных описаний не дает прироста информации.

     Итак, математика играет важную роль в качестве языка, особых методов исследования, источника представлений и концепций  в естествознании. 

     Математика  как специфический  язык естествознания.

     " ... Все законы выводятся из  опыта. Но для выражения их  нужен специальный язык. Обиходный язык слишком беден, кроме того, он слишком неопределен для выражения столь богатых содержанием точных и тонких соотношений. Таково первое основание, по которому физик не может обойтись без математики; она дает ему единственный язык, на котором он в состоянии изъясняться".

     Во  многих случаях математика  играет роль  универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений.

     Естествознание  все шире использует математику для  объяснения природных явлений. Есть несколько направлений математизации  естествознания:

• Количественные анализ и формулировка качественно установленных фактов и законов;
• Построение математических моделей, создание математической физики, математической биологии и т.д.
• Построение и анализ конкретных научных теорий, в том числе их языка.

     Естественный  язык оперирует качественными понятиями (характеризуют качества предметов  и явлений), математический язык отличается от него. Изучение новых вещей и явлений начинается с их качественного описания, затем образовывают сравнительные понятия, выражая интенсивность какого-либо свойства с помощью чисел. Когда интенсивность уже можно измерить, а это значит, представить в виде отношения данной величины к однородной величине, взятой в качестве единицы измерения, тогда появляются количественные понятия. Именно с ними часто связан прогресс в научном познании. Количественный язык развивает и уточняет обычный язык, основывающийся на качественных понятиях. Это значит, что количественные и качественные методы не взаимоисключающие, а взаимодополняющие.

     Количественные  язык и понятия стали осознанно  применяться после появления  экспериментального естествознания, до этого они использовались, но несистематически. Г.Галилей первый использовал язык количественных понятий вместе с экспериментальным методом исследования.

     Плюс  количественного языка математики в том, что он краток и точен. Сравнивать или измерять что-то в числах гораздо  проще, чем описывать словами. Символы жестко привязаны к значениям, не допуская разночтений, интерпретаций и объяснений. С этой целью используются такие математические методы как дифференцирование, интегрирование, функциональный анализ и другие.

     Еще одним преимуществом является то, что с помощью математического языка можно точно сформулировать количествнные закономерности, которые характеризуют изучаемые явления, и то, что точная формулировка законов и научных теорий на математическом языке позволяет применить богатый математический и логический аппарат при получении из них следствий.

     Все выше сказанное позволяет сделать  вывод, что в любом процессе научного познания язык качественных описаний и количественный язык математики сильно взаимосвязаны. Эта взаимосвязь ясно прослеживается в сочетании и взаимодействии естественно-научных и математических методах исследования. Чем лучше мы знаем качественные особенности явлений, тем успешнее можем использовать для их анализа количественные математические методы исследования, а чем более совершенные количественные методы применяются для изучения явлений, тем полнее познаются их качественные особенности.

     Математика  играет важную роль в естествознании. Назовем некоторые её функции:

• Функция универсального языка: язык, предназначенный для краткой, ёмкой и точной записи разных утверждений. То, что описано на математическом языке, можно перевести на обычный, но описание может оказаться слишком длинным и запутаным;
• Функция источника моделей, алгоритмических схем для отображения связей, процессов и отношений, из которых состоит предмет естествознания. Идеализируя исследуемый объект или явление, математическая модель или схема упрощает его и это позволяет выявить суть объекта или явления.

     Математическая  гипотеза – это метод естественно-научного познания, который основывается на повторении общих свойств реального мира, отраженных в математических формулах и уравнениях. В математической гипотезе к готовым математическим формам стараются подобрать конкретное содержание, подставляя в подходящее уравнение из смежных областей науки величины другой природы, а после этого проверяют на совпадение с характеристиками изучаемого предмета. С помощью этого метода Шрёдингер описал основные законы квантовой механики: приняв волновую гипотезу движения элементарных частиц, он отыскал уравнение, не отличающееся формально от уравнения классической физики колебаний нагруженной струны и дал его членам совершенно другое толкование(квантово-механическое). Так Шрёдингер получил волновой вариант квантовой механики. 
 

     Применение  математики в разных отраслях естествознания.

     Математика - наука о количественных отношениях действительности. Математика является междисциплинарной наукой, её результаты используются в естествознании и общественных науках.

     Известный математик, академик Б. Гнеденко, считая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция природы. Математические методы применяются в физике, химии, в высокоматематизированных отраслях биолигии и многих других науках. По мнению академика А.Н.Колмогорова, область применения математического метода не ограничена, но в разных отраслях естествознания роль и значение математического метода различны. Выявить качественную однородность групп объектов и явлений сложно, а математические методы как раз основываются на однородных объектах, которые можно количественно и структурно сравнить. Поэтому трудно получить математические формулы и уравнения для объектов естествознания. Чем более различны объекты и явления, тем труднее они поддаются математизации.

     Очень внушительный обзор мощных средств, которыми располагают сегодня физики благодаря изобретательной деятельности математиков прошлых столетий, представлен  в великолепном трактате Куранта  и Гильберта о методах математической физики. В этом труде ясно излагаются логические обобщения, оказавшиеся исключительно плодотворными не только для изучения разнообразнейших проблем в рамках классической физики, но и способствовавшие прояснению новых вопросов, с которыми мы столкнулись в ходе современного развития физической науки.

     Из  аналитической геометрии Декарта  возник очень удобный математический инструмент в виде дифференциального  исчисления, в которое сам Ньютон, в равной мере выдающийся физик и  математик, внес столь фундаментальный вклад.

     Это революционное развитие породило чрезвычайно  тесную связь между физическими  и математическими исследованиями; открытия в физике стимулировали  работу математиков, а математические абстракции и обобщения в свою очередь способствовали прояснению физических проблем. В качестве типичного примера можно вспомнить, как изучение явления теплопроводности побудило Фурье заняться разработкой гармонического анализа, который до наших дней остается важным разделом чисто математических исследований и в то же время оказывается все в большей степени незаменимым инструментом во многих областях физики. Также можно упомянуть взаимосвязь между фундаментальными результатами Фарадея в области электричества и магнетизма и теорией Максвелла электромагнитных полей, которая вызвала развитие таких математических дисциплин, как векторный и тензорный анализ, оказавшихся столь полезными во многих разделах физической науки.

     Математический  метод является основополагающим в  небесной механике, например, в учении о движении планет. Закон всемирного тяготения имеет очень простое математическое выражение и практически полностью определяет исследуемый в этой области круг явлений. Все результаты, которые были получены на основе математического метода, имеют высокоточное подтверждение в реальности.

     Дайсон  пишет: "Математика для физики - это  не только инструмент, с помощью  которого она может количественно  описать явление, но и главный  источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые  теории". Основная трудность исследования – это выбор предпосылок для математической обработки и истолкование результатов, полученных математическим путём.