Основы теории управления

.

Если в схеме на рис.3.1.б вместо ZОС включить конденсатор С, а вместо Z  включить резистор R  (рис. 3.3.а) , то в соответствии с (1.1) получим интегратор с инвертированием, у которого

,

где    ,   ТИ = СR  -  постоянная времени интегратора.

Если перед интегратором включить инвертор, то получится интегратор без инвертирования, у которого  .

Рис. 3.3  Схемы интегратора (а) и дифференциатора (б)

 

Дифференциатор

В дифференциаторе выходной сигнал связан с входным соотношением:

,

откуда  Y(p) = kД pX(p) , 

где  k Д = Т Д ,  Т Д - постоянная времени дифференциатора.

Передаточная функция дифференциатора

.

Если в схеме на рис. 3.1.б вместо ZОС включить резистор R, а вместо Z включить конденсатор С (рис. 3.3.б), то в соответствии с (1.1) получим дифференциатор с инвертированием

WД (p) = - p C R = - k Д p , 

где k Д= Т Д= С R  -  постоянная времени дифференциатора.

При необходимости инверсию можно устранить, включив последовательно с дифференциатором инвертор, у которого W(p) = -1. Тогда получим  WД(p) = k Д p.

 

Инерционное звено

В инерционном или апериодическом звене выходной сигнал связан с входным соотношением           

  ,

откуда  Y(p) = k X(p) - p T Y(p)  ,                                                                (1.3)

где  Т - постоянная времени звена.

Передаточная функция инерционного звена следует из (1.3)

.                                                   (1.4)

Если в схеме на рис. 3.1.а вместо R2 конденсатор С, а вместо R1 включить резистор R (рис. 3.4.а), то в соответствии с приведенными на рис. 3.4.а  обозначениями получим

Рис. 3.4.  Схемы инерционного звена (а) и дифференцирующей цепи (б)

 

u = u1 + u2 ,  u1 = i R ,  .

Тогда  U(p) = U1(p) + U2(p) = I(p) R + I(p) .

По определению W(p) = .

После сокращения числителя и знаменателя на  рС  получим

W(p) =

,

где  Т = RC - постоянная времени.

 

Дифференцирующая цепь

Схема дифференцирующей цепи приведена на рис. 3.4.б. Изображение по Лапласу напряжений на элементах схемы UС(p) = ZС(p) I(p), следовательно получим:

По определению    .

Умножив числитель и знаменатель на   рС, получим:

,

где  T = RC - постоянная времени RC-цепи.

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение, следующее из соотношения:

,

откуда                                         .

Здесь  y(t)=uR(t) ,  x(t)=u(t).

 

Форсирующее звено

В форсирующем звене первого порядка выходной и входной сигналы связаны соотношением  .

Тогда   .

По определению   .

 

Корректирующее звено с отставанием по фазе

Схема корректирующего звена с отставанием по фазе приведена на рис. 3.5. Это звено называют также пропорционально-интегрирующим фильтром. Сигналом u2(t) в этом звене является напряжение на цепи R2 С.

Рис. 3.5  Схема корректирующего звена с отставанием по фазе

 

По определению      ,

 где     .

Получим .

Удобнее это выражение представить в виде:

, где   Т = R2 C,     .

Корректирующее звено с опережением по фазе

Схема корректирующего звена с опережением по фазе приведена на рис. 3.6.а. Это звено называют также пропорционально-дифференцирующим фильтром. Выходным сигналом u2(t) в этом звене является напряжение на резисторе R2.

Рис. 3.6 Схема корректирующего звена с опережением по фазе

 

По определению ,

где  U2(p) = I(p) R2 ,  U(p) = U1(p) + U2(p) = I(p) .

Тогда получим: ,

где  .

