Основные интерпретации понятия вероятности

Введение

   Данная работа посвящена широкому обзору основных интерпретаций вероятности. Известно, по крайней мере, шесть основных схем определения и понимания вероятности. Не все они в равной мере используются на практике и в теории, но, тем не менее, все они имеют за собой разработанную логическую базу и имеют право на существование. Целью данной работы является изучение этих определений, поиск различий, сходств и логических взаимосвязей между ними, определение границ применимости каждого, а также их достоинства и недостатки.

   Проблема определения вероятности имеет довольно долгую историю и вполне хорошо изучена за этот срок. Тем не менее, споры по этому поводу не утихают, и куда как не скоро появится возможность расставить все точки на i.

   В двадцатом веке понятие вероятности оказалось на пике философского внимания. Это было не случайно, а стало результатом того, что вероятностные суждения столь глубоко вторглись в различные теоретические системы эмпирических наук, что истолкование их смысла стало насущной проблемой для логика, методолога и естествоиспытателя, интересующегося мировоззренческим содержанием научных теорий.

    Теория вероятности в прошлом веке стала разделом математики, и с тех пор она чуть ли не каждый день находит все новые и новые области применения. Однако чем обширнее и разнообразнее применения, тем более сложной становится проблема интерпретации вероятности и смысла вероятностных суждений, тем труднее отыскать какую-либо одну интерпретацию, которая, отвечая основным требованиям логики и методологии, одновременно соответствовала бы обиходным интуициям, издавна связанным с этим понятием и его различным применением.

Существование же математической теории вероятности еще не дает оснований к тому, чтобы добиться единства взглядов относительно смысла вероятностных суждений повсюду, где они находят применение.

Область логической и философской проблематики, связанной с интерпретацией вероятностных суждений, огромна, и многие вопросы стоящие перед учеными и философами полвека назад актуальны и по сей день.

Основные интерпретации понятия вероятности

В этом реферате мы рассматриваем историю и логику, определения различных интерпретаций вероятности, а также сразу даем критику и анализ введенных конструкций.  

Классическая (или симметричная) интерпретация

Частотная (или статистическая) интерпретация

Аксиоматическая интерпретация

Вероятность как степень разумной веры

Вероятность как степень доверия

Логическая интерпретация

Диспозиционная интерпретация

Классическая (или симметричная) интерпретация

Первоначальные понятия и методы теории вероятностей возникли из рассмотрения ситуаций, которые складываются в азартных играх. Такие игры и их правила организованы таким образом, чтобы различные исходы оказывались равновозможными. Так, например, при бросании игральной кости выпадение каждой грани является одинаково возможным. Исходя из условий равновозможности, легко подсчитать вероятность событий, встречающихся в азартных играх. Для этого нет непосредственной необходимости обращаться к непосредственному опыту. Если, например, игральная кость изготовлена тщательно, то вероятность выпадения любого числа очков от 1 до 6 равна 1/6. Такой подход к определению вероятности подробно излагается Якобом Бернулли в его работе «Искусство предложений».

Наиболее последовательно классическая интерпретация была разработана П.С. Лапласом в работе "Опыт философии теории вероятностей". Лаплас определяет вероятность как отношение числа благоприятных исходов, к числу всех возможных, при этом различные исходы считаются равновозможными.

Таким образом, определение вероятности, согласно классической концепции, не предполагает обращения к эмпирическому исследованию. Бросая игральную кость, мы заранее полагаем, что выпадение любой ее грани одинаково возможно. Именно в связи с этой особенностью классическую интерпретацию нередко называют априорной.

Считается, что классическая интерпретация, основанная на установлении равновозможности различных исходов событий, не свободна от логических дефектов и имеет довольно ограниченную область применения. Действительно, равновозможность событий куда как не просто гарантировать, и проверить на практике соблюдается ли условие равновозможности или нет, не представляется возможным. Понятие равновозможности относится скорее к области идеального, вымышленного.

Другим слабым местом этой теории является порочный круг в определении вероятности. Действительно, вероятность определяется через равновозможность, которая при более тщательном анализе оказывается тождественной с равновероятностью, которая в свою очередь уже предполагает наличие определения вероятности1.

Чтобы справиться с этими трудностями, защитники классической концепции широко использовали принцип недостаточного основания (принцип индифференции), согласно которому два события считаются (но могут таковыми и не являться) равновероятными, если не имеется основания для предположения, что одно из них осуществляется скорее, чем другое.

Обычно исследователи считают принцип индифферентности продолжением старой классической концепции. Однако, кажется разумным все же разделить старую концепцию и концепцию с принципом индифферентности.

