Волновой генетический КОДудк

  

На рис.1 и  рис. 2 кинки имеют форму пиков  “горных гряд”, а не ступенек, поскольку  взята производная от функции  уравнения синус-Гордона. Здесь горизонтальная ось - последовательность ДНК, верти-кальная - амплитуда солитона. Ось на зрителя - время. Видно, как при изменении места инициации солитона на определенных последо-вательностях полинуклеотида заметно меняется динамика этой уеди-ненной волны в форме ее колебательных движений вдоль цепочки ДНК.  

Исследуемый район  молекулы богат функционально (и семантически) биологически значимыми участками, и мы вправе ожидать, что они, эти участки, будут изменять, модулировать, то есть вводить ДНК “текстовую” информацию в солитонную волну как в переносчик генетических сообщений. Такая модуляция колебательной структуры солитонов отчетливо наблюдается на приведенных графиках. Можно полагать, что спектральный состав частот колебаний солитонов является одним из механизмов преобразования текстовых структур ДНК и РНК в волновую форму и средством передачи генетических и иных сообщений в одномерном пространстве вдоль цепочек полинуклеотидов и (или) в трехмерном измерении генома как отдельной клетки, так и тканевого континуума биосистемы. 

  

400-ый 

  

Рис.1 

Влияние нуклеотидной последовательности ДНК на динамику конфор-мационного возмущения уединенной (солитоноподобной ) волны. Последо-вательность нуклеотидов - вирус саркомы птиц (первые 600 пар оснований). Центр возмущения - 400-ый нуклеотид. 
 
 

450-ый 

  

Рис.2 

То же, что  на рис.1, но центр возмущения цепочки ДНК на 450-ом нуклеотиде. 

Так работает компьютерная модель динамики солитонов, в определенной мере развитая Салерно после ее выдвижения Инглендером. Салерно дал формализм, описывающий вращательные колебания  нуклеотидов молекулы ДНК, для того чтобы объяснить экспериментальные данные по водородно-тритиевому обмену в ДНК. Согласно этой модели по Инглендеру, в цепи ДНК могут возникать (под воздействием теплового шума) и распространяться открытые состояния (“плавление” двойной спи-рали ДНК на коротких участках, обогащенных АТ-парами ) в виде локализованных дислокаций ( уединенных волн). Марио Салерно, про- должая работу Инглендера, в упрощенном варианте выявил влияние последовательности нуклеотидов на нелинейную динамику вращательных колебаний нуклеотидов на однотяжных участках ДНК, образующих такие открытые ("open state") области. Позднее Якушевич, Федянин, Хомма и др. рассмотрели различные обобщения модели Инглендера, с оценкой особенностей строения ДНК, учитывая обрыв водородной связи при открытии оснований, парность цепи ДНК и другие степени свободы, отличные от вращательных. Однако, в указанных работах недостаточно сказано о причинах возникновения дислокаций в ДНК. Мы предлагаем возможный механизм этого процесса в ДНК, альтернативный гипотезе Инглендера о воздействии теплового шума как причины раскрытия пар оснований. Мы считаем, что дислокации на ДНК могут возникать при изменении периода спирали ДНК (основная часть идеи принадлежит М.Ю.Маслову). 

В нашей модели нуклеотиды ДНК рассматриваются  как осцилляторы, подвешенные на невесомом нерастяжимом стержне; сахаро-фосфатная связь между соседними нуклеотидами в цепи моделируется линейными пружинами; спирализация вдоль цепи не учитывается; водородные связи между комплементарными основаниями моделируется “гравитационным” потенциалом. Гамильтониан по М. Салерно выглядит следующим образом: (1) 

где: - углы вращений нуклеотидов в разных цепях, - константы  упругости вдоль цепей, - число  пар в цепи, - момент инерции оснований, - константа упругости водородных связей между комплементарными основаниями.  

Коэффициенты  в уравнении (1) определяются в соответствии с правилом:  в случае АТ и ТА пар,  в случае ГЦ и ЦГ пар;  - параметр, определенный Федяниным и  Якушевич и полученный на основе модели синус-Гордона и экспериментальных данных. Далее для упрощения модели считается, что  

Уравнения движения для разности , полученные из (1), имеют  по М. Салерно вид: 

(2) 

где произведена  замена . 