 

 

Решение

Передаточная функция исходной части разомкнутой САУ без учёта КЗ и МОС равна:

Т.к. в передаточную функцию WРИ входит четыре инерционных звена первого порядка и интегратор, а гарантированно устойчивой является система только с двумя инерционными звеньями, поэтому для обеспечения качественных показателей САУ понадобится включить как минимум два корректирующих звена. Для упрощения расчётов возьмём два корректирующих звена с одинаковыми параметрами.

Общая передаточная функция последовательно соединенных корректирующих звеньев имеет вид:

 

                                                                           (1)

Обходимо определить: .

С учетом корректирующих звеньев передаточная функция разомкнутой системы равна:

     ,        (2)

 

где                                                                                         (3)

 

Коэффициенты ошибок по положению, скорости и ускорению равны:

             ;          ,

где  р – символ дифференцирования.  

          

Т.к. в состав системы входит один интегратор, то порядок астатизма системы ν =1.

При ν =1 получим: ,

 

где

b1- коэффициент при первой степени p знаменателя Wp

d1- коэффициент при первой степени p числителя Wp

 

 

 

 

 

Необходимо проверить условие

Частота среза разомкнутой системы:

,

где по условию , Dj=.

Условие 71,42≥1,5×48,75 не выполняется, следовательно, берем

К=48,75×1,5=73,125

 

 

 

 

 

Получим первое уравнение из системы 2-х уравнений, решив которую найдем Т1 и Т2:

.

Если то требуется корректирующее звено с отставанием по фазе.

Найдем второе соотношение между и из ЛАЧХ разомкнутой системы:

 

 

В нашем случае <, значит частота среза ЛАЧХ разомкнутой системы определяется только интегратором и двумя КЗ.

Построим ЛАЧХ разомкнутой системы, так как в состав системы включены 2 корректирующих звена с отставанием по фазе, то, кроме частоты среза, требуется отметить по оси абсцисс частоты сопряжения корректирующих звеньев:

;    

 

 

ЛАЧХ интегратора, входящего в состав системы, представляет собой прямую с наклоном -20 дБ/дек на всей частотной области, одно корректирующее звено имеет наклон -20 дБ/дек на участке () ,при двух КЗ с одинаковыми параметрами их ЛАЧХ суммируются (наклон - 40 дБ/дек). Результирующая ЛАЧХ получается геометрическим сложением всех ЛАЧХ устройств, входящих в САУ. На участке () наклон ЛАЧХ получается -60  дБ/дек.

Рис.4 ЛАЧХ разомкнутой системы автоматического управления

 

До частоты w1 ЛАЧХ  системы определяется только интегратором:

1)

На участке ():

2) 

На участке ()

3)   ,

т.к. =0, то после подстановки первого и третьего выражения во второе получим:

/ 20

=> Второе соотношение имеет вид

Для нахождения Т1 и Т2 решим систему уравнений:

Решив систему, были получены следующие значения:

Т1 =5,85

Т2=4,78

Выполняется условие следовательно, требуется корректирующее звено с отставанием по фазе.

Первое корректирующее звено включим после углового различителя, в его состав включим усилитель с коэффициентом kкз

Рис.5 Схема корректирующего звена

 

Необходимо рассчитать параметры схемы:

Коэффициент передачи усилителя:

Пусть R=1000 Ом, тогда

 = 1000×(18,28-1) = 17280 Ом = 17,2 кОм  

                  

 Пусть С=100  мкФ, тогда при решении данной системы получим:

R1 = 10,7 кОм

R2 = 47,8 кОм

Второе звено включим по схеме включения через местную обратную связь, охватывающую звенья системы с нестабильными параметрами: усилитель мощности, электродвигатель и антенна. Такое включение повышает стабильность параметров охваченных обратной связью звеньев.

Передаточная функция МОС определяется по формуле:

,   где    

- передаточная  функция звеньев, охваченных обратной связью,

- передаточная функция второго корректирующего звена без усилителя.

Если , то до передаточную функцию можно определить по приближенной формуле .

 

Тогда ,

где =1,34×10-3

 

Передаточную функцию W0 реализуем последовательным соединением тахогенератора, дифференцирующей цепи с постоянной времени T2 и усилителя с коэффициентом усиления kУС.