Получается, что если в первой интерпретации равновероятность была атрибутом самого объекта события (например, игральной кости), то в следующей она уже описывает характер нашего знания (или незнания) об объекте. То есть первая модель будет идеальной и объективной, а вторая - субъективной и гносеологичной. Этот момент почему-то обычно ускользает от критиков.

Принцип индифферентности, хотя и весьма удобен для математического подсчета вероятностей, но имеет весьма ограниченное применение. Фактически он может быть применен только к таким явлениям, которые имеют симметричные исходы. Эта симметрия может быть установлена на основании логических или физических соображений. Таким образом, хотя, как мы увидели, что две модели классической интерпретации различаются друг от друга, тем не менее, обе они имеют общую базу, под названием симметрия. Только в первой модели симметрия считается атрибутом объекта, а во второй - является нашим знанием о нем.

Считается, что применение принципа недостаточного основания для оценки гипотез может привести к противоречивым результатам. Так, вероятность того, что во Вселенной существуют живые организмы, можно оценить как 1/2, так как у нас нет достаточных свидетельств в пользу противоположной гипотезы. Руководствуясь принципом индифференции, мы должны приписать такую же вероятность гипотезе о существовании во Вселенной разумных существ. Однако считается, что вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше. Получаем парадокс.

На самом деле, против таких рассуждений можно возразить следующее.

Для простоты допустим, что мы строго определили понятия "живой организм" и "разумное существо", и доказали, что это не одно и то же.

Если судить о вероятности как о числе, равному отношению количества благоприятных исходов и количества всех исходов, то совершенно не ясно, как определять вероятность для бесконечного (пусть даже и счетного) числа исходов. Так, например, притом, что делимость на 4 является более сильным условием, чем четность, тем не менее, количество четных чисел равно количеству чисел, кратных четырем. Далее, то что "вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше" утверждение такое же спорное, как и интерпретация вероятности в качестве степени разумной веры. Если даже и принять данное утверждение как истинное, то, в силу принципа индифферентности, мы не можем таким грубым способом подсчитывать вероятности событий. Получается, что если вероятность существования живых организмов равна 1/2, то про вероятность существования разумных существ мы уже так сказать не сможем, так как уже есть некоторые основания, а именно наше утверждение ("вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше"), усомниться в равновероятности исходов и мы должны полагать лишь, что вероятность второго события меньше чем 1/2. Если же мы положим вероятность второго события равным 1/2, то опять-таки для первого утверждения мы уже не можем пользоваться принципом индифферентности, так как есть основания, в виде нашего утверждения ("вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше"), что сия вероятность должна быть больше, чем 1/2.

Таким образом, мы разрешаем данный парадокс, будем считать его лишь неумелым использованием принципа индифферентности.

Но тут мы приходи к новой проблеме. С какого высказывания стоит проводить рассуждения при вычислении или оценке вероятности. С более вероятного или менее вероятного?

Думается, что единственным выходом в данной интерпретации является независимое вычисление вероятности, то есть строго по своему определению, в нашем примере это будет 1/2 в обоих случаях. Утверждения же типа "вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше" в данной модели рассматриваться не должны, ибо имеют другую природу.

Попробуем еще немного прояснить принцип индифферентности и понять границы его применимости.

Рассмотрим еще один классический пример критики принципа индифферентности. "Допустим, что вы ничего не знаете о цвете какой-либо книги. Тогда шансы, что она синяя или не синяя, одинаковы и, следовательно, каждый равен 1/2. Точно так же шанс, что она черная, равен тоже 1/2. Следовательно, шанс того, что она синяя или черная, равен 1. Из этого следует, что все книги или синие, или черные, что абсурдно" [3].

На самом деле, мы не имеем права так пользоваться принципом индифферентности. Наше знание о том, что есть и другие цвета, кроме черного и синего, а также о том, что существуют и книги других цветов, будет причиной тому, что у нас будут достаточные основания, чтобы не считать равновозможными варианты, когда книга синяя или не синяя. В действительности, согласно тому же принципу индифферентности, вероятность того, что книга окажется синей, следует подсчитывать по следующей схеме.

Необходимо подсчитать или оценить, каких цветов вообще бывают книги. Или если мы этого сделать не можем, то хотя бы подсчитать количество цветов вообще и сделать предположение, что книги могут иметь каждый из этих цветов. Далее, если у нас нет знаний о том, что какой цвет используется для книг чаще чем другие, то как раз здесь у нас и появляется возможность применить принцип индифферентности. Получаем, что искомая вероятность будет равна 1/N, где N - число цветов, которые могут иметь книги. Еще раз подчеркнем, что это всего лишь субъективная вероятность.

