Статистическое изучение производительности труда

Рассчитаем коэффициент  вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина уровня производительности труда 0,248 млн. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 0,054 млн. руб. (или 21,8%), наиболее характерный уровень производительности труда находится в пределах от 0,194 до 0,302  млн. руб. (диапазон ). 

Значение V_σ = 21,8% не превышает 33%, следовательно, вариация уровня производительности труда в исследуемой совокупности организаций незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =0,248 млн. руб., Мо=0,246 млн. руб., Ме=0,248 млн.руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности фирм. Таким образом, найденное среднее значение уровня производительности труда (0,248 млн.руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности фирм.

 

4. Вычисление  средней арифметической по исходным  данным о уровне производительности труда организаций

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

Причина расхождения  средних величин, рассчитанных по исходным данным (0,247 млн. руб.) и по интервальному  ряду распределения (0,248 млн. руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти организаций, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают (0,25 млн. руб.), что говорит о достаточно равномерном распределении уровня производительности внутри каждой группы интервального ряда.

 

Задание 2

 

По исходным данным (табл. 1) с использованием  результатов  выполнения Задания 1 необходимо выполнить  следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Уровнем производительности труда, образовав пять групп с равными интервалами по каждому из признаков, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Измерить тесноту  корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

 

Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

Выполнение  задания 2

Целью выполнения данного  задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, а также установление направления связи и оценка ее тесноты.

По условию Задания 2 факторным является признак уровень производительности труда (X) результативным – признак среднегодовая стоимость основных производственных фондов (Y).

1. Установление  наличия и характера корреляционной связи между признаками Уровень производительности труда и Среднегодовая стоимость основных производственных фондов методами аналитической группировки и корреляционных таблиц

1а. Применение  метода аналитической группировки

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х- уровень производительности труда и результативным признаком Y – Среднегодовая стоимость основных производственных фондов. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7

Зависимость объема продаж от среднесписочной численности  менеджеров

Номер группы	Группы организаций  по уровню производительности труда, млн. руб. x	Число органи-заций, fj	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн. руб.
			всего	в среднем на одну фирму,
1	2	3	4	5=4:3
1
2
3
4
5
	ИТОГО

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8:

Таблица 8

Зависимость объема продаж от среднесписочной численности  менеджеров

Номер группы	Группы организаций  по уровню производительности труда, млн. руб. x	Число органи-заций, fj	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн. руб.
			всего	в среднем на одну фирму,
1	2	3	4	5=4:3
1	0,120- 0,168	3	59,737	19,912
2	0,168 - 0,216	4	117,521	29,380
3	0,216 - 0,264	12	447,974	37,331
4	0,264 - 0,312	7	330,329	47,190
5	0,312 - 0,36	4	224,149	56,037
	ИТОГО	30	1179,710

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением среднесписочной численности менеджеров от группы к группе систематически возрастает и средний объем продаж по каждой группе фирм, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

 

1б. Применение метода корреляционных таблиц

Корреляционная таблица строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками - прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y.  Для факторного  признака Х – Уровень производительности труда эти величины известны из табл. 4 Определяем величину интервала для результативного признака Y – Среднегодовая стоимость основных производственных фондов при k = 5,  у_max = 60,923 млн. руб., у_min = 16,000 млн. руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют вид:

Таблица 9

Номер группы	Нижняя граница, млн руб.	Верхняя граница, млн руб.
1	16,000	24,985
2	24,985	33,970
3	33,970	42,955
4	42,955	51,940
5	51,940	60,925

Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее фирм с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

 

Таблица 10

Интервальный ряд распределения  фирм по объёму продаж

Группы фирм по объёму продаж, млн руб., у	Число фирм, fj
16,000 – 24,985	3
24,985 – 33,970	4
33,970 – 42,955	12
42,955 – 51,940	7
51,940 – 60,925	4
ИТОГО	30

Используя группировки  по факторному и результативному  признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11

 

Корреляционная таблица зависимости среднегодовой стоимости основных производственных фондов от уровня производительности труда

 

Группы фирм по уровню производительности труда, млн.руб.	Группы фирм по среднегодовой  стоимости основных производственных фондов, млн. руб.					ИТОГО
	16,000-24,985	24,985-33,970	33,970-42,955	42,955-51,940	51,940-60,925
0,120-0,168	3					3
0,168-0,216		4				4
0,216-0,264			12			12
0,264-0,312				7		7
0,312-0,360					4	4
ИТОГО	3	4	12	7	4	30

 

Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между уровнем производительности труда и среднегодовой стоимостью основных производственных фондов.

 

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации

и эмпирического корреляционного отношения

 

Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

,                                        

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

,                                

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета  показателей  и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя  и знаменателя формулы имеются  в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю

:

= =39,324 млн. руб.

Для расчета общей  дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер фирмы	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн. руб.
1	2	3	4
1	34,714	-4,610	21,252
2	24,375	14,949	223,473
3	41,554	-2,230	4,973
4	50,212	-10,888	118,549
5	38,347	0,977	0,955
6	27,408	11,916	141,991
7	60,923	-21,599	466,517
8	47,172	-7,848	61,591
9	37,957	1,367	1,869
10	30,210	9,114	83,065
11	38,562	0,762	0,581
12	52,500	-13,176	173,607
13	45,674	-6,350	40,323
14	34,388	4,936	24,364
15	16,000	23,324	544,009
16	34,845	4,479	20,061
17	46,428	-7,104	50,467
18	38,318	1,006	1,012
19	47,590	-8,266	68,327
20	19,362	19,962	398,481
21	31,176	8,148	66,390
22	36,985	2,339	5,471
23	48,414	-9,090	82,628
24	28,727	10,597	112,296
25	39,404	-0,080	0,006
26	55,250	-15,926	253,637
27	38,378	0,946	0,895
28	55,476	-16,152	260,887
29	34,522	4,802	23,059
30	44,839	-5,515	30,415
Итого	1179,710		3281,151