Статистическое изучение производительности труда

 

Цель статистического  исследования - анализ совокупности организаций по признакам Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Уровнем производительности труда, включая:

• изучение структуры совокупности по признаку Уровень производительности труда;
• выявление наличия корреляционной связи между признаками Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Уровнем производительности труда, установление направления связи и оценка её тесноты;
• применение выборочного метода для определения статистических характеристик генеральной совокупности фирм.

 

Задание 1

1. По исходным данным (табл. 1) необходимо выполнить следующее:
2. Построить статистический ряд распределения организаций по уровню производительности труда (рассчитать как отношение выпуска продукции к среднесписочной численности работников), образовав пять групп с равными интервалами.
3. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.
4. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
5. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

 

Выполнение  Задания 1

Целью выполнения данного  Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности организаций путем построения и анализа статистического ряда распределения фирм по признаку уровень производительности труда.

1. Построение интервального ряда распределения фирм по уровню производительности труда

 

Рассчитаем Уровень производительности труда как отношение выпуска продукции к среднесписочной численности работников, занесем результаты в исходную таблицу:

Таблица 1

№   органи-зации п/п	Выпуск про-дукции, млн. руб.	Средне-списочная числен- ность работ-ников, чел	Средняя стоимость производ-ственных фондов, млн. руб.	Уровень произ-водитель-ности  труда
1	36,450	162	34,714	0,225
2	23,400	156	24,375	0,150
3	46,540	179	41,554	0,260
4	59,752	194	50,212	0,308
5	41,415	165	38,347	0,251
6	26,86	158	27,408	0,170
7	79,200	220	60,923	0,360
8	54,720	190	47,172	0,288
9	40,424	163	37,957	0,248
10	30,210	159	30,210	0,190
11	42,418	167	38,562	0,254
12	64,575	205	52,500	0,315
13	51,612	187	45,674	0,276
14	35,420	161	34,388	0,220
15	14,400	120	16,000	0,120
16	36,936	162	34,845	0,228
17	53,392	188	46,428	0,284
18	41,000	164	38,318	0,250
19	55,680	192	47,590	0,290
20	18,200	130	19,362	0,140
21	31,800	159	31,176	0,200
22	39,204	162	36,985	0,242
23	57,128	193	48,414	0,296
24	28,440	158	28,727	0,180
25	43,344	168	39,404	0,258
26	70,720	208	55,250	0,340
27	41,832	166	38,378	0,252
28	69,345	207	55,476	0,335
29	35,903	161	34,522	0,223
30	50,220	186	44,839	0,270

 

Для построения интервального  ряда распределения определяем величину интервала h по формуле:

,

где –наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k - число групп интервального ряда.

При заданных k = 5,  x_max = 0,360  и x_min =0,120.

h =

млн.руб.

При h = 0,048 границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница,  млн. руб.	Верхняя граница,  млн. руб.
1	0,120	0,168
2	0,168	0,216
3	0,216	0,264
4	0,264	0,312
5	0,312	0,360

Определяем число фирм, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому фирмы со значениями признаков, которые служат одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (0,168; 0,216; 0,264; 0,312 млн. руб.), будем относить ко второму из смежных интервалов.

Для определения числа  организаций в каждой группе строим разработочную    таблицу 3 (данные графы 4 потребуются при выполнении Задания 2).

Таблица 3

 

Разработочная таблица  для построения интервального ряда распределения и аналитической  группировки