Если же мы не знаем вообще ничего о существовании различных цветов (то есть понятие цвета для нас будет просто непонятной функцией с неизвестной областью значений), то вопрос «А синяя ли та книга?» для нас будет эквивалентен вопросу «А глокая ли та куздра?». И совершенно очевидно, что если мы и представления не имеем ни о глокости, ни о куздрах, то вероятность (для нас) того, что эта куздра будет глокой, будет равна 1/2. Однако, специалист по глоким куздрам может знать, например, тот факт, что глокие куздры довольно редки в природе и потому оценит эту вероятность по-другому.

Из этого примера видно, насколько субъективны и неточны подобные рассуждения. Однако, в случае отсутствия любой полезной информации, нам придется иметь дело только с такой интерпретацией.

Следует сказать также пару слов о взаимосвязи классической теории вероятности и механического детерминизма, развивавшегося примерно в то же время. Характерны высказывания того же Лапласа.

"Ум, которому были бы известны для какого-либо момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне с движениями легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверным, и будущее, так же как и прошлое, предстало бы перед его взором".

Таким образом, случайности отводится отнюдь не онтологическое место, а гносеологическое. Соответственно, вероятность события выступает не как объективная мера возможности события, а как характеристика знаний или даже веры человека.

Еще следует отметить, что классическая интерпретация говорит о вероятности отдельно взятого события (в то время как статистическая говорит о вероятности как о свойстве ряда событий).

Частотная (или статистическая) интерпретация.

Частотная, или статистическая, интерпретация вероятности уходит своими корнями еще в античную науку, хотя в явном виде эта концепция была разработана впервые в 1866 г. английским ученым Дж. Венном. Начиная с его работы «Логика случая», частотная интерпретация приобретает большую популярность среди статистиков. Что и не удивительно, так как большинство задач статистики нельзя свести к схеме равновозможных случаев, и, следовательно, использовать классическое определение вероятности.

Согласно частотной интерпретации, вероятность определяется через относительную частоту событий непосредственно, либо косвенным путем. Сам Венн определял вероятность как предел относительной частоты события при большом числе испытаний.

В качестве исходного понятия при этом берется относительная частота. Поскольку относительная частота определяется с помощью некоторой процедуры, то указанную вероятность нередко называют эмпирической.

Дальнейшее развитие эта интерпретации получила в 20-х годах в работах Р. Мизеса. Он существенно дополнил и изменил теорию Венна, и рассматривал теорию вероятностей как дисциплину, имеющую дело с бесконечными последовательностями результатов испытаний, удовлетворяющими специальным свойствам.

Сразу следует отметить, что никакого операционального определения для статистической вероятности дать нельзя, ибо помимо эмпирической процедуры при ее определении мы обращаемся к теоретическим допущениям.

Схематически процедура вычисления относительной частоты, служащей базой для статистической вероятности, такова: сначала очерчивают класс явлений, обладающих определенным свойством. Произведя опыты или наблюдая явление, мы можем подсчитать, сколько раз интересующее нас событие встречается в данной серии. Полученную относительную частоту можно считать оценкой истинной вероятности. Саму же вероятность подсчитать не удастся, так как она является пределом бесконечной последовательности относительных частот при увеличении объема выборки. Однако при достаточно большом объеме выборке считается, что относительная частота является хорошей оценкой вероятности.

Здесь справедлива аналогия с мгновенной скоростью. Мы не можем посчитать мгновенную скорость тела, мы не в состоянии ее даже оценить. Тем не менее, считается, что мгновенная скорость тела равна (или очень близка к) средней скорости тела за очень маленький промежуток времени. Однако, вполне вероятно, что движение тела состоит из крохотных квантов времени, в одни из которых тело стоит неподвижно, а в другие имеет сколь угодно большую (или даже бесконечную) скорость. В этом смысле определение мгновенной скорости является не более чем удобной договоренностью. Существует ли мгновенная скорость как метафизический объект и можно ли ее измерить - открытый вопрос.

Выше мы увидели, что вероятность является пределом последовательности относительных частот, однако существование этого предела теоретически не доказуемо и составляет серьезную проблему. На практике было установлено, что для многих массовых явлений относительная частота при большем числе наблюдений имеет тенденцию к устойчивости. Эта устойчивость частот массовых явлений представляет объективную закономерность, и поэтому она не зависит от воли и желания человека. Явления, обладающие устойчивой частотой, были известны еще в древнем мире и сейчас встречаются на каждом шагу - в вопросах страхования, демографии, в физической, биологической и социальной статистиках.

Практика показывает, что в случае возможности вычисления вероятности событий из соображений симметрии, то их относительная частота является весьма хорошей оценкой этой вероятности.

