Корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи производственных показателей предприятия (организации)

2. Решение:

    Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

  ,           (9)                                                                                                 

где  – общая дисперсия признака Y, – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

    Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

       ,                                                            (10) 

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного  признака;

n – число единиц совокупности.

    Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

       ,                                                    (11)

где –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

    Для расчета показателей  и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

      ,     (12)

    Значения  числителя и знаменателя формулы  имеются в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю : 

 

    Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная табл. 8.

 

    

 

    Рассчитаем  общую дисперсию по формуле (10):

    

      

    Для расчета межгрупповой дисперсии  строим вспомогательную таблицу 9. При этом используются  групповые средние значения из табл. 7 (графа 5). 

 

    Рассчитаем  межгрупповую дисперсию по формуле (11):

    

    Определяем  коэффициент детерминации по формуле (9):

    

    Вывод. 93,53% вариации уровня производительности труда обусловлено вариацией уровня фондоотдачи, а 6,47% – влиянием прочих неучтенных факторов.

    Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

           (13)

    Рассчитаем  показатель :

    

 

    Для оценки тесноты связи с помощью  корреляционного отношения используется шкала Чэддока (см. теоретическую часть стр. 14): 

    Вывод: согласно шкале Чэддока связь между средним уровнем производительности труда и фондоотдачей по организациям является весьма тесной. 

    3. Решение:

      Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

      Проверка  выборочных показателей на их неслучайность  осуществляется в статистике с помощью  тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

     

,                                           (14)

где n – число единиц выборочной совокупности,

     m – количество групп,

         – межгрупповая дисперсия,

        – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

         – средняя арифметическая групповых дисперсий.

      Величина  рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

       ,

     где – общая дисперсия.

      Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_тал для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для различных комбинаций  значений  , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

      Если  F_расч>F_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

      Если  F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

      Фрагмент  таблицы Фишера критических величин  F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже: 
 
 
 

      Таблица 10