Анализ работы кассовых аппаратов в кондитерской лавке «Сладкий крендель»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

 

Кафедра «Высшая математика»                                                

 

 

 

 

 Анализ работы кассовых аппаратов в кондитерской лавке «Сладкий крендель»                   

                           

 

                                   

Выполнил:

студент гр. МА-91

Уразай Андрей

Проверил: д.т.н., профессор

Павский Валерий Алексеевич

 

 

 

 

 

 

 

 

Кемерово 2011

ОглавлениеВведение……………………………………………………………………………...3

Постановка задачи………………………………………………………………….5

Математическая модель…………………………………………………………....6

Расчеты и числовые результаты…………………………………………………..9

Анализ результатов……………………………………………………………….11

Расчет других вариантов…………………………………………………………11

Выводы…………………………………………………………………………….13

 

Введение

В современном мире существует множество услуг различных сфер - это кафе, супермаркеты, кинотеатры, парикмахерские, служба поддержки и т.д. Характерной чертой является ожидание – очередь. Казалось бы зачем человеку ожидать, когда наконец-то его обслужат, ведь он может спокойно развернуться и уйти (положить трубку) в тот магазин или кафе или в любое другое место, где его могут быстрее обслужить практически за те же деньги.

На самом деле проблема очереди актуальна для всех организаций, будь то коммерческая организация или какая-либо другая. Таким образом, если человек простоял в каком-нибудь супермаркете очередь довольно длительное время, то вероятность того, что он придет в следующий раз именно в этот супермаркет очень мала. Скорее всего, он выберет другой магазин.

Чтобы не было таких ситуаций в вашем супермаркет или кафе, имеют дело с теорией массового  обслуживания (ТМО).ТМО - это раздел теории случайных процессов, протекающих  во времени. Эта теория может быть использована для наиболее экономического проектирования любых систем, предназначенных для удовлетворения массового потока каких-либо заявок случайного характера.

В теории систем массового  обслуживания объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторых потребностей, например, покупка билета, получение материалов на складе. Во всех подобных случаях перед теорией встает, в сущности, одна основная задача: установить с максимально возможной точностью взаимную зависимость между числом обслуживающих устройств и качеством их обслуживания. При этом качество обслуживания в различных случаях, естественно, измеряется различными показателями. Разумеется, качество обслуживания во всех случаях тем выше, чем больше число обслуживающих единиц; однако столь же очевидно, что чрезмерный рост этого числа сопряжен с излишним расходом сил и материальных средств практически. Поэтому вопрос обычно ставится так, что сначала устанавливается необходимый уровень качества обслуживания, а затем находится минимальное число обслуживающих единиц, при котором этот уровень может быть достигнут.

Общей особенностью задач  ТМО является случайный характер исследуемых элементов. К основным элементам ТМО относят:

• Входящий поток. Для описания входящего потока обычно задается вероятностный закон, управляющий последовательностью моментов поступления требований на обслуживание и количеством требований в каждом поступлении. Требование, поступившее на обслуживание, может обслуживаться сразу, если есть свободные обслуживающие приборы, либо ждать в очереди, либо отказаться от ожидания, то есть покинуть обслуживающую систему.

• Дисциплина очереди. Это описательная характеристика. Требование, поступившее в систему, обслуживается в порядке очереди (дисциплина очереди): «первым пришел - первым обслужен». Другая дисциплина очереди - «последним пришел - первым обслужен» - это обслуживание по приоритету. Наконец, обслуживание требований может быть случайным.

• Механизмы обслуживания характеризуется продолжительностью и характером процедур обслуживания. Обслуживание может осуществляться по принципу: «на одно требование - один обслуживающий прибор». Если в системе несколько приборов, то параллельно могут обслуживаться несколько требовании. Часто используют групповое обслуживание, то есть требование обслуживается одновременно несколькими приборами. В некоторых случаях требование обслуживается последовательно несколькими приборами - это многофазовое обслуживание.

• Выходящий поток.

В нашем примере рассмотрим кондитерскую лавку «Сладкий крендель». Данная организация, на которой осуществляется процесс обслуживания, как и многие другие, сталкивается с проблемой существования очереди. В связи с этим, предприятие иногда не имеет возможности обслужить большее количество клиентов, в результате чего возникают финансовые потери.

Постановка  задачи

В кондитерской лавке  «Сладкий крендель» установлены 4 кассы. Среднее количество клиентов, приходящих в кафе за 1час, составляет 55 человек. Среднее время обслуживания одного клиента 4 минуты. Стоимость потерь, связанных с простаиванием посетителя в очереди, составляет 20руб / час. Потери от простоя кассы 3000 руб / час. Затраты организации на обслуживание 1 кассы составляет 300 руб/час. Кафе работает 12 ч. (с 9:00 до 21:00). Необходимо проанализировать эффективность работы кафе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическая модель

На СМО, состоящую из n=4 приборов, поступает поток случайных требований на обслуживание интенсивностью α=55.  Время обслуживания каждого требования случайное, с интенсивностью β=15. Если требование, поступившее в систему, застает все приборы занятыми, то оно встает в очередь и ждет до тех пор, пока прибор не освободиться. В каждый момент времени прибор может обслуживать не более одного требования. Требуется проанализировать СМО.

Обозначим Pk (t) – вероятность того, что в момент времени t в системе находится k-требований. Будем считать, что в начальный момент t=0 в системе не было требований.