В общем же случае, когда точное значение вероятности из подобных соображений вычислить не удается, мы делаем индуктивное предположение о том, что относительная частота таких массовых, повторяющихся событий весьма близка к некоторому числу, которое и называют вероятностью. Таким образом, индукция совершенно необходима для частотной интерпретации, но поскольку всякая индукция есть выход за пределы известного, то этот шаг сопряжен с теоретическими трудностями.

Самая главная проблема частотной интерпретации - проблема тестификации. Как проверить, верно или не верно наше вероятностное суждение? В общем случае ни процедура верификации, ни процедура фальсификации здесь не работают.

Если рассматривать классы событий как множества конечной мощности, то тогда вероятностное суждение прямо бы говорило об арифметическом отношении мощностей двух классов. В таком случае вероятностное суждение верифицировалось бы простым предъявлением всех членов обоих классов и простым подсчетом.

Если же мы будем рассматривать бесконечные классы, либо бесконечное количество конечных статистических серий, то ни одно конечное число экспериментов не в состоянии ни окончательно подтвердить, ни окончательно фальсифицировать вероятностное суждение. Ибо нельзя теоретически исключать факта, что данная конечная серия произведенных экспериментов является флуктуацией, большим отклонением относительной частоты в данной серии от относительной частоты во всем бесконечном классе.

Единственным способом хоть какой-нибудь проверки правильности вычисления относительной частоты является неравенство Чебышева. Эта формула позволяет определить вероятность (опять-таки!) отклонения относительной частоты вычисленной по конечной серии от истинной. Причем это уже будет третья вероятность, вычисленная по аксиоматической интерпретацией и служащая нам в качестве четвертой - вероятности как степени разумной веры. Как видно, конструкция усложняется прямо на глазах...

Вторая важная проблема, связанная с частотной вероятностью, имеет логический характер. Очень трудно сформулировать условия, которым должны удовлетворять серии событий, чтобы к ним можно было применить частотную интерпретацию. Любые попытки сделать это приводили к жаркой полемике и вопрос этот и поныне открыт.

Разберем следующий пример. Каков шанс, что выбранное наудачу целое число окажется простым? Если мы возьмем все числа в порядке их следования в натуральном ряде, то шанс, в соответствии с его определением, равен нулю, так как число простых чисел меньших, либо равных n есть приблизительно n/log n, таким образом, относительная частота будет стремиться вместе с 1/log n к нулю. Но допустим теперь, что мы расставили целые числа в следующем порядке: сначала первые девять простых чисел, затем первое составное, затем вторые девять простых чисел, затем второе составное и т.д. Когда целые числа будут расставлены в такой последовательности, то шанс, что выбранное наудачу целое число - простое, будет равен 0.9. Можно расставить числа даже так, что бы этот шанс был равен 0.

Из этого примера можно сделать вывод, что частотная интерпретация должна применяться отнюдь не классам событий, а к их последовательностям.

В-третьих, нужно заметить, что частотная вероятность является характеристикой отношения между двумя классами событий и ни в коем случае не подходит в ситуации, когда мы имеем дело с неповторяющимися, единичными событиями. При таком истолковании теория вероятностей превращается в науку о количественных закономерностях массовых случайных явлений.

Аксиоматическая интерпретация

Данная интерпретация, имеет дело с идеальной математической реальностью. Существует масса аксиоматических теорий вероятности. Самая простая и вместе с тем общая теория была предложена А.Н. Колмогоровым в 1929 г., и является ни чем иным как частным случаем теории меры, опирающемся на понятия и методы теории множеств. В рамках аксиоматической теории само понятие вероятности не имеет развернутого определения. Оно рассматривается как не получившее определения исходное понятие, поставленное в условие системы аксиом.

Как и любая аксиоматика, данная интерпретация вероятности описывает формальные свойства этого понятия, но ничего не говорит о конкретной природе тех явлений, к которым применяется теория.

Собственно говоря, в данной интерпретации вероятность является функцией со значением в интервале от 0 до 1, определенной на некоторой сигма-алгебре событий и удовлетворяющей некоторым условиям. Однако, например, в действительности события могут и не составлять сигма-алгебру. Равно как и условия, накладываемые на функцию, на практике могут оказаться не верны.

Абстрактное понятие вероятности, хотя и является отображением определенных свойств эмпирически наблюдаемых частот, целиком не сводится к ним.

Тем не менее, математический аппарат теории вероятности широко и плодотворно применяется на практике в различных областях человеческой жизнедеятельности.