Группы фирм по уровню производительности труда, млн.руб.	№   органи-зации п/п	Уровень производи-тельности  труда,   млн. руб.	Средняя стоимость производственных фондов, млн. руб.
1	2	3	4
0,120-0,168	2	0,150	24,375
	15	0,120	16,000
	20	0,140	19,362
Всего	3	0,410	59,737
0,168-0,216	6	0,170	27,408
	10	0,190	30,210
	21	0,200	31,176
	24	0,180	28,727
Всего	4	0,740	117,521
0,216-0,264	1	0,225	34,714
	3	0,260	41,554
	5	0,251	38,347
	9	0,248	37,957
	11	0,254	38,562
	14	0,220	34,388
	16	0,228	34,845
	18	0,250	38,318
	22	0,242	36,985
	25	0,258	39,404
	27	0,252	38,378
	29	0,223	34,522
Всего	12	2,911	447,974
0,264-0,312	4	0,308	50,212
	8	0,288	47,172
	13	0,276	45,674
	17	0,284	46,428
	19	0,290	47,590
	23	0,296	48,414
	30	0,270	44,839
Всего	7	2,012	330,329
0,312-0,360	7	0,360	60,923
	12	0,315	52,500
	26	0,340	55,250
	28	0,335	55,476
Всего	4	1,350	224,149
Итого	30	7,423	1179,71

 

На основе групповых  итоговых строк «Всего» табл. 3 формируем  итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения организаций по уровню производительности труда.

Таблица 4

Распределение организаций  по уровню производительности труда

Номер группы	Группы организаций  по уровню производительности труда, млн. руб., x	Число организаций, fj
1	0,120-0,168	3
2	0,168-0,216	4
3	0,216-0,264	12
4	0,264-0,312	7
5	0,312-0,360	4
	ИТОГО	30

Приведем еще три  характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 5

Структура организаций  по уровню производительности труда

Номер группы	Группы организаций  по уровню произво-дительности труда, млн. руб., x	Число организаций, F		Накопленная частота Sj	Накопленная частость, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	0,120-0,168	3	10	3	10
2	0,168-0,216	4	13	7	23
3	0,216-0,264	12	40	19	63
4	0,264-0,312	7	24	26	87
5	0,312-0,360	4	13	30	100
	ИТОГО	30	100

 

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации, производительность труда рабочих находится в пределах 0,216 до 0,264 млн. руб. (это 12 фирм, доля которых составляет 40%); самая малочисленная группа организаций имеет уровень производительности труда от 0,120 до 0,168 млн. руб., которая включает 3 организации, что составляет 10% от общего числа фирм.

2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения  фирм по изучаемому признаку.

Рис. 1. Определение моды графическим методом

 

Расчет конкретного  значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

 

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 4 модальным  интервалом построенного ряда является интервал 0,216 – 0,264 млн. руб., т.к. он имеет наибольшую частоту (f₃=12). Расчет моды:

Вывод. Для рассматриваемой совокупности организаций наиболее распространенный уровень производительности труда характеризуется средней величиной 0,246 млн. руб.

Для определения медианы  графическим методом строим по данным табл. 5 (графы 2 и 5) кумуляту распределения фирм по изучаемому признаку.

Рис. 2. Определение медианы  графическим методом

 

Расчет конкретного  значения медианы для интервального  ряда распределения производится по формуле

,

 

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем медианный интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 0,216-0,264 млн. руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=19 впервые превышает полусумму всех частот ( ).

Расчет медианы:

Вывод. В рассматриваемой совокупности организаций половина организаций имеют уровень производительности труда не более 0,248 млн. руб., а другая половина – не менее ,248 млн. руб.

3. Расчет характеристик  ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( – середина интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для  нахождения характеристик ряда распределения

Группы организаций по уровню произво-дительности труда, млн. руб.	Середина интервала,	Число орга-низа-ций, fj
1	2	3	4	5	6	7
0,120-0,168	0,144	3	0,432	-0,104	0,010816	0,032448
0,168-0,216	0,192	4	0,768	-0,056	0,003136	0,012544
0,216-0,264	0,240	12	2,880	-0,008	0,000064	0,000768
0,264-0,312	0,288	7	2,016	0,04	0,001600	0,0112
0,312-0,360	0,336	4	1,344	0,088	0,007744	0,030976
ИТОГО		30	7,440			0,087936

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

Рассчитаем среднее  квадратическое отклонение:

Рассчитаем дисперсию:

σ² = 0,05414² = 0,0029312 ≈ 0,003