  Передаточная функция местной обратной связи имеет вид:

=

 

Передаточная функция тахогенератора:

Он должен преобразовать механический сигнал поворота антенны в электрический. Это реализуется с помощью дифференцирующей цепи.

Рис.6 Схема дифференцирующей цепи

 

                     

Схема МОС реализуется последовательным соединением тахогенератора, дифцепи с постоянной времени T2 = R2×C и усилителя с передаточной функцией:

 

Рис.7 Общая функциональная схема МОС

 

 

Полагаем, что Rм = R, тогда:

,  следовательно Ом

 

Фактические запасы устойчивости системы по амплитуде и фазе по точным ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Точное выражение для ЛФЧХ разомкнутой системы выглядит следующим образом:

 

            2 корректирующих звена             РПУ, УР, УМ  

 

 

 

Графическое представление ЛФЧХ:

Рис. 8 График ЛФЧХ

 

Полагаем, что два корректирующих звена включены последовательно (поскольку МОС была эквивалентно пересчитана).

 

Точное выражение для ЛАЧХ представляется в следующем виде:

 

  

  интегратор    2 корректирующих звена      

 

 

 

Графическое представление ЛАЧХ:

 

Рис. 9 График ЛАЧХ

 

 

Графическое представление ЛАЧХ и ЛФЧХ:

 

 

Рис. 10 График ЛАЧХ и ЛФЧХ

 

 

 

Определим частоту на которой fр равняется –π:

 

тогда

Определим частоту на которой Lр равняется нулю:

тогда

Wср ≈ 43.011

Запас устойчивости по фазе определяется след. образом:

Запас устойчивости по усилению определяется:

 

Запас устойчивости по колебательности (фактический) определяется:

 

 

Функциональные схемы КЗ и МОС

 

 

 

Рис. 11 Функциональная схема корректирующего звена (КЗ):

 

 

 

 

Рис. 12 Функциональная схема местной обратной связи (МОС):

 

Билинейное Z – преобразование

Стандартное и билинейное Z – преобразование

Так же, как от дифференциальных уравнений можно перейти к разностным уравнениям, от передаточных функций аналоговых систем W(p) можно перейти к системным функциям W(z).

Этот переход можно сделать двумя способами:

× с помощью стандартного Z - преобразования,

× с помощью билинейного Z - преобразования.

При использовании стандартного Z - преобразования переход от W(p) к W(z) осуществляется заменой

, т.е.

                                     (1)

Обратный переход делается по правилу

.                                       (2)

Указанные переходы следуют из прямого z = epT  и обратного  выражений, связывающих ДПЛ и Z - преобразования.

Переход от W(p) к W(z) с помощью стандартного Z-преобразования обеспечивает высокую точность, но в результате вместо дробно-рациональных функций получаются выражения с трансцендентыми функциями, что очень неудобно для выполнения различных математических операций над ними.

От указанного недостатка свободен переход от W(p) к W(z) и обратно с помощью билинейного Z-преобразования. Это преобразование приближенное, но при этом сохраняются дробно-рациональные функции в выражениях W(p) и W(z).

При билинейном Z - преобразовании используется разложение в степенной ряд функции

.

Ограничившись первым членом ряда, получим

.                                                (3)

 

Обозначим               , откуда .

 

Тогда (3) перепишем в виде

.

Т.к. z = epT , то ln z = pT. Приравняем правые части и получим приближенную линейную связь между p и z

                                                (4)

Из (4) следует обратная связь между  z и p

.                                             (5)

Тогда переход от W(p) к W(z) с помощью билинейного Z- преобразования осуществляется по формуле

.                                   (6)

Обратный переход от W(z) до W(p) осуществляется по формуле

.                                (7)

В результате переходов от W(p) к W(z) и обратно по (6) и (7) сохраняется дробно-рациональный вид функций, причем степень функций не изменяется.