Вероятность как степень разумной веры

В 20-е годы с новой интерпретацией вероятности выступил известный английский ученый Дж. М. Кейнс. Критикуя классическую и частотную интерпретации, он стал рассматривать вероятность как степень разумной веры, которую мы приписываем высказыванию при точно фиксированных данных. «Термины достоверность и вероятность, - пишет он, - описывают различные степени разумной веры в высказывание, которое мы обязаны приписать ему при различном знании».

«Пусть наши посылки, - указывает Кейнс, - состоят из любого множества высказываний h, а наше заключение из множества a. Тогда, если знание h обосновывает разумную веру степени a, мы говорим, что существует вероятностное отношение степени a между h и a.

Таким образом, в интерпретации Кейнса, вероятность представляет логическое отношение между двумя множествами высказываний. Поэтому оно имеет аналитический характер, а не синтетический, эмпирический характер.

Важно отметить, что сам Кейнс подчеркивает объективный характер своей интерпретации вероятности. Хотя степень вероятности и меняется с изменением нашего знания, она характеризует отношение, независимое от сознания человека. «В смысле, важном для логики, - пишет Кейнс, - вероятность не субъективна. Она не является, так сказать, предметом человеческого каприза. Высказывание вероятно не потому, что мы думаем о нем так. Как только даны факты, которые определяют наше познание, то в этих обстоятельствах, что считать вероятным и невероятным, фиксируется объективно и не зависит от мнения. Теория вероятности является логической, таким образом, потому, что она имеет дело со степенью веры, которая является разумной при данных условиях, а не просто с фактической верой, которая может быть как разумной, так и не разумной».

Согласно Кейнсу, вероятности вообще не поддаются числовому измерению; те же вероятности, которые поддаются ему, образуют весьма частный класс вероятностей. Он считает, что одна вероятность не может сравниваться с другой, т.е. не может быть ни большей, ни меньшей, чем другая, ни может быть даже равной ей.

Добавим еще, что система вероятностной логики Кейнса получилась довольно громоздкой и неуклюжей.

Дальнейшее развитие данная концепция нашла в трудах английского геофизика Г. Джефриса. В своей фундаментальной монографии «Теория вероятностей» он доходит до полного отрицания частотной интерпретации, которой, по его мнению, в практической работе не пользуются сами статистики.

Заметим, что Поппер считает, что степень разумной веры характеризует не фактическую веру субъекта в высказывание, а некоторое логическое отношение между высказываниями. Она представляет иное название степени подтверждения, которое служит фундаментом современных теорий индуктивной логики.

Вероятность как степень доверия

Эта интерпретация, в отличие от предыдущей, рассматривает вероятностные высказывания как высказывания о действительных степенях веры субъекта в высказывание. Утверждение, в которое не верят полностью, но и не отвергают целиком, считается вероятным.

В явной форме эта интерпретация впервые была представлена английским ученым Ф.П. Рамсеем в книге «Основания математики».

Данная интерпретация удобна тем, что в ней непосредственно указывается практический способ вычисления вероятности. Так, например, Рамсей в качестве такого метода предложил систему, основанную на пари. Например, если заключается пари об утверждении, что «завтра будет дождь», то вероятность этого утверждения для меня оценивается наивысшей ставкой, которую я предлагаю в пари. Если ставки были соответственно 5:2, то вероятность будет равна 5/7. Данный метод хотя и имеет свои недостатки, но является базовой идей для дальнейшего развития других подобных методов.

Первый вопрос, возникающий в связи с субъективной вероятностью, касается практического применения этой концепции. Так, субъективная интерпретация находит плодотворное применение в теории решений. Можно сказать даже больше. Там, где мы имеем дело с прагматической оценкой деятельности человека, там мы неизбежно сталкиваемся с субъективной вероятностью.

Второй вопрос относится к определению места субъективной вероятности среди других ее интерпретаций. Известный итальянский ученый Бруно де Финнети считает субъективную вероятность единственно возможной, лежащей в основе всех других интерпретаций. Однако, если вслед за Финнети считать эту интерпретацию единственно допустимой в науке, тогда нельзя будет рационально объяснить существование устойчивости частот массовых явлений, которые служат основой для введения объективной или эмпирической интерпретации вероятности. Кроме того, субъективная вероятность не может объяснить многочисленные факты успешных предсказаний, которые делает современная наука, опираясь на статистические вероятностные представления.

Логическая интерпретация

Данная концепция трактует вероятность как характеристику суждения. Теорию логической вероятности наиболее полно изложил Р. Карнап в книге «Логические основания вероятности». В интерпретации Карнапа понятие вероятности рассматривается в качестве логической категории (категория индуктивной логики2); вероятность характеризует логическую связь между суждениями, а именно степень подтверждения гипотезы H данными свидетельствами E.