1. - вероятность того, что все приборы свободны:

, ( );

2. - вероятность того, что из n приборов занято обслуживанием k приборов (то есть, в системе находится k заявок):

, ;

3. Õ - вероятность того, что все приборы системы заняты ( ):

;

4. - вероятность того, что все приборы заняты обслуживанием и s заявок в очереди:

, ;

 

 

5.  - среднее время, в течение которого требование ждет начала обслуживания:

;

6. вероятность того, что время ожидания в очереди больше среднего :

;

7. A – средняя длина очереди:

 или  ;

8. B - среднее число требований, находящихся в системе:

 или  ;

9. À₀ – среднее число свободных приборов

;

10. - среднее число приборов, занятых обслуживанием:

;

11. R – среднее число обслуживаемых требований:

;

12. - коэффициент простоя приборов:

;

13. - коэффициент загрузки приборов:

;

 

 

 

14.  - суммарные потери за отчетный период T:

,

= 20 руб/час - стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди, в единицу времени;

= 3000 руб/час стоимость потерь  за простой обслуживающего устройства  в единицу времени;

= 300 руб/час стоимость эксплуатации  прибора при обслуживании требований  в единицу времени.

Т = 1месяц = 30дней, смена 12 часов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчеты и числовые результаты

n=4, α=55, β=15. α/nβ=0,916<1

1. р₀=(1/0!*(3,6666)⁰+1/1!*(3,6666)¹+2/2!*(3,6666)²+1/3!*(3,6666)³+(3,6666)⁴* )^-1=(1+3,6666+6,722+8,2156+180,74*1/2)^-1=(109,9742)^-1 =0,009093 - вероятность того, что все приборы свободны
2. р₁ = (3,6666)1*1/1!*0,009093 = 0,03334

р₂ = (3,6666)2*1/2!*0,009093 = 0,061123

р₃ = (3,6666)3*1/3!*0,009093 = 0,0747044

5. р₄₊₀(0) = 0,068478

р₄₊₁(1) =  0,06277

р₄₊₂(2) = 0,057538

р(3) = 0,052743

р(4) = 0,048346

р(5) = 0,04432

р(6) = 0,04062

р(7) = 0,03724

р(8) = 0,03413

р(9) = 0,03129

р(10) = 0,02868

р(11) = 0,02629

р(12) = 0,02409

р(13) = 0,02209

р(14) = 0,02025

р(15) = 0,018561

р(16) = 0,17014

р(17) = 0,015596

р(18) = 0,14296

р(19) = 0,0131

р(20) = 0,012

р(21) = 0,011

р(22) = 0,0101

р(23) = 0,00925

р(24) = 0,00848

р(25) = 0,00777

 

6. t_ож = (0,82173)/4*15-55 = 0,16435
7. Р{τ> t_ож } = 0,361295
8. p_n = (α/β)ⁿ/n!*p₀,

p_n = 180,74/24*0,009093 =  0,068483

А = ((55/60)*0,068483)/(1-55/(4*15))² = 9,039733

9. В = 9,039733+0,03334+0,12225+0,22413+4*0,82173 = 12,70645
10. À₀ = 0,009093*(4+11+13,4444+8,216) = 0,33335
11. À_з = 4-0,33335 = 3,66665
12. R = 3,66665 – среднее число обслуживаемых требований
13. К_пр = 0,33335/4 = 0,08334
14. К_з = 3,66665/4 = 0,916
15. G_э = 12*30*( 9,039733*20+0,33335*3000+3,66665*300) = =360*(180,79+1000,05+1099,995) = 821100,6 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

Анализ результатов

Среднее число касс 3,66665, коэффициент загрузки 0,916 это делает простои минимальными. Средняя длина очереди 9,039733; вероятность  того, что время ожидания больше заданного 0,361295.

Суммарные потери составляют 821100,6 руб.

Расчет других вариантов

 

n=5

1. р₀ = 0,0209 - вероятность того, что все приборы свободны
2. р₁ = 0,0766

р₂ = 0,1405

р₃ = 0,1717

p₄ = 0,1574

3. П = 0,4328
5. р₄₊₀(0) = 0,1154

р₄₊₁(1) =  0,0846

р₄₊₂(2) = 0,06207

р(3) = 0,0455

р(4) = 0,0334

р(5) = 0,0245

р(6) = 0,018

р(7) = 0,01316

р(8) = 0,0096

р(9) = 0,007

р(10) = 0,0052

р(11) = 0,0038

р(12) = 0,0028

р(13) = 0,002

р(14) = 0,0015

р(15) = 0,0011

р(16) = 0,0008

р(17) = 0,0006

р(18) = 0,0004

р(19) = 0,00032

р(20) = 0,00023

р(21) = 0,00017

р(22) = 0,000125

 

6. t_ож = 0,0216
7. Р{τ> t_ож } = 0,28

 

8. p_n = 0,1154

А = 1,19

9. В = 4,8557
10. À₀ = 1,3333
11. À_з = 3,6667
12. R = 3,66667 – среднее число обслуживаемых требований
13. К_пр = 0,2666
14. К_з = 0,73334
15. G_э = 12*30*( 1,19*20+1,3333*3000+3,6667*300) = =360*(23,8+4000+1100) = = 1844568 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод

Во втором варианте суммарные  потери увеличились из-за простоя кассы, но снизилось время ожидания, длина очереди. Следовательно, поставив дополнительную кассу улучшится имидж организации из-за скорости обслуживания, но это приведет к большим денежным потерям организации, так что наиболее целесообразно иметь в пользовании 4 кассовых аппарата. Все это в совокупности поможет «Сладкому кренделю»  эффективно работать и занять экономически более выгодную позицию в среде конкуренции.