В случае , в системе (2) можно перейти к безразмерному  дифференциальному уравнению синус-Гордона: 

, (3) 

”непрерывный  аналог” системы (2). Это уравнение  имеет солитонные решения, в частности, односолитонное решение, или кинк, соответствует  дислокации в цепи. 

Основным предположением моделей Инглендера-Салерно является то, что взаимодействие между комплементарными основаниями описывается потенциалом (4), в котором не учитывается обрыв водородной связи. 

В нашей работе рассматривается следующий потенциал : 
 
 

Кроме того, учитывается  вязкость водной среды (в воде вязкость ~ 1). 

Рассматриваются также факторы, приводящие к спирализации ДНК, при этом они считаются внешними силами, задаваемыми потенциалом 
 
 

где  - период спирали. 

Уравнения (2) с  потенциалом и с учетом вязкости принимают вид: 

(5) 

Известно, что  период спирали ДНК меняется в  зависимости от влажности. В частности, для кристаллической ДНК , а в водной среде  - в пределах от 10. 3 до 10. 6. Именно этим фактором обусловлено явление суперспирализации. При изменении шага спирали в цепи ДНК (с фиксированными или замкнутыми концами) возникает напряжение, связанное с недостатком (избытком) количества витков спирали до релаксированного состояния. Если , то при переходе из сухого в увлажненное состояние для цепи длиной в 300 пар оснований возникнет избыток в  витка. 

В нашей работе на основе результатов численного моделирования, представленных ниже, выдвигается следующая гипотеза: изменение шага спирали может привести не только к суперспирализации, но и к локальному распариванию цепи ДНК. Кроме того, при суперспирализации напряжение в цепи снимается не полностью, поэтому локальное распаривание, вероятно, может происходить и одновременно с суперспирализацией. 

Система (5) численно интегрировалась в интервале  с шагом . Начальные условия следующие: 
 
 

Период спирали  в системе (5) длина poly(A)-цепи - 300 пар оснований. То есть параметры периода спирали в начальных условиях и в системе (5) различны. Таким образом смоделирован перенос ДНК из кристаллического состояния в увлажненное. 

Граничные условия  следующие (назовем их “квазициклическими”): 
 
 

Особенностью  данной модели является то, что при  переходе из состояния с периодом в 10 пар в состояние с периодом в 10, 5 пар почти вся цепь оказывается  денатурированной (“расплавленной”). Приведенные ниже результаты описывают  процесс ренатурации такой цепи с возникновением дислокаций. 

В этих экспериментах  варьировались параметры: 1) диссипация  2) отношение параметров упругости  3) угол обрыва водородных связей . 

На рис. 3 и 4 представлены результаты численного интегрирования системы (5). Показана не сама функция , а разница , поскольку область изменения функции (приблизительно от  до ) велика по сравнению с характерными изменениями в системе (приблизительно от 0 до 9). Горизонтальная часть графиков соответствует нераспаренному участку цепи с периодом спирали . Наклонная часть графиков на рис. 3(a), 4(а) соответствует дислокации. 

Можно сделать  следующие выводы: 

1) Способность  к образованию дислокации в  этой модели сильно зависит  от . При  дислокация возникла  во всех рассмот-ренных случаях.  

2) Способность к образованию дислокации также сильно зависит от параметра. Во всех случаях, когда параметр велик (  

на рис. 1.а, 2.а ), дислокация возникла. В пользу этого  утверждения также свидетельствует  сравнение рис. 3(а) и 4(г). 

Как показывают дополнительные расчеты, влияниена эффект проявляется в меньшей степени. Дислокация образуется или не образуется вне зависимости от значения  ( или ). При больших значениях  дислокация образуется медленнее, чем при меньших. 

3) На рис. 3(а), 4(в,г) видно, что дислокация  имеет кинкообразную форму. 

Ширина дислокации зависит от параметров  (чем больше , тем меньше ширина дислокации) и  (чем больше , тем меньше ширина дислокации). 

Развивая дальше модели солитонных возбуждений в  ДНК (совместно с М.Ю.Масловым и  др.) мы использовали условия, при которых цепочки ДНК моделируются набором ровибронных осцилляторов, подвешенных на невесомом нерастяжимом стержне; для простоты спирализация цепи не учитывается, а ровибронные степени свободы одной из цепочек считаются “замороженными”. 