Таким образом, суждение «относительно данных E гипотезе H присуща вероятность p» является аналитическим, ибо оно ничего не говорит о мире, является независимым от эмпирической истинности E и H, хотя как E, так и H могут быть и преимущественно являются эмпирическими суждениями.

Например, относительно данных «в Париже насчитывается 5 миллионов жителей, в том числе 500 тысяч иностранцев» гипотезе «неизвестный нам гражданин, житель Парижа, является иностранцем» присуща вероятность 1/10.

Следует подчеркнуть, что в рамках этой концепции понятие вероятности не имеет ничего общего с понятием истинности. Приписывание гипотезе H степени вероятности p = 1 относительно каких-либо данных E не означает ее истинности, так как данные E могут быть ложными и тогда истинность гипотезы H логически не выводится, по той же причине вероятность p = 0 не означает ложности гипотезы H относительно данных E.

В этом отношении позиция Карнапа принципиальным образом отличается от взглядов Г. Райхенбаха, который интерпретирует вероятность суждений как степень (вес) их вероятности, а крайние значения вероятности (0 и 1) - как эквиваленты понятий ложь и истина. Между тем, согласно Карнапу, суждение «относительно данных E гипотеза H имеет вероятность p = 1» означает лишь то, что из данных обязательно следует (логически) гипотеза; в то же время суждение с вероятность равной 0 говорит лишь о том, что данные ни в коей мере не подтверждают гипотезу.

К недостаткам этой интерпретации, пожалуй, стоит отнести затруднение при количественной оценки степени подтверждения. Сам вопрос о возможности такой оценки спорен, хотя Карнап на него отвечает утвердительно.

Также критикуется и объективность данной интерпретации. Критики имеют ввиду следующее. Когда мы переходим от данных к гипотезе, то мы подразумеваем не любые данные, а данные, включающие все наши знания. Хотя и это утверждение спорно, но следующие рассуждения все же склоняют нас к некоторой не объективности Карнаповской интерпретации.

Понятие вероятности, согласно логической интерпретации, является категорией логики, а вероятностные суждения аналитическими, они ничего не говорят о мире - следовательно, не могут быть объективными, в том смысле, в каком объективны вероятностные суждения, в которых вероятность является категорией, характеризующей отношения между классами событий.

Диспозиционная интерпретация

Данная интерпретация предложена К. Р. Поппером в связи с переходом на индетерминистскую позицию в вопросах, касающихся микропроцессов. Согласно Попперу, вероятность не является свойством класса или серии событий, а определяет диспозиционные свойства некоторой опытной ситуации.

«Любая опытная ситуация может, если мы очень часто повторяем эксперимент, вызывать серию с частотами, зависимыми от данной конкретной ситуации. Эти частоты могут быть названы вероятностно. Но если вероятности оказываются в зависимости от опытной ситуации, то их можно трактовать и как свойство этой ситуации. Они характеризуют диспозицию этой ситуации, ее тенденцию вызывать определенные характерные частоты, когда эксперимент повторяется. Эта интерпретация отличается от частотной тем, что она трактует вероятность скорее как свойство физической ситуации, нежели как характеристику событий».

Поппер считает, что такая интерпретация позволяет говорить о вероятности единичных событий.

Диспозиционная интерпретация в отличие от статистической придает понятию вероятности онтологический статус, так как сама вероятность является неотъемлемым свойством той или иной объективной ситуации, не зависящей от нашего знания о ней.

«Диспозиционная интерпретация является метафизической. Точнее, она является метафизической в том же смысле, в каком метафизическим является понятие силы или поля сил в механике. Кроме того, она метафизична потому, что представляет собой программу физических исследований».

Сам Поппер связывал диспозиционную интерпретацию с позицией индетерминизма, однако, более поздние работы показали, что также возможна связь и с позицией детерминизма.

Применение различных интерпретаций вероятности в области анализа данных

Не секрет, что многие методы анализа данных, такие как прогнозирование, распознавание образов, анализ сцен и др., широко используют всевозможные вероятностные методы. Все они, так или иначе трактуют понятие вероятности, прямо или косвенно.

В этой части мы кратко рассмотрим, как употребляются те или иные интерпретации вероятности в методах анализа данных.

Рассмотрим классическую задачу прогнозирования. Имеется некий временной ряд параметров, скажем количество дождливых дней в году за последние сто лет. Требуется на основе имеющихся данных спрогнозировать значение параметров в следующий момент, в нашем примере - количество дождливых дней в следующем году. Для простоты примера, будем считать, что нас лишь интересует, будет ли год дождливым или засушливым.

Возможно, точный ответ на этот вопрос и реально дать, но это потребует анализа огромного массива не имеющихся у нас данных, а также глубоко разработанной теории. Так как ничего этого у нас нет, то приходится решать данную задачу вероятностно. Итак, мы пытаемся оценить вероятность того, что следующий год будет дождливым.

Если бы у нас не было бы никаких знаний о предыдущих год (были ли они дождливые или нет), то искомую вероятность следовало бы положить равной 1/2 (вследствие принципа индифферентности). Если же мы, в силу логического анализа или статистики наблюдений, знаем хотя бы, что засушливые года в этой местности редки, то такое предположение уже не обоснованно. (Как видно, в этих рассуждениях мы использовали классическую интерпретацию вероятности).

Самым простым способом посчитать искомую вероятность будет посчитать количество дождливых лет за всю известную нам историю и поделить его на общее количество лет, за которые у нас есть данные. Отметим еще раз, что полученная относительная частота является всего лишь приближенной оценкой искомой вероятности. С помощью неравенства Чебышева мы можем оценить, с нужной нам долей достоверности (вероятности), насколько далека наша оценка от истинной. (Эти рассуждения, разумеется, проделаны в рамках частотной концепции).

Существуют и другие способы решить эту задачу. Например, даже не имея никаких данных, мы можем обратиться к экспертам (например, к местным жителям). Мы просим их оценить вероятность искомого события, а потом составляем среднюю взвешенную оценку, расставляя веса по степени компетентности каждого из опрошенных экспертов. Какие же интерпретации вероятности тут задействованы? Сами эксперты могут пользоваться всевозможными методами, и мы даже не знаем какими. Они могут пойти по пути классической или частотной концепций, могут провести опрос общественного мнения (вероятность как степень доверия), могут попытаться обосновать ответ с некоторой точностью, используя известные им приметы (логическая интерпретация), а могут, также как и мы, обратиться к другим экспертам.

Итак, на выходе мы получаем набор различных оценок искомой вероятности, полученных с использованием совершенно разных интерпретаций вероятности. Далее, чтобы получить взвешенную усредненную оценку, нам требуется оценить компетентность каждого из экспертов. Компетентность эксперта будет влиять на то, насколько ближе будет итоговый результат к его оценке. Чем больше верим мы эксперту, тем ближе будет усредненная оценка к его собственной. Но по существу, компетентность эксперта мы не можем оценить другим образом, кроме как опять-таки вероятностно. Для нас его компетентность будет эквивалентна вероятности того, что он не ошибся со своей оценкой. (Здесь имеется ввиду вероятность именно единичного события; того, что именно в этот раз эксперт не ошибся.). Эту вероятность мы можем оценить опять-таки разными методами. Частотным, предполагая, что вероятностные свойства эксперта не изменились, мы анализируем, сколько раз в прошлом этот эксперт ошибался. Логическим, считая, например, что местные жители несколько лучше ответят на этот вопрос, чем приезжие. Можем попросить экспертов самим дать оценку друг другу и т.д.

В результате у нас получается сумма произведений компетентностей экспертов на их оценки искомой вероятности. Но, и компетентности экспертов и их оценки, как вероятности посчитаны в различных концепциях, в которых под вероятностью подразумевается различные объекты. Результат осложняется еще и тем, что мы не всегда даже можем знать, в какой парадигме работал тот или иной эксперт.

Имеем ли мы право, вот так, все сваливать в одну кучу или нет? В какой парадигме получится тогда усредненный результат? Какую интерпретацию этого результата предпочесть?

Прояснить эти вопросы, возможно, было бы проще, поняв не только различия между интерпретациями вероятности, но также их общую составляющую и взаимосвязь друг с другом.

Вопрос о взаимосвязи различных интерпретаций

Обычные работы, посвященные интерпретациям вероятности, носят сугубо аналитический характер. В них подробно излагаются идеи той или иной концепции, проводятся различия, очерчиваются границы применимости. При этом подразумевается, что для решения той или иной задачи вполне возможно пользоваться лишь одной интерпретацией. Некоторые исследователи выдвигают даже утверждения об универсальности той или иной интерпретации. Однако, с ростом количества работ посвященных данной теме, вопрос об универсальности какой-либо интерпретации остается открытым. Более правдоподобным кажется более позднее и менее категоричное утверждение Карнапа, что существует два понятия вероятности: вероятность1 - логическая, и вероятность2 - частотная. Так или иначе, в рассмотренных выше примерах мы увидели, что на практике не всегда возможно свести конкретную задачу к одной интерпретации. Это создает проблемы следующего характера.

Употребление нескольких разных конструкций под одной крышей требует наличие некоторых логических связок между ними. В противном случае можно задать правомерный вопрос о корректности - на каком основании смешиваются различные понятия и производятся операции с ними как с объектами одной природы? Думается, что назрела необходимость для синтетических исследований интерпретаций вероятности и попытки логически увязать их между собой.