В этом случае гамильтониан для “активной” цепочки записывается в следующем виде:  

  

H=H0+H1+H2 

(1) 

где: - число пар  оснований в цепи;  - гамильтониан, описывающий собственные осцилляции мономеров ( - углы вращения нуклеотидов  в цепочке, - момент инерции оснований);  - гамильтониан , характеризующий нелинейно-периодическую связь между осцилляторами (- константа упругости цепочки, ),  - гамильтониан, 

(а) 

(б) 

  

а)x0=200 б)x0=250 

Рис.3 

 в)  г)  

  

в) x0=300 г) x0=350 

Рис. 4 

описывающий нелинейную связь между “активной” и “замороженной” () цепочками ДНК (- константа упругости водородных связей между комплементарными основаниями, коэффициенты  в уравнении (1) определяются в соответствии с правилом:  в случае АТ и ТА пар,  в случае ГЦ и ЦГ пар; - параметр, полученный ранее (см. выше) и определяемый на основе модели синус-Гордона). 

При малых  гамильтониан, что совпадает с соответствующей  частью общего гамильтониана, использованного  ранее (см. выше). В этом случае уравнения  движения для , полученные из (1),  

  

имеют вид: 

(2) 

где произведена  замена . 

В случае  в  системе (2) можно перейти к безразмерному  дифференциальному уравнению синус-Гордона: 

, (3) 

”непрерывный  аналог” системы (2). Это уравнение  имеет солитонные решения, в частности, односолитонное решение, или кинк, характеризующий динамику распространения дислокации в цепи. 

В соответствии с (1) система нелинейных уравнений  движения записывается следующим образом:  

(4) 

Как видим, системы (2) и (4) существенно различаются. Отметим, однако, что проведенное нами численное моделирование динамики систем (2) и (4) показало следующее: если в качестве начальных условий для численного интегрирования (2) выбрать односолитонное решение его “непрерывного аналога” (3) - кинк (см. выше), то обнаруживается принципиальное сходство в характере решений. 

Однако, при задании  начальных условий в следующем  виде: 

(5) 

где  - ”ступенчатая”  функция с высотой ступени  и углом наклона уступа A, выявилось  различие динамики данных систем (срав. рис.1 и 2,3). Более точно, системы (2) и (4) численно интегрировались методом Рунге-Кутта четвертого порядка с начальными условиями, заданными в виде (7), в интервале  с шагом . Граничные условия - “квази-циклические”: 
 
 

(поли-A-последовательность). Параметр системы . Варьировался параметр A (угол наклона уступа функции ). 

Численное интегрирование системы (2) ( рис. 1) показало, что образуются две уединенных волны, движущихся справа налево по цепи с постоянной скоростью. Первая волна имеет форму квазикинка, а вторая волна имеет форму квазибризера, причем скорость первой волны превосходит таковую для второй. Обе волны за счет “квазициклических” граничных условий, доходя до левого конца, появляются на правом конце без изменения своей формы. Квазикинк, проходя по цепи маятников, изменяет координату каждого маятника на угол (маятник делает полный оборот). Поэтому, проходя по замкнутой цепи маятников К раз, он изменяет координату каждого маятника на угол  Этим объясняется “уступообразная” форма графика на рис. 1. 

На рис. 2 представлены результаты интегрирования системы (4) при тех же условиях. Из рисунка видно, что образуются те же две уединенных волны - квазикинк и квазибризер. Но принципиальное отличие от рассмотренного случая состоит в том, что квазикинк в самом начале движется с отрицательным ускорением, так что в результате его скорость оказывается меньше скорости квазибризера. Заметим, что исследования проводились на однородной поли-A-последовательности; так что изменение скорости квазикинка нельзя объяснить влиянием неоднородности цепочки. Этот эффект объясняется нелинейным взаимодействием между ее мономерами. 

Рис. 3 иллюстрирует результаты интегрирования системы (4) при тех же условиях за исключением  того, что A=2. В данном случае реализуется  только квазикинк и его отрицательное ускорение в начале движения таково, что в результате он движется в направлении, противоположном первоначальному. При интегрировании системы (2) в аналогичных условиях также образуется только квазикинк. Его скорость не меняется по сравнению со случаем рис. 1.