Проблема эта не простая и требует аккуратного и последовательного изучения. Попытаемся сейчас наметить программу исследования этого вопроса.

Во-первых, надо очертить класс задач, утверждений, теоретических конструкций, в которых участвует или возможна более чем одна интерпретация. Для этого необходимо еще раз аккуратно пересмотреть все имеющиеся интерпретации, примеры их применения. Возможны такие случаи, когда вместо одного понимания вероятности возможно и правильно подставить другое. Тогда такие интерпретации на данном классе задач будут считаться эквивалентными.

Далее, в конструктах с двумя и более интерпретациями необходимо усмотреть логические переходы от одной интерпретации к другой. На основе чего, почему и как совершаются такие переходы? Могут ли такие переходы быть объяснены в рамках самих интерпретаций или же они требуют привлечения некоторых посторонних конструкций и предположений?

На полученном материале необходимо будет классифицировать полученные логические переходы от одной интерпретации к другой, выяснить, объективный или субъективный характер они имеют, могут ли они быть формализованы, являются ли эти переходы некоторым отношением на множестве интерпретаций. То есть провести аналитическую работу, подобную проведенной с интерпретациями вероятности, но уже с логическим переходами между ними.

Следующим этапом должна стать разработка некоторых программ-схем употребления различных интерпретаций в теоретических и практических задачах. Например, возможен следующий вариант вероятностного анализа данных - выдвижение гипотезы в классической концепции, проверка её в статистической и(ли) логической, и предсказание по диспозиционной. Но для того, чтобы это стало возможно, должны быть разработаны переходные связки - как от рассуждений в одной концепции перейти к рассуждениям в другой.

В центре внимания, прежде всего, должны оказаться вероятностные утверждения. Как мы видели, оценка их вероятности сама по себе зачастую вероятностна, как, в свою очередь и само это утверждение. То есть схема рассуждений сводится к следующему.

Имеется предложение А1 . Имеется предложение А2 , гласящее, что А1 имеет вероятность р1 . Имеется предложение А3 , гласящее, что А2 имеет вероятность р2 . И так далее. Регрессия может продолжаться до бесконечности.

Встает следующий вопрос - одна ли и та же интерпретация вероятности имеется здесь ввиду на месте р1 , р2 и всех других?

Рассмотрим пример. Суждение A1 =«Завтра будет дождь». Оно объективно проверяемо, стоит посмотреть завтра за окно. Однако, мы не можем быть уверены сейчас, будет ли дождь завтра или нет. Поэтому мы переходим ко второму, вероятностному утверждению. Суждение A2 =«вероятность того, что завтра будет дождь равна 9/10» означает то, что объективная (диспозиционная) вероятность выпадения дождя оценена на основе имеющихся данных посредством частотной интерпретации как 9/10. Тем не менее, само это суждение не является истиной, а лишь оценкой (так как данные, на основе которых делался прогноз заведомо не полные) и потому оно само лишь вероятно. Наше новое утверждение A3 =«вероятность того, что A2 верно равна 8/10».

Вероятность в каком смысле? Кажется, что здесь возможны различные интерпретации - логическая (так как наш переход от имеющихся данных к суждению о реальности индуктивен), опять-таки частотная (мы можем сделать наблюдения, что данный эксперт ошибается с оценкой в среднем один раз из ста), аксиоматическая (если мы решаем математическую задачу и оцениваем вероятность ошибки) и так далее.

На этом все не кончается. Наше новое утверждение A3 =«вероятность того, что A2 верно равна 8/10» не безусловно. И так далее. Получается бесконечный процесс.

Этот пример ярко демонстрирует потенциальную возможность в одних и тех же рассуждениях использовать различные интерпретации. Вопрос, который должен нас интересовать, это вопрос о корректности такого употребления понятия вероятности. Практическое использование и интуиции подсказывают, что такое использование корректно. Тем не менее, строгого логического исследования на данную тему нет.

Заключение

В работе изложены основные схемы интерпретации понятия вероятности. Приведены их анализ и возможная критика. Рассмотрены примеры применения различных интерпретаций на практике, в анализе данных. Поднимается вопрос о целесообразности исследования общих моментов и взаимосвязи между различными интерпретациями.

Литература

1. Закон, необходимость, вероятность. - М.: Прогресс, 1997.

2. Колмогоров А.Н. Основы теории вероятности. - М., 1994.

3. Рассел Б. Человеческое познание: его сфера и граница. - М.: Терра, 2001.

4. Философия и логика. - М.: Наука, 1994.

18